2024-2025学年四川省内江市威远中学高三（上）开学数学试卷（9月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年四川省内江市威远中学高三（上）开学数学试卷（9月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合U={−2,−1,0,1,2}，A={x∈Z|−2≤x<0}，B={x∈N|−1≤x≤1}，则(∁UA)∩B=A.{0} B.{0,1} C.{−1,0,1} D.{−1,0,1,2}2.设i为虚数单位，(−1+i)z=2+i，则复数z的虚部是(

)A.−12 B.12i C.3.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点(−3,1)，则sin2θ=(

)A.−35 B.−45 C.4.已知|a|=2，b=(2,1)，且A.22 B.23 C.5.已知a，b∈R，则“2−a<2−b”是“aA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.已知Sn是递增的等比数列{an}的前n项和，其中S3=7A.116 B.18 C.8 7.记函数f(x)=sin(ωx+π4)(ω>0)的最小正周期为T.若π2<T<πA.34 B.94 C.1548.已知函数f(x)=ex+x，g(x)=lnx+x，若f(x1)=g(A.94 B.2 C.2e−12 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=3sin(2x−π4)+1，下列结论中正确的是A.函数f(x)的周期是π B.函数f(x)的图象关于直线x=π8对称

C.函数f(x)的最小值是−2 D.函数f(x)的图象关于点10.下列说法正确的有(

)A.已知一组数据x1，x2，x3，…，x10的方差为3，则x1+2，x2+2，x3+2，…，x10+2的方差也为3

B.统计学中用线性相关系数r来衡量两个变量的线性相关性强弱，若r越小，则两个变量之间的线性相关性越弱

C.已知随机变量X服从正态分布N(μ,σ211.已知函数f(x)=ax3−3ax2+b，其中实数a>0A.f(x)必有两个极值点

B.y=f(x)有且仅有3个零点时，b的范围是(0,4a)

C.当b=2a时，点(12,0)是曲线y=f(x)的对称中心

D.当5a<b<6a时，过点A(2,a)可以作曲线y=f(x)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若(2x−1x)n的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中13.中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人.甲、乙两人要在同一个舱内，则不同的安排方案共有______．14.若定义在R上的函数f(x)满足y=f(x+1)是奇函数，f(4+x)=f(−x)，f(2)=2，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(30)=______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知a，b，c分别为△ABC的内角A、B、C的对边，且asinB=3bcosA．

(1)求角A；

(2)若a=21,b=416.(本小题15分)

CℎatGPT是AI技术驱动的自然语言处理工具，引领了人工智能的新一轮创新浪潮.某数学兴趣小组为了解使用CℎatGPT人群中年龄与是否喜欢该程序的关系，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了60名居民进行调查.整理如下2×2列联表：年龄因素对该程序的态度合计不喜欢该程序喜欢该程序青少年7中老年1630合计21注：本研究定义年龄不小于45周岁为“中老年人”，其余的称为“青少年”．

(1)请完成上面2×2列联表，并依据小概率值α=0.1的独立性检验，能否认为年龄因素与是否喜欢该程序有关系；

(2)在抽取的60名居民中有5人经常使用该程序辅助工作.以样本频率估计概率.若在全市范围内抽取20位居民，经常使用该程序辅助工作的人数为X，求X的数学期望E(X)和方差D(X)；

(3)在抽取的60名居民中有10名高中生，其中有7名男生，3名女生.为进一步了解他们的对于AI的认知和看法，在10名高中生中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为Y，求Y的分布列和数学期望．

附：χ2=α0.10.050.01x2.7063.8416.63517.(本小题15分)

已知函数f(x)=12x2−alnx+b(a∈R)．

(1)若a=−2，b=−12，求曲线y=f(x)在x=1处的切线的方程

(2)讨论函数f(x)的单调性

(3)若−2≤a<0，对任意两个不同的x1，18.(本小题17分)

