专题16模型构建专题：相似三角形中的六大基本模型(原卷版+解析)

专题16模型构建专题：相似三角形中的六大基本模型【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【考点一（双）A字型相似】 1【考点二（双）8字型相似】 7【考点三母子型相似】 16【考点四手拉手型相似】 21【考点五K字型相似】 26【考点六三角形内接矩形】 30【典型例题】【考点一（双）A字型相似】【基本模型】①如图，在中，点D在上，点E在上，，则，．②模型拓展1：斜交A字型条件：，图2结论：；③模型拓展2：如图，∠ACD＝∠B⇔△ADC∽△ACB⇔．例题：如图，在中，点分别在上，且．（1）求证：；（2）若点在上，与交于点，求证：．【变式训练】1．（2023秋·山西大同·九年级大同一中校考期末）如图所示，在中，点是的中点，，点在边上，下列判断错误的是（）

A． B．C． D．2．（2023·云南昭通·校考三模）如图，在中，、分别是、上的点，且，，若的面积为1，则四边形的面积为．

3．（2023春·山东泰安·八年级统考期末）如图，小明欲测量一座信号发射塔的高度．他站在该塔的影子上前后移动，直到他自己影子的顶端正好与塔的影子的顶端重合，此时他距离该塔20米．已知小明的身高是1.8米，他的影长是2米．

(1)图中与△ADE是否相似？为什么？(2)求信号发射塔的高度．4．（2023春·山东烟台·八年级统考期中）如图，在中，点，分别在边，上，，射线分别交线段，于点，，且．求证：．5．（2023秋·江苏淮安·九年级统考期末）如图，D是的边AC上的一点，连接BD，使．(1)说明．(2)，，求线段AC的长．6．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）如图，中，已知，点D、F是分别为垂足，．(1)求证：；(2)若，直接写出和的周长比．【考点二（双）8字型相似】【基本模型】①如图1，AB∥CD⇔△AOB∽△COD⇔；②如图2，∠A＝∠D⇔△AOB∽△DOC⇔．③模型拓展：如图，∠A＝∠C⇔△AJB∽△CJD⇔．例题：（2023·全国·九年级专题练习）如图，是的中位线，点在上，．连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为（

）A． B．7 C． D．8【变式训练】1．（2023·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）如图，是的对角线，点在的延长线上，连接分别交，于点，，则下列式子一定正确的是（

）

A． B． C． D．2．（2023秋·甘肃白银·九年级校考期末）如图，D、E分别是的边上的点，，若，则的值为（）

A． B． C． D．3．（2023春·福建福州·九年级校考阶段练习）小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体在幕布前形成倒立的实像(点A，B的对应点分别是C，D)．若物体的高为，小孔O到物体和实像的水平距离，分别为，则实像的高度为．

4．（2023·山西吕梁·校联考模拟预测）如图，正方形的边长为3，点在边上，交于点，交于点，交于点，若，则．

5．（2023秋·湖南益阳·九年级校考期末）如图，与交于点，，，求的度数．

6．（2023春·广西南宁·九年级南宁市天桃实验学校校考阶段练习）【模型启迪】（1）如图1，在中，为边的中点，连接并延长至点，使，连接，则与的数量关系为______，位置关系为______；

【模型探索】（2）如图2，在中，为边的中点，连接，为边上一点，连接交于点，且．求证：；【模型应用】（3）如图3，在(2)的条件下，延长至点，使，连接，交的延长线于点．若，，，求线段的长．【考点三母子型相似】【基本模型】如图为斜“A”字型基本图形．当时，，则有．．如图所示，当E点与C点重合时，为其常见的一个变形，即子母型．当时，，则有．例题：如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，AD＝BD．(1)求证：△ABC∽△BDC．(2)若∠C＝90°，BC＝2，求AB的长．【变式训练】1．（2023春·山东烟台·八年级统考期末）如图，在中，D是AB边上的点，，，则AC的长为（

）

A．1.5 B．2 C．2.5 D．2．如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA．（1）求证：AC2＝BC•CD；（2）若AD是△ABC的中线，求的值．3．（2023春·山东泰安·八年级统考期末）小军在学习相似三角形时，遇到这样一个问题：

