2025届新高考新结构竞赛题型十五大考点（解析版）

新题型新高考新结构竞赛题型十五大考点汇总

命题越势

高考数学中会出现与竞赛相关的考点，本专题主要针对高考中的竞赛考点进

行分类归纳

熬点题型解读

题型1集合中的竞赛考点

题型2函数中的竞赛考点

题型3函数与方程中的竞赛考点

题型4函数最值中的竞赛考点

题型5构造函数中的竞赛考点

题型6三角函数中的竞赛考点

题型7向量中的竞赛考点

题型8数列中的竞赛考点

题型9不等式中的竞赛考的

题型10解析几何中的竞赛考点

题型11立体几何中的竞赛考点

题型12排列组合中的竞赛考点

题型13概率中的竞赛考点

题型14复数中的竞赛考点

题型15整除中的竞赛考点

1

【题型1集合中的竞赛考点】

例1.(2022.新疆.竞赛)设集合{春+b[l<a<6<4}中的最大元素与最小元素分别为M,M则M—N=

【答案】7—2©

由lWa46W4知，3+6W3+4=7,

a1

当a=l,b=4时，得最大元素Al=7,

又&+且+a>2V3，当a=b=V3时，得最小元素N—2V3,

aa

因此，河一？/=7-23.

故答案为：7—2四.

(2022•浙江・竞赛)已知集合力={剑(①一九)(2―疗+用《0,"eN+},若集合A中恰有9个正整数,则n

【答案】4

【详解】九=1时，人=[0,1],不合题意,舍去，

n=2时，A={2},不合题意,舍去，

外>3时，ri,—7i>n,A=[n,n2—n]>

/.n2—n—(n—1)=n2—2n+1=(n—I)2=9,

n=4.

故答案为：4.

(2021•全国•高三竞赛)已知集合朋={1,2,3,…，1995},人是河的子集，当cC4时，19力图4则集合

A元素个数的最大值为

【答案】1895

【详解】解析：先构造抽屉：{6,114},{7,133},­••,{105,1995),{1,2,3,4,5,106,107,…，1994}.使前100个抽

屉中恰均只有2个数,且只有1个数属于4可从集合河中去掉前100个抽屉中的数，剩下1995-100x2=

1795个数,作为第101个抽屉.

现从第1至100个抽屉中取较大的数,和第101个抽屉中的数，组成集合A,于是

A={1,2,3,4,5,106,107,•••,1995),

满足A包含于且当力GA时，19a;gA.

所以card(?!)的最大值为1995-100=1895.

故答案为：1895.

二(2020.江苏.高三竞赛)设"CN*,欧拉函数0(n)表示在正整数1,2,3,…，孔中与外互质的数的个数,

例如1,3都与4互质，2,4与4不互质，所以以4)=2,则卬(2020)=

【答案】800

【详解】解析:法一：因为2020=2?x5x101,

故能被2整除的数有1010个，能被5整除的数有404个，

能被101整除的数有20个，

既能被2整除又能被5整除的数有202个，

既能被2整除又能被101整除的数有10个,

既能被5整除又能被101整除的数有4个，

既能被2整除又能被5和101整除的数有2个.

2

故与2020不互质的有1010+404+20-202-10-4+2=1220,则.2020)=800.

故答案为：800.

法二：0(2020)-⑵)Xp⑸X?(101)=800.

故答案为：800.

C41(2021•全国•高三竞赛)设集合4=｛1,2,3,4,5,6,7,8,9,10｝,满足下列性质的集合称为“翔集合”:集合

至少含有两个元素,且集合内任意两个元素之差的绝对值大于2.则A的子集中有个“翔集

合”.

【答案】49

【分析】设出集合｛1,2,3,…，n｝中满足题设性质的子集个数为册,写出a?=a3=0«4=1,在n>4时，要分

情况把册的递推公式写出来,进而得到a10，即答案.

