浙江省杭州市富阳区“三校联考”2025届高三9月数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页浙江省杭州市富阳区“三校联考”2025届高三9月数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合A={x|(x+1)(x−4)<0}，B={x|2x+a<0}，且A∩B={x|−1<x<3}，则a=(

)A.6 B.4 C.−4 D.−62.已知z1+i=1−1i，则z=(A.2 B.22 C.23.下列说法中，正确的命题是(

)A.已知随机变量X服从正态分布N2,σ2,PX<4=0.8，则P2<X<4=0.2

B.线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱

C.已知两个变量具有线性相关关系，其回归方程为y=a+bx，若4.函数f(x)=2x+2A. B.

C. D.5.若平面单位向量a，b，c满足a,b=π6，b⋅cA.5 B.3 C.156.设a=2π，b=log2πA.c>b>a B.a>c>b C.b>c>a D.a>b>c7.已知过抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F的直线与C交于A，B两点，线段AB的中点为M(x0,y0)，且|AB|=2x0+1，A.324 B.3228.已知数列an满足a1=3,an+1−an=2,4bn=(−1)n+1A.(110,+∞) B.(15,+∞)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知a>0，b>0，直线l1:x+(a−2)y+1=0，l2:bx+y−2=0，且lA.0<ab≤1 B.a+b≤2 10.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为4，点E、F、G分别在棱D1A1、D1C1、A1AA.存在λ∈(0,1)使得平面EFG截正方体所得截面图形为四边形

B.当λ=34时，三棱锥B−EFG体积为32

C.当λ=34时，三棱锥A1−EFG的外接球表面积为34π

D.当11.已知函数f(x),g(x)的定义域均为R，g′(x)为g(x)的导函数，且f(x)+g′(x)=1，f(x)−g′(4−x)=3,若g(x)为奇函数，则(

)A.f(2)=2 B.g′(0)+g′(4)=−2

C.f(−1)=f(−3) D.g′(−4)=g′(4)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知n∈Z，且3≤n≤6，若x−1x3n的展开式中存在常数项，则展开式中x−413.已知四个函数： ①y=−ex， ②y=−lnx， ③y=x， ④y=14.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1，F2，以线段F1F四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)在△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，4(1)求角A．

(2)若△ABC的面积为33，a=13，D为边BC16.(本小题15分)如图(1)，在▵ABC中，CD⊥AB，BD=2CD=2AD=4，点E为AC的中点．将▵ACD沿CD折起到▵PCD的位置，使DE⊥BC，如图(2)．(1)求证：PB⊥PC．(2)在线段BC上是否存在点F，使得CP⊥DF？若存在，求二面角P−DF−E的余弦值；若不存在，说明理由．17.(本小题15分)已知函数fx(1)当a=−32时，求(2)当x≥1时，不等式fx≥0恒成立，求a18.(本小题17分)

已知P(x,y)在曲线C：x+1=(x−1)2+y2，直线l：y=k(x−1)交曲线C于A，B两点.(点A在第一象限)

(1)求曲线C的方程；

(2)若过(1,0)且与l垂直的直线l′与曲线C交于C，D两点；(点C在第一象限)

(ⅰ)求四边形ACBD面积的最小值．

(ⅱ)设AB，CD的中点分别为P19.(本小题17分)在三维空间中，立方体的坐标可用三维坐标a1,a2,a3表示，其中ai∈{0,1},i=1,2,3，而在n维空间中(n≥2,n∈N)，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n维坐标a1,(1)求出n维“立方体”的顶点数；(2)在n维“立方体”中任取两个不同顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离．①求X的分布列与期望；②求X的方差．

参考答案1.D

2.C

3.D

4.C

5.A

6.B

7.A

8.D

9.ABD

10.BD

11.ABD

12.6

13.1214.1715.解：(1)因为433S=b2[sin(2A+B)sinB+1]，

所以433S=(sin2AcosB+cos2AsinBsinB+1)⋅b2=2sinAcosAcosB+2cos2AsinBsinB⋅b2=2cosAsin(A+B)sinB⋅b2=2cosAsinCsinB⋅b2，

由正弦定理得，433S=2ccosAb⋅b2，即433×12bcsinA=2bccosA，

因为bc≠0，

16.解：(1)证明：依题意可知点E为PC的中点，PD=CD=2，

所以DE⊥PC，

又DE⊥BC，BC∩PC=C，BC，PC⊂平面PCB，

所以DE⊥平面PCB，

又PB⊂平面PCB，所以DE⊥PB，

依题意可知CD⊥PD，CD⊥BD，BD∩PD=D，BD，PD⊂平面PDB，

所以CD⊥平面PDB，

又PB⊂平面PDB，所以CD⊥PB，

因为CD∩DE=D，CD，DE⊂平面PCD，所以PB⊥平面PCD，

又PC⊂平面PCD，

所以PB⊥PC．

(2)由题意，得PC=AC=22+22=22，BC=22+42=25，

由(1)PC⊥PB，所以PB=(25)2−(22)2=23．

以点D为坐标原点，DP，DC所在直线分别为x轴、z轴，过点D且平行于PB的直线为y轴，建立空间直角坐标系，

如图，则D(0,0,0)，P(2,0,0)，C(0,0,2)，E(1,0,1)，B(2,23,0)，

所以CP=(2,0,−2)，DP=(2,0,0)，DE=(1,0,1)，

设BF=tBC(0≤t≤1)，即BF=tBC=(−2t,−23t,2t)，

则F(2−2t,23−23t,2t)，DF=(2−2t,23−23t,2t)，

若存在点F，使得CP⊥DF，则CP⋅DF=4−8t=0，

解得t=12，则DF=(1,3,1)，

设平面17.解：(1)当a=−32时，f(x)=−32x−lnx−12x，x>0，

则f′(x)=−32−1x+12x2=−(3x−1)(x+1)2x2，

令f′(x)<0，得x∈(13,+∞)；令f′(x)>0，得x∈(0,13)，

所以f(x)在(0,13)上单调递增，在(13,+∞)上单调递减；

所以f(x)在x=13处取到极大值f(13)=ln3−2，无极小值；

(2)因为x≥1，f(x)=ax−lnx−12x≥0恒成立，

所以a≥lnxx+12x2恒成立，18.解：(1)将x+1=(x−1)2+y2两边同时平方，

此时(x+1)2=(x−1)2+y2，

整理得y2=4x，

所以曲线C的方程为y2=4x；

(2)(ⅰ)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，D(x4,y4)，

由(1)知曲线C的准线为x=−1，

设F(1,0)，

由抛物线性质可知|AF|=x1+1，|BF|=x2+1，|CF|=x3+1，|DF|=x4+1，

因为|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2，|CD|=|CF|+|DF|=x3+x4+2，

又直线l过(1,0)且与直线l′交于点(1,0)，

所以CF⊥AB，DF⊥AB，

此时S四边形ACBD=S△ACB+S△ABD=12|AB|⋅|CF|+12|AB|⋅|DF|=12|AB|⋅|CD|，

联立y=k(x−1)y2=4x，消去y并整理得k2x2−(2k2+4)x+k19.解：(1)对于

n

维坐标

a1,a2,a所以共有

2n

种不同的点，即共有

2n(2)①对于

X=k1≤k≤n,k