海南省海口市海口中学2023届高三二模数学试题（A卷）

2023年海南省海口中学高考数学二模试卷（A卷）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1．（5分）设复数，则（）A． B． C．3 D．52．（5分）已知集合，，则（）A． B． C． D．3．（5分）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，其终边过点，则的值为（）A． B． C．1 D．74．（5分）函数的大致图象为（）A． B． C． D．5．（5分）将数据1，3，5，7，9这五个数中随机删去两个数，则所剩下的三个数的平均数大于5的概率为（）A． B． C． D．6．（5分）设，，夹角为，则等于（）A．37 B．13 C． D．7．（5分）若函数在上是单调函数，则的取值可以是（）A．0 B．1 C．2 D．38．（5分）中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，垂直于底面，，，底面扇环所对的圆心角为，弧的长度是弧长度的2倍，，则该曲池的体积为（）A． B． C． D．二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分）（多选）9．（5分）某市经济开发区的经济发展取得阶段性成效，为深入了解该区的发展情况，现对该区两企业进行连续11个月的调研，得到两企业这11个月利润增长指数折线图（如图所示），下列说法正确的是（）A．这11个月甲企业月利润增长指数的平均数超过B．这11个月的乙企业月利润增长指数的第70百分位数小于C．这11个月的甲企业月利润增长指数较乙企业更稳定D．在这11个月中任选2个月，则这2个月乙企业月利润增长指数都小于的概率为（多选）10．（5分）若，则（）A． B． C． D．（多选）11．（5分）已知函数的最小正周期为，则（）A．B．点是图象的一个对称中心C．在上单调递减D．将的图象上所有的点向左平移个单位长度，可得到的图象（多选）12．（5分）如图，在正方体中，以下结论正确的是（）A．平面B．平面C．异面直线与所成的角为D．直线与平面所成角的正弦值为三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上）13．（5分）展开式中常数项为__________．14．（5分）已知圆的方程为，则过点的圆的切线方程为__________．15．（5分）设双曲线的左、右焦点分别为，，为该双曲线上一点且，若，则该双曲线的离心率为__________．16．（5分）已知函数为定义在上的奇函数，则的值为__________；的解集为__________．四、解答题（本题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）在中，角、、的对边分别为，，且满足．（1）求角的值；（2）若，，求的面积．18．（12分）已知数列对任意的都满足．（1）求数列的通项公式；（2）若数列，求数列的前项和．19．（12分）如图，四棱锥中，底面，底面为矩形，，，，分别为，的中点．（1）求证：面；（2）求到平面的距离．20．（12分）已知椭圆的离心率为，且椭圆长轴长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线（不过原点）与交于，两点，求面积的最大值．21．（12分）垃圾是人类日常生活和生产中产生的废弃物，由于排出量大，成分复杂多样，且具有污染性，所以需要无害化、减量化处理．某市为调查产生的垃圾数量，采用简单随机抽样的方法抽取20个县城进行了分析，得到样本数据，其中和分别表示第个县城的人口（单位：万人）和该县年垃圾产生总量（单位：吨），并计算得，，，，．（1）请用相关系数说明该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合；（2）求关于的线性回归方程；（3）某科研机构研发了两款垃圾处理机器，如表是以往两款垃圾处理机器的使用年限（整年）统计表：使用年限台数款式1年2年3年4年5年甲款520151050乙款152010550某环保机构若考虑购买其中一款垃圾处理器，以使用年限的频率估计概率．根据以往经验估计，该机构选择购买哪一款垃圾处理机器，才能使用更长久？参考公式：相关系数．对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为．