夏日天气炎热，学校为高三备考的同学准备了绿豆汤和银耳羹两种凉饮，某同学每天都会在两种凉饮中选择一种，已知该同学第1天选择绿豆汤的概率是23，若在前一天选择绿豆汤的条件下，后一天继续选择绿豆汤的概率为13，而在前一天选择银耳羹的条件下，后一天继续选择银耳羹的概率为12，如此往复.(提示：设An表示第n天选择绿豆汤)

(1)求该同学第一天和第二天都选择绿豆汤的概率；

(2)求该同学第2天选择绿豆汤的概率；

(3)记该同学第n天选择绿豆汤的概率为Pn19.(本小题17分)

对于任意正整数n，进行如下操作：若n为偶数，则对n不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为an；若n为奇数，则对3n+1不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个奇数为an.若an=1，则称正整数n为“理想数”．

(1)求20以内的质数“理想数”；

(2)已知am=m−9.求m的值；

(3)将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列{bn}，记{参考答案1.B

2.C

3.A

4.C

5.D

6.C

7.C

8.A

9.AC

10.AC

11.ABD

12.80

13.6种

14.2

15.解：(1)因为asinB=3bcosA，

所以由正弦定理得sinAsinB=3sinBcosA，

因为B∈(0,π)，可得sinB≠0，

所以sinA=3cosA，可得tanA=3，

因为A∈(0,π)，

所以A=π3；

(2)在△ABC中，a=21,b=4,A=π3，

所以由余弦定理得a2=16.解：(1)根据题意可得2×2列联表如下：年龄因素对该程序的态度合计不喜欢该程序喜欢该程序青少年72330中老年141630合计213960零假设H0：年龄因素与是否喜欢该程序无关，

由列联表的数据可得：χ2=60(7×16−23×14)221×39×30×30=60×(7×30)221×39×30×30=14039≈3.590>2.706=x0.1，

根据小概率值α=0.1的独立性检验，推断H0不成立，

即年龄因素与是否喜欢该程序有关，此推断犯错误的概率不超过0.1；

(2)由题易知，随机抽取一人为经常使用该程序辅助的概率为P=560=112，则X～B(20,112)，

故E(X)=20×112=53，Y0123P17217则E(Y)=0×112017.解：(1)若a=−2，b=−12，则f(x)=12x2+2lnx−12(x>0)，

可得f′(x)=x+2x，所以f′(1)=1+21=3，且f(1)=12−12=0，

所以曲线y=f(x)在x=1处的切线的方程为y=3(x−1)，

即为3x−y−3=0；

(2)f′(x)=x−ax=x2−ax(x>0)，

当a≤0时，f′(x)>0，f(x)在x∈(0,+∞)上单调递增；

当a>0时，令f′(x)=0，解得x=±a，

当0<x<a时，f′(x)<0，f(x)在x∈(0,a)上单调递减，

当x>a时，f′(x)>0，f(x)在x∈(a,+∞)上单调递增．

综上，当a≤0时，f(x)在x∈(0,+∞)上单调递增；

当a>0时，f(x)在x∈(0,a)上单调递减，在x∈(a,+∞)上单调递增；

(3)因为−2≤a<0，0<x≤2，所以f′(x)=x−ax>0，

故函数f(x)在(0,2]上单调递增，

不妨设0<x1≤x2≤2，则由|f(x1)−f(x2)|≤m|1x18.解：(1)该同学第一天和第二天都选择绿豆汤的概率为23×13=29；

(2)设A1表示第1天选择绿豆汤，A2表示第2天选择绿豆汤，则A1−表示第1天选择银耳羹，

根据题意得，P(A1)=23,P(A1−)=13,P(A2|A1)=13,P(A2|A1−)=1−12=12，

所以P(19.解：(1)易知a1=1，a2=1，a3=5，a4=1，a5=1，⋯(后续直到20都不满足条件)，

∴2和5为两个质数“理想数”；

(2)由题设可知am=m−9必为奇数，∴m必为偶数，

∴存在正整数p，使得m2p=m−9，即m=92p−1+9：

∵92p−