【详解】设集合｛1,2,3,…,九｝中满足题设性质的子集个数为册,则a2=a3=0«4=1.当n>4时，可将满足

题设性质的子集分为如下两类:一类是含有n的子集,去掉n后剩下小于n-2的单元子集或者是｛1,2,3,…，

n—3｝满足题设性质的子集,前者有n—3个,后者有a„,3个；另一类是不含有n的子集,此时恰好是｛1,2,3,

•••,71—1)满足题设性质的子集，有册_1个m于是,=(n-3)+a„-3+a„-i.又a2=&3=0,«4=1,所以CZ5=3,

。6=6,。7=11,0-8—19,。9=31,电0=49.

故答案为：49

【点睛】本题的难点是用数列的思想来考虑，设集合｛1,2,3,…,n｝中满足题设性质的子集个数为册，写出

厮的递推公式,再代入求值即可.

【题型2函数中的竞赛考点】

例1.(2018・吉林・高三竞赛)已知/(，)=©+1)+1在［—2018,0)U(0,2018］上的最大值为朋■，最小值为N,

2-x

则M+N=()

A.3B.2C.1D.0

【答案】B

/O)的图象关于(0,1)对称，故7W+N=/O)max+/(/)min=2.

故答案为石

【变式1］(2018•吉林・高三竞赛)已知函数一(力)满足：/⑴=/，4f=f(x+y)+于(x—y)(①,则

3(2019)=().

A—B.-春C.)

D.

2244

【答案】B

【详解】取/=L"=0，得/(。)=1；

取，=1,9=1,得4r(1)=/(2)+/(0),故/(2)=-:；

取2=2,夕=1,得4/⑴/⑵=/(3)+/⑴,故/⑻—

取力=几，g=1，有/(九)=/(n+l)+/(n—1)

同理,/(n+l)=f(n+2)+f(n).

联立得/S+2)=—/(九一1),故/(几+6)=/(n).

所以周期为6,故/(2019)=/(336x6+3)=/(3)=-y.

3

故答案为B

I(2022•新疆・竞赛)已知/⑵=2"+ln(V?+l+a;)-2一工+1011,则不等式/(2,+1)+/Q)>2022的

解集为

【答案】(一+℃)

【详解】令g(c)=/(，)—1011,易得g{x}为奇函数且单调递增.

原不等式等价于g(2x+1)+g(力)>0og(26+1)>g(—力).

所以2x+1>—x=>x>—

o

故答案为：(一■+co).

(2022・广西・统考竞赛)设？/=/(切是严格单调递增的函数,其反函数为夕=。(必).设分别是方

程/(c)+2=2和g(x)+x=2的解，贝!JXi+x2=.

【答案】2

【详解】/(，)+2严格单调递增.

且/(g)+g=2=g(，2)+x2^f(g(x2))+g(x2),

故①i=g(g)，①2=于(①1),

于是©+22=0+/(0)=2.

故答案为：2.

(2021.浙江金华.高三浙江金华第一中学校考竞赛)设①>0,平面向量瓶=(0,1),反5=(1,2),CD

=(log3S,log92；).若AC-BD=2,则cc的值为.

【答案】《

y

【详解】由于4方=泰+反?=(1,3),反方=反?+济=(l+log3Z,2+log9C),

则AC-BD=(1+log3a;)+3(2+log9a?)=7+log3T+=7+ylog3T=2,

故log3a;=—2,从而力=

故答案为:.

【题型3函数与方程中的竞赛考点】

例L(2021・全国•高三竞赛)已知s、t是关于x的整系数方程ax2bx+c-0(a>0)的两根，1VSV/;V2,则

当正整数a取得最小值时，b+c=

【答案】-4

设/(%)=a(x—s)(力一力)，则/(T)=ax2-\-bx-\-c,

因为/(I)J(2)GZ,所以/(1)・/(2)>1,

所以0、(l-s)(l-t)(2-s)(2-t)—(s-l)(t-l)(2-s)(2-i)'

又因为(s—1)(2—s)W(t—1)(2—t)W,所以a?>16,但a?片16,所以a>5.

