专题09类比归纳专题：切线证明的常用方法压轴题二种模型全攻略(原卷版+解析)

专题09类比归纳专题：切线证明的常用方法压轴题二种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【类型一有切点，连半径，证垂直】 1【类型二无切点，作垂直，证半径】 13【典型例题】【类型一有切点，连半径，证垂直】例题：（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，是的直径，C，D都是上的点，平分，过点D作的垂线交的延长线于点E，交的延长线于点F．(1)求证：是的切线；(2)若，求的值．【变式训练】1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，是的直径，半径为2，交于点D，且D是的中点，于点E，连接．

(1)求证：是的切线．(2)若，求的长．2．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在中，，以为直径的与交于点D，与边交于点E，过点D作的垂线，垂足为F．(1)求证：为的切线；(2)若，求的半径．3．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点，交于点，连接，作，交的延长线于点．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的半径．4．（2022秋·山西朔州·九年级校考期中）如图，在中，，的平分线交于点E，过点E作的垂线交于点F，是的外接圆．(1)求证：是的切线；(2)过点E作于点H，若，求的半径．5．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在中，，点在边上，平分，交于，是的外接圆．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的半径长．6．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，以线段为直径作，交射线于点，平分交于点，过点作直线于点，交的延长线于点．连接并延长交于点M．(1)求证：直线是的切线；(2)求证：；(3)若，，求的长．【类型二无切点，作垂直，证半径】例题：（2022春·广东广州·九年级广州市第八十九中学校考开学考试）如图，在中，，是的角平分线，以为圆心，为半径作，求证：是的切线．

【变式训练】1．（2023秋·广东河源·九年级校考期末）如图，为的角平分线上的一点，于点，以为圆心为半径作，求证：与相切．2．（2022秋·福建福州·九年级校考阶段练习）如图中，，平分交于点，以点为圆心，为半径作交于点．(1)求证：与相切；(2)若，，试求的长．3．（2023·湖北恩施·统考中考真题）如图，是等腰直角三角形，，点O为的中点，连接交于点E，与相切于点D．(1)求证：是的切线；(2)延长交于点G，连接交于点F，若，求的长．4．（2022秋·九年级单元测试）如图，是的直径，，分别切于点，，交，于点，，平分．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的长．5．（2023春·湖南长沙·九年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考阶段练习）如图，点为正方形对角线上一点，以为圆心，的长为半径的与相切于点．(1)求证：与相切；(2)若的半径为，求正方形的边长．

专题09类比归纳专题：切线证明的常用方法压轴题二种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【类型一有切点，连半径，证垂直】 1【类型二无切点，作垂直，证半径】 13【典型例题】【类型一有切点，连半径，证垂直】例题：（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，是的直径，C，D都是上的点，平分，过点D作的垂线交的延长线于点E，交的延长线于点F．(1)求证：是的切线；(2)若，求的值．【答案】(1)见解析(2)2【分析】（1）如图1，连接，由平分，可得，由，可得，，则，，进而结论得证；（2）如图2，连接，交于H，由是的直径，可得，由勾股定理得，，由，可得，，即，，是的中位线，则，，证明四边形是矩形，则．【详解】（1）证明：如图1，连接，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵是半径，∴是的切线；（2）解：如图2，连接，交于H，∵是的直径，∴，由勾股定理得，，∵，∴，∴，即，∴，∵∴是的中位线，∴，∴，∵，∴四边形是矩形，∴．【点睛】本题考查了切线的判定，角平分线，等边对等角，垂径定理，平行线的判定与性质，矩形的判定与性质，中位线，勾股定理，直径所对的圆周角为直角等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．【变式训练】1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，是的直径，半径为2，交于点D，且D是的中点，于点E，连接．

(1)求证：是的切线．(2)若，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接，利用三角形的中位线定理和平行线的性质得到，利用圆的切线的判定定理解答即可；（2）利用线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质和含角的直角三角形的性质求，利用勾股定理求得，则．【详解】（1）证明：连接，如图，

∵D是的中点，∴，∵，∴为的中位线，∴，∵，∴，∵为的半径，∴是的切线；（2）解：∵是的直径，∴，∵D是的中点，∴为的垂直平分线，∴，∴，∵是的直径，半径为2，∴．在中，．∴，∴．【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，三角形的中位线的性质定理，平行线的性质，圆的切线的判定定理，含角的直角三角形的性质，勾股定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．2．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在中，，以为直径的与交于点D，与边交于点E，过点D作的垂线，垂足为F．(1)求证：为的切线；(2)若，求的半径．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接，根据是的直径，可得，再由三角形中位线定理可得，从而得到，即可求证；（2）连接，根据圆内接四边形的性质可得，从而得到，进而得到，继而得到的长，即可求解．【详解】（1）证明：连接，∵是的直径，∴，∵，∴点D是的中点，∵点O是的中点，∴是的中位线，∴，∴．∵，∴，∴，∴为的半径；（2）解：连接，∵四边形是的内接四边形，∴，∵，∴．∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴的半径是．【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆内接四边形的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定定理，圆内接四边形的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质是解题的关键．3．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点，交于点，连接，作，交的延长线于点．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的半径．【答案】(1)见解析(2)15【分析】（1）连接，根据平分，，，证明即可；（2）设的半径为，则有，在中，，根据勾股定理建立方程，解方程即可求解．【详解】（1）解：连接，