(1)如图1，在中，是边上一点，连接，若，求证：；(2)如图2，已知，，，求的度数．4.在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC交AC于点D．（1）如图（1），若AB＝3，AC＝5，求AD的长；（2）如图（2），过点A分别作AC，BD的垂线，分别交BC，BD于点E，F．①求证：∠ABC＝∠EAF；②求的值．【考点四手拉手型相似】【基本模型】①如图，若△ABC∽△ADE，则△ABD∽△ACE.[来源:Zxxk.Com]②如图所示，和都是等腰直角三角形，的延长线与相交于点P，则，且相似比为，与的夹角为．总结：旋转相似型中由公共旋转顶点、一点及其旋转后的对应点组成的三角形与由公共旋转顶点、另一点及其旋转后的对应点组成的三角形相似．③如图所示，，则，，且．例题：如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，C，F，G三点在一直线上，连接AF并延长交边CD于点M．（1）求证：△MFC∽△MCA；（2）求证△ACF∽△ABE；（3）若DM=1，CM=2，求正方形AEFG的边长．【变式训练】1.如图，AB＝3，AC＝2，BC＝4，AE＝3，AD＝4.5，DE＝6，∠BAD＝20°，则∠CAE的度数为（）A．10° B．20° C．40° D．无法确定2．（2023春·山东菏泽·九年级统考期中）【问题呈现】（1）如图1，和△ADE都是等边三角形，连接．求证：．【类比探究】（2）如图2，和△ADE都是等腰直角三角形，，连接．请直接写出的值．【拓展提升】（3）如图3，和△ADE都是直角三角形，，且．连接．

①求的值；②延长交于点，交于点．求的值．【考点五K字型相似】【基本模型】(1)“三垂直”模型：如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE.(2)“一线三等角”模型：如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE.特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE.补充：其他常见的一线三等角图形例题：如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，使得AE⊥DE．(1)求证：△ABE∽△ECD；(2)若AB＝4，AE＝BC＝5，求CD的长．【变式训练】1．（2023春·湖南株洲·九年级统考开学考试）如图，已知矩形，点在边上，连接，过点作交于点．

(1)求证：．(2)若，，，求的长．2．（1）问题如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当时，求证：．（2）探究若将90°角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．（3）应用如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在BC上，点E在AC上，点F在BC上，且，若，求CD的长．【考点六三角形内接矩形】【基本模型】由之前的基本模型（A型或AX型）推导出来的。结论：AH⊥GF，△AGF∽△ABC，例题：如图1，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，正方形DEFG的顶点D、G分别在AB、AC上，EF在BC上．（1）求正方形DEFG的边长；（2）如图2，在BC边上放两个小正方形DEFG、FGMN，则DE=．【变式训练】1．（2023秋·福建莆田·九年级校考开学考试）如图，在中，点、在上，点、在、上，四边形是矩形，，是的高，，，那么的长为．

2．（2023·山东·九年级专题练习）如图，在中，，垂足为D，，四边形和四边形均为正方形，且点E、F、G、N、M都在的边上，那么与四边形的面积比为．

专题16模型构建专题：相似三角形中的六大基本模型【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【考点一（双）A字型相似】 1【考点二（双）8字型相似】 7【考点三母子型相似】 16【考点四手拉手型相似】 21【考点五K字型相似】 26【考点六三角形内接矩形】 30【典型例题】【考点一（双）A字型相似】【基本模型】①如图，在中，点D在上，点E在上，，则，．②模型拓展1：斜交A字型条件：，图2结论：；③模型拓展2：如图，∠ACD＝∠B⇔△ADC∽△ACB⇔．例题：如图，在中，点分别在上，且．（1）求证：；（2）若点在上，与交于点，求证：．【答案】（1）见解析；（2）见解析【详解】解：（1）在△AEF和△ABC中，∵，，∴△AEF∽△ABC；（2）∵△AEF∽△ABC，∴∠AEF=∠ABC，∴EF∥BC，∴△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，∴,，∴．【变式训练】1．（2023秋·山西大同·九年级大同一中校考期末）如图所示，在中，点是的中点，，点在边上，下列判断错误的是（）

A． B．C． D．【答案】D【分析】根据，，可得，进而根据相似三角形的性质即可求解．【详解】解：∵，，∴，∴，，故A，B，C选项正确；∵点是的中点，∴，∵，∴，故D选项错误，故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．2．（2023·云南昭通·校考三模）如图，在中，、分别是、上的点，且，，若的面积为1，则四边形的面积为．

【答案】【分析】根据相似三角形的性质以及判定即可求出答案．【详解】解：∵，∴，∴，∵，∴，∵的面积是8，∴四边形的面积为：，故答案为：．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定和性质．3．（2023春·山东泰安·八年级统考期末）如图，小明欲测量一座信号发射塔的高度．他站在该塔的影子上前后移动，直到他自己影子的顶端正好与塔的影子的顶端重合，此时他距离该塔20米．已知小明的身高是1.8米，他的影长是2米．