当a=5时，/(1)4(2)=25(s-1)(t-1)(2-s)(2-1)G，所以/(l)―/(2)=1,

所以/⑴引⑵=L

于是/(c)=5——15x+11,故b+c=—15+11——4.

4

郎】(2021•全国•高三竞赛)实数工、9满足｛£;老；蜷=13'‘①’则工、"的大小关系是.

【答案】2>"夕Vc

【分析】比较小y的大小关系,在等式中比较必y的大小关系,利用假设法结论正确的答案,结论错误则结

果与假设的相反.

【详解】假设，<?/.由①知16"—9"=13“，由于13工413。则13">16"—9",从而(兽丫+(兽丫>1.设

v167\16/

/⑴=(磊)'+(/)'，则/⑶在A上递减，且/⑹'I，又/⑵=(票"(磊)21，所以/(")>/⑵•于是沙

v7v7v7v7

16161616

<2.

由②知,7'+11"=13"又11'411",所以73：+11'&13",即借)"+(看)"&L

类似上面有2>2.于是c>9与24沙矛盾故

故答案为：2>“

E5"(2021•全国•高三竞赛)若/(2)="-2/旃/—/+/—2何而/+2C—四旃，则西+

V2020)的值为

【答案】，2两

【详解】研究二次方程x2-2V2019S一1=0和/一272020a;+1=0,

BP(X-V2019+V2020)(a:-V2019-V2020)=0

和Q-V2020+V2019)(a:-V2020-V2019)=0.

因此x0=V2019+V2020两方程的公共根.

于(x)=x\x2-2V2019x-1)+x(x2-2V2000x+1)+(2;-V2019-V2020)+V2020,

故丽+V2020)=V2020.

故答案为两.

[£贰*|(2023•全国•高三对口高考)方程同获二丁=之子的实根共有个.

X—1

【答案】1

【分析】将等式两边平方，整理得到/(/-6工+6)=0,解此方程，再考虑x的范围即可得到原方程的解，得

到实根的个数.

【详解】由“4+4力一a?=2—；，得4+4/—/=g一%,

力TQT)

整理得力2(/—6/+6)=0,解得力=0或力=3+V3或力=3—V3,

又/4+4/一2=221半>0,得1<.42,所以力=3—通,

x—1

所以方程/4+46一1=入手的实根为/二3一班，即实根共有1个.

故答案为：1.

【变式4】(2021•全国•高三竞赛)方程Xmu]+引户5+资邛+资耳]=1的不同的实

(C+1)(C+4)(2：+9)313+1)33+4)3(,+9)3」

数解的个数为

【答案】5

【详解】解析:易知名=0是原方程的解.

当cW0时，利用a3+〃=(a+fe)(a2—a6+62)，原方程

5

(工一l)(c—4)(c—9)2「d+i［a;3+43a:3+93-.1=„

—+1)3+4)(/+9)可3+1)3—(c+4)3—"9)3-J-

等价于

3+1)(劣+4)3+9)3+1)23+4)2(2+9)2

方程两端同除cc,整理后得①(/—98a?—288,+385)=0.再同除rc,得

(小-31)2-(62：+24)2=0.

即(1+6/—7)(/—6a;-55)=0,从而有

(2+7)(a;—1)(a;+5)(2一11)=0.

经验证.=—7,电=l,g=—5,g=11均是原方程的根，所以原方程共有5个不同的实数根.

故答案为：5.

【题型4函数最值中的竞赛考点】

例1.(2018•全国•高三竞赛)已知x2+y2=25.则函数z=J8y—6/+50+y/8y+6x+50的最大值为

().

A.5V10B.6V10C.7V10D.8A/10

【答案】B

因为①2+d=25,所以，z=62+50+j8y+6:r+50

二J(三—3)2+(g+4)2+J(工+3/+(=+4)2

的几何意义是圆22+/=25上的点到4(3,-4)、B(-3,-4)的距离之和,其最大值为点(0,5)到A、B的

距离之和6V10.

