2024-2025学年安徽师大附中高三（上）周测数学试卷（9月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年安徽师大附中高三（上）周测数学试卷（9月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若集合M={x|y=x−4}，N={y|y=3x2A.[0,+∞) B.[0,1] C.[4,+∞) D.[1,+∞)2.已知复数z1=2−i，z2=a+i(a∈R)，若复数z1⋅A.−12 B.12 C.−23.函数f(x)=(1−21+exA. B.

C. D.4.若α∈(π4,π2)，且A.3 B.2 C.3 D.5.已知直线l：x−ay−1=0与⊙C：x2+y2−2x+4y−4=0交于A，B两点，设弦AB的中点为M，O为坐标原点，则A.[3−5,3+5] B.[6.已知随机事件A，B满足P(A)=13，P(A|B)=34，P(BA.14 B.316 C.9167.已知定义在R上的函数f(x)满足2f(x)=f(−x)+3ex，则曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为(

)A.y=3x+3 B.y=3x−3 C.y=x+3 D.y=x−38.F1、F2是双曲线E：x2a2−y2b2=1(a,b>0)的左、右焦点，点M为双曲线EA.87 B.65 C.53二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法中正确的是(

)A.某射击运动员在一次训练中10次射击成绩(单位：环)如下：6，5，7，9，6，8，9，9，7，5，这组数据的第70百分位数为8

B.若随机变量X～B(100,p)，且E(X)=20，则D(X)=16

C.若随机变量X～N(μ,σ2)，且P(X>4)=P(X<−2)=p，则P(−2≤X≤1)=12−p

D.对一组样本数据(x1,10.已知数列{an}满足a1=1，A.{1an+3}为等比数列 B.{an}的通项公式为an=1211.1675年，天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：在同一平面内，到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卡西尼卵形线.在平面直角坐标系xOy中，设定点F1(−c,0)，F2(c,0)，其中c>0，动点P(x,y)满足|PF1|⋅|PF2|=a2A.原点O在曲线C的内部

B.曲线C既是中心对称图形，又是轴对称图形

C.若a=c，则|OP|的最大值为2a

D.若0<a≤2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.设(−2x+1)6=a0+13.已知正数x，y满足x+y=6，若不等式a≤x2x+1+y14.已知函数f(x)=(x+1)ex,x≤0lnxx,x>0，函数g(x)=四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,cosAcosB=2sin(C−π6)．

(1)求B；

(2)若△ABC的面积为316.(本小题15分)

某中学为了解高中数学学习中抽象思维与性别的关系，随机抽取了男生120人，女生80人进行测试.根据测试成绩按[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]分组得到如图所示的频率分布直方图，并且男生的测试成绩不小于60分的有80人．

(1)填写下面的2×2列联表，判断是否有95%的把握认为高中数学学习中抽象思维与性别有关；成绩小于60成绩不小于60合计男_______________女_______________合计_______________(2)规定成绩不小于60(百分制)为及格，按及格和不及格用分层抽样，随机抽取10名学生进行座谈，再在这10名学生中选2名学生发言，设及格学生发言的人数为X，求X的分布列和期望．

附：K2P(0.100.0500.010k2.7063.8416.63517.(本小题15分)

已知四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AB//CD，A1A⊥平面ABCD，AD⊥AB，其中AB=AA1=2，AD=DC=1.N是B1C1的中点，M是D18.(本小题17分)

已知O为坐标原点，F(1,0)是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点，过F且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A，B两点.当A为短轴顶点时，△AOF的周长为3+3．

(1)求C的方程；

(2)若线段AB的垂直平分线分别交x轴、y轴于点P19.(本小题17分)

已知函数f(x)=alnx−x+1x(a∈R)．

(1)若a=2，求证：当x≥1时，f(x)≤0；

(2)若f(x)有两个不同的极值点x1，x2(x1<x2)且x1参考答案1.D

2.A

3.A

4.C

5.D

6.A

7.C

8.D

9.BC

10.ABD

11.BCD

12.365

13.(−∞,4]

14.(−115.解：(1)由cosAcosB=2sin(C−π6)，得cosA=2cosB(32sinC−12cosC)，①

由A+B+C=π，得cosA=−cos(B+C)=−cosBcosC+sinBsinC，②

由①②联立，得sinBsinC=3cosBsinC，

由C∈(0,π)，得sinC≠0，所以tanB=3，

又由B∈(0,π)，得B=π3．

(2)因为△ABC的面积为3，

所以12b×1=3，得b=2316.解：(1)成绩小于60分的人数为：200×[(0.0025+0.0075+0.01)×20]=200×0.4=80，

由题意得2×2列联表如下表：成绩小于60成绩不小于60合计男4080120女404080合计80120200∴K2=200×(40×40−40×80)280×120×80×120=509>3.841，

故有95%的把握认为高中数学学习中抽象思维与性别有关；

(2)由(1)知，200人中不及格的人数为80，及格人数为120，

用分层抽样随机抽取的10名学生中不及格有4人，及格有6人，

由题意，X的所有可能取值为0，1，2，且X服从超几何分布，P(X=k)=C6kC42−kCX012

P

2

81E(X)=0×21517.(1)证明：取CB1中点P，连接NP，MP，

因为N是B1C1的中点，所以NP//CC1，且NP=12CC1，

因为M是DD1的中点，所以D1M=12DD1=12CC1，且D1M//CC1，

所以D1M//NP，D1M=NP，

所以四边形D1MPN是平行四边形，

所以D1N//MP，

又MP⊂平面CB1M，D1N⊄平面CB1M，

所以D1N//平面CB1M.

(2)解：在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，AD⊥AB，

所以AB，AD，AA1两两垂直，

以A为原点，直线AB，AD，AA1分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0,0,0)，18.解：(1)设椭圆C的焦距为2c，因为椭圆C的焦点为F(1,0)，可得c=1，

又因为A为短轴顶点时，△AOF的周长a+b+1=3+3，

又由a2=b2+1，所以a2=(2+3−a)2+1，解得a=2,b=3，

所以椭圆C的标准方程为x24+y23=1．

(2)解法一：因为椭圆C的焦点为F(1,0)，设直线AB：y=k(x−1)，

联立方程组y=k(x−1)x24+y23=1，整理得(4k2+3)x2−8k2x+4k2−12=0，

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=8k24k2+3，y1+y2=k(x1+x2)−2k=−6k4k2+3，

则M(4k24k2+3,−3k4k2+3)，

于是线段AB的垂直平分线的方程为y=−1k(x−419.证明：(1)a=2时，f(x)=2lnx−x+1x，

则f′(x)=2x−1−1x2=−x2+2x−1x