22．（12分）已知函数．（I）当时，求曲线在点处的切线方程；（II）求函数在区间上的最小值；（III）求证：“”是“函数在区间上单调递增”的充分不必要条件．2023年海南省海口中学高考数学二模试卷（A卷）参考答案与试题解析一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1．【答案】B【分析】根据复数的基本运算法则进行化简即可．【解答】解：，则．故选：B．2．【答案】C【分析】根据已知条件，结合并集的定义，即可求解．【解答】解：，，则．故选：C．3．【答案】D【分析】由题意，利用任意角的三角函数的定义，求得的值，再利用两角和的正切公式求得的值．【解答】解：平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，其终边过点，则，故选：D．4．【答案】C【分析】利用函数的奇偶性以及特殊值以及变化趋势判断选项即可．【解答】解：函数，，函数是奇函数，排除A；时，，排除B；时，，排除D，故选：C．5．【答案】C【分析】计算出所有的随机删去两个数的方法，再求出剩下数据的平均数大于5的删去方法，根据古典概型的概率公式，即可求得答案．【解答】解：从5个数中随机删去两个数有，，，，，，，，，共10种方法，要使剩下数据的平均数大于5，删去的两个数可以是，，，共有4种，所以剩下数据的平均数大于5的概率为．故选：C．6．【答案】D【分析】利用向量的数量积公式得出结论．【解答】解：由题意，．故选：D．7．【答案】B【分析】因为当时，函数为单调递增函数，然后根据分段函数的单调性建立不等式组，由此即可求解．【解答】解：因为当时，函数为单调递增函数，又函数在上是单调函数，则需满足，解得，所以实数的范围为，则满足范围的选项是选项B，故选：B．8．【答案】A【分析】根据扇形弧长公式可知弧所在圆和弧所在圆的半径之间关系为，结合可求得，，再根据柱体的体积计算公式，采用切割的方式可求得结果．【解答】解：设弧所在圆的半径为，弧所在圆的半径为，因为弧的长度是弧长度的2倍，所以，即，又，则，，所以该曲池的体积，故选：A．二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分）9．【答案】AC【分析】根据折线图估算，对于B项把月利润增长指数从小到大排列，由求解；对于D项用古典概型的概率公式求解．【解答】解：显然甲企业大部分月份位于以上，故利润增长均数大于，A正确；乙企业润增长指数按从小到大排列分别是2，1，3，4，8，5，6，7，9，11，10，又因为，所以从小到大排列的第8个月份，即7月份是第70百分位，从折线图可知，7月份利润增长均数大于，故B错误；根据折线图，可知甲企业的数据更集中，所以甲企业月利润增长指数较乙企业更稳定，故C正确；（2个月乙企业月利润增长指数都小于），故D错误．故选：AC．10．【答案】ABD【分析】直接根据不等式的性质依次判断即可．【解答】解：，成立，A对，，B对，，，C错误，，可得以及均为正数，且不相等，，故选：ABD．11．【答案】AB【分析】由已知利用两角和的正弦公式化简函数解析式，利用正弦函数的周期公式即可求解得的值，即可判断；利用正弦函数的对称性即可判断；利用正弦函数的单调性即可判断；利用三角函数的图象变换即可判断．【解答】解：因为的最小正周期为，所以，解得，故A正确，所以，由于，所以点是图象的一个对称中心，故B正确，当，可得，函数不是单调递减，故C错误，将的图象上所有的点向左平移个单位长度，可得，故D错误．故选：AB12．【答案】ABD【分析】根据正方体的特征和性质，线面平行、线面垂直的判定、异面直线所成的角和直线与平面所成的角，逐项进行分析即可求解．【解答】解：对于A：在正方体中，，又平面，平面，所以平面，故A正确；对于B：连接，易知，，所以，因为平面，平面，所以，又，所以平面，故B正确；对于C：易知直线平面，所以，所以异面直线与所成的角为，故C错误；对于D：连接，易知平面，所以直线与平面所成的角为，设正方体的棱长为1，则，在中，，所以直线与平面所成角的正弦值为，故D正确．故选：ABD．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上）13．【答案】．【分析】求得二项式展开式中的通项公式，再令的指数为0，计算可得所求值．【解答】解：的展开式的通项公式为，，令，解得，，故答案为：．14．【答案】或．【分析】根据题意，分析点与圆的位置关系，由此分切线斜率是否存在2种情况讨论，求出切线的方程，综合可得答案．