二(2018•全国•高三竞赛)方程日+图+向：二霞的最大的解与最小的解之和为()(其中，㈤

表示不超过c的最大整数，下同).

A.85B.-85C.42D.-42

【答案】B

【详解】设力=42p+q(p、q为整数，0<Q<41).

将力代入原方程得0=口］+管］+

对于每个不同的q确定了唯一的有序数对(p,q)，从而，x也互不相同.要比较x的大小应先比较p的大

小，若p相等,再比较q的大小.

因为p=［：］+圉+［,-+q=-小&0,

所以，p的最大值只有当q=0时取到,且最大值为0.

因此，2的最大的解为0.

又-圉+高+用-+9+—L―爸-3,

所以，p>—3.当且仅当q=41时，p=—3.因此，名的最小的解为一85.

综上所述，最大的解与最小的解之和为-85.

（2019•全国•高三竞赛）若关于2的方程x2-（a2+b2-6b）x+a2+&2+2a-4b+1=0的两个实数根

的、◎满足g<0<gWL则a2+/+4a+4的取值范围是（）

A.[+2]B.[1,9—4V5^]C.[[*,16]D.[~^~,9+4\后]

6

【答案】。

【详解】记/(力)—X2—(a2+fe2—6b)力+Q?+b?+2a—46+1.

由/(力)=0的两个根力1、力2满足力1&。&力2&1，知/(。)>。，

即(a+1)?+(b—2)244,且a+b+1>0.

在坐标平面aOb中画出这两个不等式所限定的区域，则滔+/+4a+4=(a+2)2+b2的最小(大)值即为

点(-2,0)到该区域各点的最小(大)距离的平方.最小距离是点(-2,0)到直线a+b+l=0的距离，等于

等;最大距离是点(—2,0)到圆(a+iy+(b—2)2=4上的点的距离的最大值,等于遍+2.

因此，a2+52+4a+4的取值范围是[~^~,9+4A后].

(2019・河南・高二校联考竞赛)已知函数/(⑼=/+arc+b,(a,bCA),记M(a,b)是|/(田)|在区间[—1,

1]上的最大值.当a、b满足M(a,b)<2时，|a|+|b|的最大值为

【答案】3

【详解】由题意可得:对任意xE[-1,1]，有—2&劣2+ax+b&2,

分别取x=lfx=—1,可得：-34a+b&l且一3&b—a<l,

易知(|a|+|b|)max=max{|a—4,|a+b|}=3,

且当b=-1,a=2时符合题意,

所以同+1”的最大值为3.

(2019・广西•高三校联考竞赛)设函数?/=(4T3++2)(4r层+1)Qe[o,1]),则沙的最小值

为.

【答案】2+6

【详解】令u='l+c+VT—x(xE[0,1]),

贝!Ju'=1---],由于Vl+a:>VT--x,故u'(x)<0，

+1VI—x

由“(,)单调递减，求得uC[血,2],

则」="2(32)单调递增.

所以当“=2时，原函数取得最小值2+V2.

故答案为：2+2.

【题型5构造函数中的竞赛考点】

例1.(2023・全国•模拟预测)已知实数a,b,cC(0,1),且ae2=2eo,be3=2eb,ce3=3e°,则()

A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.c<b<a

【答案】。

【分析】由题可得更，直=小后通过/(2)=更在(0,1)上的单调性可比较a,6,c大小.

aZb2c3x

ae2=2ea=-=-7-,be3=2e60-7-=-7-,ce3=3ec=-=

a2b2c3

令/(力)=史，/e(0,1),则/㈤=(h)'=色咨=包亨vo,所以函数/⑸在(0,1)上单调递

XV7XX

3

e

减.因为3=学>1,所以号>号，又导所以导>号>导即导>>>>o/(b)>/(c)

eo3223232bca

T

>J(a)=>b<c<a.

7

故选：c

,（2022上•湖北宜昌•高三校考开学考试）已知a=41n59=51n4\c=51n/，则a,b,c的大小关系是

（）

A.c<a<bB.a<b<cC.a<c<bD.c<b<a

【答案】B

【分析】令/（，）=等Q>e）,利用导数判断了（c）在（e,+s）上的单调性,即可得a,b,c的大小关系.