是的直径，，即，平分，，，，，，，，是的半径，是的切线．（2）设的半径为，则有，∵是的切线．∴，在中，，，解得，的半径为．【点睛】本题考查了切线的性质与判定，勾股定理，熟练掌握切线的性质与判定是解题的关键．4．（2022秋·山西朔州·九年级校考期中）如图，在中，，的平分线交于点E，过点E作的垂线交于点F，是的外接圆．(1)求证：是的切线；(2)过点E作于点H，若，求的半径．【答案】(1)见解析；(2)5；【分析】（1）连接，由于是角平分线，则有再证得，根据平行线的性质和切线的判定即可解答；（2）先证明，再根据勾股定理列方程求解即可；【详解】（1）证明：连接∵平分∴又∴∴∴，又，即∴∴是的切线（2）∵平分设解得：故的半径为5【点睛】本题主要考查了切线的证明、角平分线的性质定理以及全等三角形的判定与性质勾股定理，掌握切线的证明、角平分线的性质定理以及全等三角形的判定与性质、勾股定理是解题关键．5．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在中，，点在边上，平分，交于，是的外接圆．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的半径长．【答案】(1)详见解析(2)3【分析】（1）连接，由于是角平分线，则有；而，就有，等量代换有，那么利用内错角相等，两直线平行，可得；又，所以，即是的切线；（2）利用勾股定理即可求出半径．【详解】（1）证明：连接．平分，．又，，，，．又点在上，是的切线．（2）解：设的半径为，，，即，解得，的半径为3．【点睛】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了勾股定理．6．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，以线段为直径作，交射线于点，平分交于点，过点作直线于点，交的延长线于点．连接并延长交于点M．(1)求证：直线是的切线；(2)求证：；(3)若，，求的长．【答案】(1)详见解析(2)详见解析(3)2【分析】（1）连接，由证明，得，即可证明直线是的切线；（2）由线段是的直径证明，再根据等角的余角相等证明，则；（3）由，证明，则是等边三角形，所以，则，所以，再证明，得．【详解】（1）证明：连接，则，，平分，，，，，，是的半径，且，直线是的切线．（2）证明：线段是的直径，，，，，，，．（3）解：，，，是等边三角形，，，，，，，，，．【点睛】此题重点考查切线的判定、直径所对的圆周角是直角、等角的余角相等、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．【类型二无切点，作垂直，证半径】例题：（2022春·广东广州·九年级广州市第八十九中学校考开学考试）如图，在中，，是的角平分线，以为圆心，为半径作，求证：是的切线．

【答案】证明过程见解析；【分析】题目并没有说明直线与有没有交点，所以过点作于点，然后证明即可．【详解】证明：如图：过点作于点，

是的角平分线，，，，是的切线．【点睛】本题考查圆的切线的判定知识．结合角平分线的性质，正确构造辅助线是解题的关键．【变式训练】1．（2023秋·广东河源·九年级校考期末）如图，为的角平分线上的一点，于点，以为圆心为半径作，求证：与相切．【答案】见解析【分析】过点作于，根据证明，推出，即可证明与相切．【详解】证明：如图，过点作于，平分，，又，，，在与中，，，，点D在上，又，与相切于点．【点睛】本题考查切线的判定，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握切线的判定方法．2．（2022秋·福建福州·九年级校考阶段练习）如图中，，平分交于点，以点为圆心，为半径作交于点．(1)求证：与相切；(2)若，，试求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）过作于，利用角平分线的性质定理可得即可证明：与相切；（2）在Rt中，由勾股定理可求出的长，设圆的半径为，利用切线长定理可求出，所以，，利用勾股定理建立方程求出，进而求出的长．【详解】（1）证明：过作于，，，平分交于点，，与相切；（2）解：设圆的半径为，，，，，，是圆的切线，，，，，在Rt中，，解得：，．【点睛】本题考查了圆的切线的判定、角平分线的性质、切线长定理以及勾股定理的运用，解题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理列方程．3．（2023·湖北恩施·统考中考真题）如图，是等腰直角三角形，，点O为的中点，连接交于点E，与相切于点D．(1)求证：是的切线；(2)延长交于点G，连接交于点F，若，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接，过点O作于点P，根据等腰三角形的性质得到，推出，即可得到结论；（2）根据等腰直角三角形的性质求出，的长，勾股定理求出，连接，过O作于点H，利用面积法求出，勾股定理求出，即可根据等腰三角形的性质求出的长．【详解】（1）证明：连接，过点O作于点P，∵与相切于点D．∴，∵是等腰直角三角形，，点O为的中点，∴，∴，即是的半径，∴是的切线；（2）解：∵，，，∴，，∵点O为的中点，∴，∵∴，在中，连接，过O作于点H，∴，∴∵，∴．

【点睛】此题考查了判定直线是圆的切线，切线的性质定理，等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确掌握各知识点是解题的关键．4．（2022秋·九年级单元测试）如图，是的直径，，分别切于点，，交，于点，，平分．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）过点作于点，根据切线的性质由切于点可得，再根据角平分线定理得到，然后根据切线的判定定理得到是的切线；（2）过作于，根据切线的性质得到，则得到四边形为矩形，得到，所以，再利用切线长定理得，，所以，在中，利用勾股定理计算出，则，所以，然后中，利用勾股定理可计算出．【详解】（1）证明：如图，过点作于点，，切于点，，平分，，为的半径，是的半径，是的切线；（2）解：如图，过作于，，是的直径，，分别切于点，，，，四边形为矩形，，，，，为的切线，，，在中，，，，在中，．【点睛】本题主要考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，也考查了切线的性质、切线长定理、勾股定理．5．（2023春·湖南长沙·九年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考阶段练习）如图，点为正方形对角线上一点，以为圆心，的长为半径的与相