【解答】解：根据题意，圆的方程为，即，对于点，因为，所以点在圆外，若直线斜率存在，设切线的斜率为，则切线方程为，即，则有，解得，所以切线方程为，若直线斜率不存在，直线方程为，满足题意，综上过点的圆的切线方程为或．故答案为：或．15．【答案】【分析】由双曲线的定义及余弦定理计算可得结果．【解答】解：因为，所以由双曲线的定义知，，故，．在中，由余弦定理得，化简整理得到，故．故答案为：．16．【答案】；．【分析】根据奇函数的性质：定义域关于原点对称和，可得，的值，即可得出答案；根据的单调性和奇偶性，列出关于的不等式，即可得出答案．【解答】解：函数为定义在上的奇函数，，即，且，，，即为定义在上的奇函数，，在上单调递增，在上单调递增，在上单调递增，，即，，解得，即不等式得解集为，故答案为：；．四、解答题（本题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【答案】（1）（2）．【分析】（1）先用正弦定理边化角，再逆用两角和的正弦公式进行化简即可求解；（2）利用余弦定理求出边，然后代入三角形面积公式计算．【解答】解：（1）由，根据正弦定理有，所以，所以，即，因为，所以，所以，因为，所以．（2），，或（舍），．18．【答案】（1）．（2）．【分析】（1）由，可得由此能求出通项公式．（2）由，利用错位相减法能求出的前项和．【解答】解：（1）数列满足，当时，，两式相减可得，即，又当时，可得，满足上式，数列的通项公式为．（2），的前项和：①，②，①﹣②，得：，．19．【答案】（1）见证明；（2）．【分析】（1）建立空间直角坐标系，证明，，利用线面垂直的判定定理证明结论；（2）利用等体积方法求出到平面的距离．【解答】（1）证明：底面，底面为矩形，易知，，两两垂直．分别以，，所在的直线为，，轴，建系如图，则根据题意可得：，，，，，，．，，．，，，，又，面；（2）解：设到平面的距离为．由（1）可知．底面，底面为矩形，，，，分别为，的中点，，，，．，，，即到平面的距离为．20．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根据题意可得出，，再利用，，的关系求出，进而求解；（2）由题意可知直线的斜率存在，设直线，，，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理可得，，由弦长公式可得，点到直线的距离公式可得点到直线的距离，再计算的面积，利用基本不等式，即可得出答案．【解答】解：（1）因为椭圆的离心率为，且椭圆长轴长为，所以，，则，所以椭圆的标准方程为：．（2）由题意可知直线的斜率存在，设直线，，，联立，得，，所以，即或，则，，故，点到直线的距离，所以的面积，设，则，故，当且仅当时，等号成立，所以面积的最大值为．21．【答案】（1）与之间具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型进行拟合．（2）．（3）该县城选择购买一台乙款垃圾处理机器更划算．【分析】（1）求出相关系数，即可判断与之间的线性相关关系，是否可用线性回归模型进行拟合．（2）求出回归直线方程的系数，得到回归直线方程即可．（3）求出以频率估计概率，甲款使用年限（单位：年）的分布列，求出期望．乙款垃圾处理机器使用年限（单位：年）的分布列，求出期望，即可推出该机构选择购买哪一款垃圾处理机器，才能使用更长久．【解答】解：（1）由题意知相关系数，因为与的相关系数接近1，所以与之间具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型进行拟合．（2）由题意可得，，，所以．（3）以频率估计概率，甲款垃圾处理机器使用年限（单位：年）的分布列为12340.10.40.30.2（年）乙款垃圾处理机器使用年限（单位：年）的分布列为：12340.30.40.20.1（年）因为，所以该县城选择购买一台乙款垃圾处理机器更划算．22．【答案】（I）；（II）当时，在区间上的最小值为；当时，在区间上的最小值为；当时，在区间上的最小值为；（III）证明见解析．【分析】（I）求导，根据导数的几何意义，即可求得切线方程；（II）求导，分类讨论，根据导数与函数单调性的关系，可求得在区间上的最小值；（III）求导，先证明充分性，当时，可得恒成立，因此可得在区间上单调递增；再证明非必要性，显然，当时，求导，可得在区间上单调递增，因此为非必要条件．【解答】解：（I）当时，，，故，又因为，故在处的切线为，化简