【详解】令/（0=等（/>6）,可得r（功=-”产=号1生，

当力>已时，/'（力）40恒成立，

所以/（,）=等在（e,+«）上单调递减，

所以/㈤〉/⑷>1/>⑸,

即I”71>.4>卜1",可得41n7t>7tln4,51n4>41n5,

兀45

所以ln7T4>In47r,57rln4>47dli5,

所以51n7r4>51n4兀，51n4兀>41n5兀,

即c>b,b>Q.

所以aVbVc.

故选：A

(2021.云南玉溪•高三统考阶段练习)已知在函数/(N)—ax-\-b(a>0,b>0),g(力)=In(6+2),若对V

>—2,/(c)>gQ)恒成立，则实数工的取值范围为()

A.[0,+8)B.[1,+8)C.[2,+8)D.[e,+8)

【答案】B

【分析】令=/(^)-g(x)=ax-\-b—ln(a;+2),即t(x)min>0,求导分析单调性可得t(a:)min="十一2)

>0=1—2a+b+Ina>0,即2'2—+1,令h(a)=2—ln0+l,求导分析单调性,求h(a)min即可

aaa

【详解】由题意，J(T)>g(6)=/(力)—g(力)>0

令t[x}=f{x}—g(x)=ax-\-b—ln(a;+2),

则VX>—2,/(X)>g(%)恒成立,即t(x)>0恒成立，即方㈤min>0

*力=a—-2=会+售”>-2)

XI乙XI/

令=0：.x=1—2a=J__2>-2

aa

令t'(x)>0：.x>1—2a,即40在(1—2a,十⑹单调递增；

令它(力<0：.-2<x<―2a,即贫2)在(_2,—2a)单调递减.

a、a)

:.力㈤min—1(—■—2)>0=>l—2a+b+Ina>0

va)

.\b>2a-l-lna^>—>2-lna+1

aa

令无(a)=2—^^,・.〃3)=当

aCL

令"(Q)>0.・.Q>L即从a)在(1,+oo)单调递增；

8

令"(a)<0.I0VaV1,即从a)在(0,1)单调递减；

/l(a)min=无⑴=1

1

a

故选：B

(2020.全国.高三竞赛)已知首项系数为1的五次多项式/(0满足：/(n)=8%九=1,2,…，5,则f(x)的

一次项系数为.

【答案】282

【分析】由已知条件令g(c)—f(x)-8c,结合条件求出函数/(①)的表达式，然后求出一次项的系数.

【详解】解：令gQ)=f(x)-8x,则g㈤也是一个首项系数为1的五次多项式,

且g(n)=/(n)—8n=0,n=1,2,­••,5,

故g(,)有5个实数根1,2,•••,5,

所以gQ)=(X—1)(a:—2)•••(jc—5),

于是/(2)=(工一1)(土一2)…(,一5)+&c,

所以/㈤的一次项系数等于(1+/+：+:+抒5!+8=282.

故答案为：282

【点睛】关键点点睛:本题的关键是结合题意求出函数〃力)的表达式,在计算一次项的系数时注意解题方

法..

?(2018•全国•高三竞赛)已知a、0、7为方程5/—6/+76—8=0的三个不同的根，则

(df2+^2)(^82+/?/+/2)(/2+/(^+^2)的值为.

▼【答煤案0、】一16而79

【详解】注意到，(/+磔+/)(62+历+/)(/+“+&2)=亚45(/-严5(/3-a3)

50—6)5(6—7)5(7-«)

6(〃—/)—7(a—0)6(£?—7)—7(0—7)6(/2—af2)—7(7—a)

5(a—£)5(0一,)5(/—<z)

_[6(a+0)—7][6(6+7)—7][6。+0—7]

一53

[6信—7)—7][6信一0)—7][6管一用―7]

53

53

记/(力)=5(力一a)(力_0)(力—7)

则((2f2+^+/?2)(^2+jS7+72)(/2+)=1679

625.

【题型6三角函数中的竞赛考点】

例1.(2024上•全国•高三统考竞赛)给定若7x,yeR满足cosc+kcosy—1,均有\y\>?n,则

k的范围是()

A.(-oo,0)U(2,+oo)B.(—oo,0]U[2,+oo)C.[0,2]D.(0,2)

【答案】A

【分析】对参数k分0WA;W2,k<0,k>2三种情况讨论，根据余弦函数的定义域与值域的范围即可求

9

依题意，

若0&k&2,则—l&l—k&l,取g=0,则cos/+kcosp=1有解，不符题意,舍去；

若kV0,则1—kcosy=cos/W1,于是kcosy>0,此时cosyW0,必有|g|>■，取m■即可;

若k>2贝Ucosy=——:。s”-43VL必有\y\'arccos-y-,取?n=arccos-7-即可.

kkkk

综上，k的范围是(-oo,0)U(2,+8).

故选：A.

£式1】（2018•吉林・高三竞赛）已知/（力）=不詈匚,则对任意力GR,下列说法中错误的是（）

A./（c）>《sincB.|/（叫《㈤C.|/（叫《空D./（兀+工）+/（兀一2）=0

oJ

【答案】4

【详解】由/（劣）>gsinc得sin力（1—COST）>0,<1—cos/>0,所以该式不一定成立，sinn有可能是负

o

数，所以选项A错误；

73）|=,|sin3：l,WIsin^lW|x|.所以选项B正确；

|2+COST|

|/（c）|=*n引.90表示单位圆上的点和（-2,0）所在直线的斜率的绝对值，数形结合观

|2+cos幻COST—（—2）

察得到|/（,）|W乎，所以选项。正确；

O

—sin力+sinrr

/(兀+m)+/(兀-2)=1—=0,所以选项。正确.

2—cos12—cosx2—cosa;

故答案为工

（2021.全国•高三竞赛）函数/（力）=cos力的图象与直线y=kx（k>0）恰有四个不同交点，设四个交点

中横坐标的最大值为a,则a・tana=.

【答案】-1

【详解】易/（力）=cos力与g=for在区间（,兀,2兀］内相切，切点为（a,cosa）,

即该点斜率相同，所以k=-sina,

故（一sina）a=cosdr,得至Utana=----，

a

所以a•tan。=—1.

故答案为：—1

（2022.新疆.竞赛）已知二面角a—/—0的平面角为60。，4,0为直线，上的两点，射线。8在平面a

内，射线OC在平面6内，已知ABDA=45°,ZCDA=30°,则cos/BOC等于

安j

8

【详解】在a平面中，过点4作D4的垂线，交射线DB于点8交射线DC于点C,

设ZM=1,则AB==2,4。=卑,,

OO

则/氏4。=60°是二面角“一2—"的平面角；

在^BDC中，利用余弦定理得BC*2=^--^-COS^BDC,

oo

同理在ABAC中，BC2=生,

10

所以cos/BDC=2娓

O

故答案为：2娓t鼻.

O

（2021.全国•高三竞赛）在AABC中，AC=5,^—+-^―——=0,则BC+AB的值为

tan俳tan*tan专

【答案】7

【详解】解析:记△AB。中43、。所对的边分别是a、b、c,

如图，设内切圆的半径为r,

mil,Ar,Cr.Br

则tan—=--------,tan—=——,tan—=―,------

2b+c—a2a+b—c2a+c—b

~~222

故b+c—a+a+b—c=5(a+c—b),故5(Q+C)=7b,

即a+c=7,

故答案为：7

【题型7向重中的竞赛考点】

例1.（2022•江苏南京•高三强基计划）已知向量4,不满足同=3,%=2四，。辰=6,且（4+3）®+2司=0,

则5+a最小值为

［答案］正*

依题意得：日工=45°,

设—4=左，所以（a—m）=0,

如图将落，放入平面直角坐标系，

11

设日=。N，b^OC,OC中点为B,

则4(3,0),用1,1)，。(2,2),

画图可知：前的终点在以AB为直径的圆上,

可得圆心坐标,|AB|=2r—V5,

，仗一前L=\CP\-r=§丁,

故答案为：与空.

(2020.浙江,高三竞赛)已知落b为非零向量，且同=口+加=1,则\2CL+^\+间的最大值为

【答案】2四.

【详解】解法一设二=（1,0）,b=（cos。—l,sin。），则

|2a+同+忖=V（cos0+1）2+sin2^+J（cos。—1）?+sin%=2（|cos-|-|+|sin-|-|）42A/2.

解法二设.，则[了干二+前,且同=1闷=1,所以

[n=a+b[a=n—m

|2a+fe|+|6|=|n+m|+|n—m|,2（忖+阅4忖_闷2）_4d（同4同'）=2^/2.

故答案为：2A/2.

!!(2021.全国•高三竞赛)已知平面向量本隹落满足同=2,同=同=5,0<4<1,若；亮=0,那么心一

b+A(b—4)|(1—A)(5—c)|的最小值为.

【答案】V29—2/—2+V29

【分析】设日=(工,y),K=(5,0),c=(0,5),则\a-b-\-A(b—c)|+|^-c+(l—/I)(fe—c)|即为点F(5—54,5/1)到

点(圆/+娟=4上的动点)的距离与到点0(0,3)的距离,利用对称可求其最小值.

【详解】解析:建立直角坐标系.

12

设4=也,y）,X=（5,0）,c=（0,5）,

则\a—b+A（b—c）|+|-|-c+（1—/I）（6—c）|

=-（5—5/1）F+⑨-5/1）2+J（5—5/1—Op+（5。-3）2.

问题转化为点P（5—545#到点A（x,y）的距离与到点25（0,3）的距离之和最小，

其中点P（5—5儿54）在直线，+?/=5（0<cV5）上运动，

点A（x,g）在圆/+#=4上运动，

所以\PD\+\PA\>\PD\+\PO\-r^\PD\+|FO|-2.

点。关于直线c+?/=5对称的点为G（5,5）,所以

\PD\+\PO\>\DG\=V52+22=V29,

所以|PD|+）何一2,等号可以取到，所以最小值是V29-2.

故答案为：'项-2.

【点睛】思路点睛：向量的模的最值问题，可建立平面直角坐标系，将问题转化为动点到几何对象的距离和

最值的问题.

（2021.全国.高三竞赛）已知平面单位向量本次乙落且H+1+才=6,记沙=/一由+团一币+上一矶

则"的最大值为.

【答案】4

【详解】单位向量本九不满足计口3=6,则有碗=册=碗=等，不妨设四个向量如图所示，分别为

O

OA,OB.OC.OX,X在单位圆。的AB上.设|衣|=nz,|限|=九，

则有m2+n2+mn=3，

13

X

c

故有（rn+n）2=3+mnW3+（馆：>），即有m+nW2,

故^=\x-a\+1一“+|2—c|—m+n+伉一叫《2+2=4.

故答案为：4.

£(2021•全国•高三竞赛)设P是△ABC所在平面内一点，满足a4+PB+PC=3AB,若△_R4C的面积

为1,则△P4B的面积为

【答案】.

【详解】因为闻+方+1=3岳，所以3向+戏+15=3戏，

即3PA=2AB-次5=2(AB-yAC),

记AC的中点为“，于是刀=得症，

O

因此SAPAB=SAB4M=1S"AC~5•

故答案为:-y.

【题型8数列中的竞赛考点】

例1.(2023•全国•高三专题练习)已知数列｛QJ满足Q1=1,an+1=ln(l+an),n£N*.下列说法错误的是

()

B.a<2acD.3a„>4a

A.CLnQ?i+inn+1-册）,n+1

【答案】。

【分析】利用条件把每个选项中的an+i替换成飙+1=111(1+@),分别构造函数,并判断函数的正负即可,注

意判断时的范围.

对于选项A,令/(2)=ln(l+z)—1,则/(re)=—；----1='x.

1+x1+rr

当力e(―1,0)时，/㈤>0,所以/㈤在(-1,0)上单调递增；

当力e(o,+oo)时，7(力)vo,所以于㈤在(o,+00)上单调递减；

故/(/)</(0)=0,当且仅当T=0时等号成立.

下面利用数学归纳法证明每>0,

①当n=l时，Qi=l>0,不等式成立，

②假设当九=k时，。左>0,则0；+1>1,

那么当n二k+1时，因为ak+1=ln(afc+1),且耿+1>1,

14

所以ak+1=ln(afc+1)>Ini=0,

这就说明，当口=k+1时,不等式成立，

由①、②可知，原不等式对任意的正整数n都成立，即对于任意的"GN*,都有每〉0.

因此/(QJ=hi(l+Qj-Q九V/(0)=0,即ln(l+Q。V%

故0Van+1<an,即选项A正确；

由以上过程得0Van+1<an<--<Qi=1,故0Van<l对任意n£N*成立.

对于选项令g(力)=ln(l+T)—[6,0<力41,则g\x)——----\~~7―

2八1+/22(1+0；)

所以g(%)在(0,1]上单调递增，故g(力)>g(0)=0,所以ln(l+a?)>.力，即ln(l+%)>册+1>1%,

即选项_8正确；

对于选项C,由选项B得an+1>yan,

所以M>《Q九_]>..>(1■)QI=GY(TZ>2),

2\2/2

当71=1时，/=1=，

21-1

所以%>—7T，故选项C正确；

2

对于选项D,令h[x)=In(1+力)一•8,0V/W1,贝lj九'(%)=’力一告=东；：.

当°e(o《)时，h\x)>0,所以h｛x)在(o,1)上单调递增；

当力e(《,1]时，〃⑸v0，所以h｛x｝在31]上单调递减；

故九3)max=从1)=lnV-;>0,又无(0)=0，无⑴=ln2-y<0.

所以存在力oG,使九(g)=0.当力G(0,g)时，无(劣)>0；当力6(g,l)时，九(力)V0.

故九(力)=ln(l+a;)—^x,0<x<l的正负无法确定，即3Q九与4aM大小无法判断，

故选项。错误.

故选：D

L](2023・全国•高三专题练习)已知数列｛QJ的各项都是正数且满足2浦—3%=Q.ideN*,九>2),S九

是数列｛%｝的前n项和,则下列选项中错误的一项是()

A.若｛%｝单调递增，则0<的<2

B.若Qi=1,则2”VQ3V2

C.若QiW2,则(2出+1)(2。3+1)…(2an+1)=——~(n>2)

Q「2

D.若的=3,则3(3；+D.

【答案】D

【详解】

数列｛册｝的各项都是正数且满足2成一3厮=&11T(nCN*,n>2),

若｛a,J单调递增，可得an>a1,

即为a”一a„_i=4a„—2a：>0,可得0<a“<2,且nCN*),

由的<«22，可得0<5<2,故力正确；

15

若的=1,可得2谒—3a?=的=1,解得a2=3+”（负值已舍去），

由2谒—3a3=a2=3+^^,（*）,

3+产e（1.75,1.8）,

而2曷—3a3=2（&3—1~）—?在（2'*的范围是（4V2—3x2,,2）,

而2V2鲁<2,则42—3x2建（42一6,2）,故方程（*）的解在（2S2）内，故B正确；

由2湍—3an=an-i,可得2鼠—3an—2=—2,即（2an+1）（an-2）=an-x—2,

即2an+1=0-，可得（2a2+D（2a3+l）…（2册+1）=—.'二|^-马弋=色二|_4片2）,故

册一2电一2国一2为-2an-2

。正确；

若s=3,可得2谒-3a2=的=3,解得a2=3+产,52=3+3+产,

由3X（3：2+1）=*，3+3±浮-21=*二9<0,可得s<3x（