(1)图中与△ADE是否相似？为什么？(2)求信号发射塔的高度．【答案】(1)相似，见解析(2)19.8米【分析】（1）根据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似；（2）利用相似三角形的性质求得相应线段的长即可．【详解】（1）解：理由：由题意知，，∴，∵∠A＝∠A，∴；（2）解：由题意知，米，米，米，∴米，∵，∴，即解得米，经检验符合题意，∴信号发射塔的高度为19.8米．【点睛】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．4．（2023春·山东烟台·八年级统考期中）如图，在中，点，分别在边，上，，射线分别交线段，于点，，且．求证：．【答案】见解析【分析】先证明．可得，结合，即可得到结论．【详解】证明：，，，，．∵，，∴，∵，∴．【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．5．（2023秋·江苏淮安·九年级统考期末）如图，D是的边AC上的一点，连接BD，使．(1)说明．(2)，，求线段AC的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据，再由公共角，利用两对角相等的三角形相似即可得证；（2）由相似得比例，即可求出的长．【详解】（1）∵，，∴；（2）∵，∴，∵，，∴，∴．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．6．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）如图，中，已知，点D、F是分别为垂足，．(1)求证：；(2)若，直接写出和的周长比．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）先判断，可证得，利用内错角相等，两直线平行可证明；（2）根据相似三角形的判定与性质求解即可．【详解】（1）证明：∵，垂足分别为D，F，∴，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵，∴，∴和的周长比，∵，∴，∴和的周长比为．【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练运用平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键．【考点二（双）8字型相似】【基本模型】①如图1，AB∥CD⇔△AOB∽△COD⇔；②如图2，∠A＝∠D⇔△AOB∽△DOC⇔．③模型拓展：如图，∠A＝∠C⇔△AJB∽△CJD⇔．例题：（2023·全国·九年级专题练习）如图，是的中位线，点在上，．连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为（

）A． B．7 C． D．8【答案】C【分析】根据三角形中中位线定理证得，求出，进而证得，根据相似三角形的性质求出，即可求出结论．【详解】解：是的中位线，，，，，，∴．故选：C．【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质和判定，熟练掌握三角形中位线定理和相似三角形的判定方法是解决问题的关键．【变式训练】1．（2023·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）如图，是的对角线，点在的延长线上，连接分别交，于点，，则下列式子一定正确的是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】由相似三角形的判定和性质即可判断．【详解】解：四边形是平行四边形，，，∴，，∴，，故A错误；∵点在的延长线上，∴，∴，，∴，，故B错误；由A、B选项知，，，∴，，，故C正确；∵，∴，，∴，，故D错误，故选：C．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，关键是掌握相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例．2．（2023秋·甘肃白银·九年级校考期末）如图，D、E分别是的边上的点，，若，则的值为（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知条件易求得，由可证，，可得的值，再利用相似三角形的性质即可解决问题．【详解】解：∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，故选：D．【点睛】本题考查了等高的两个三角形的面积之间的关系和相似三角形的判定和性质，属于基本题型，熟练掌握相似三角形的判定和性质是关键．3．（2023春·福建福州·九年级校考阶段练习）小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体在幕布前形成倒立的实像(点A，B的对应点分别是C，D)．若物体的高为，小孔O到物体和实像的水平距离，分别为，则实像的高度为．

【答案】5【分析】根据，通过证明，根据相似三角形的相似比即可求得．【详解】解：∵，∴，∵边上的高等于，边上的高等于，∴，∵，∴，∴故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解决本题的关键．4．（2023·山西吕梁·校联考模拟预测）如图，正方形的边长为3，点在边上，交于点，交于点，交于点，若，则．

【答案】【分析】由正方形性质，判定、，由相似比得到，即，再由勾股定理求出长即可得到答案．【详解】解：如图所示：

在正方形中，，，，，，正方形的边长为3，，，，，解得，，在正方形中，，，，，，即，在正方形中，，，则由勾股定理可得，，故答案为：．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，涉及正方形性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．5．（2023秋·湖南益阳·九年级校考期末）如图，与交于点，，，求的度数．

【答案】．【分析】证明，即可得到．【详解】解：∵，，∴，∴．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握“两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似”是解题的关键.6．（2023春·广西南宁·九年级南宁市天桃实验学校校考阶段练习）【模型启迪】（1）如图1，在中，为边的中点，连接并延长至点，使，连接，则与的数量关系为______，位置关系为______；

【模型探索】（2）如图2，在中，为边的中点，连接，为边上一点，连接交于点，且．求证：；【模型应用】（3）如图3，在(2)的条件下，延长至点，使，连接，交的延长线于点．若，，，求线段的长．【答案】(1)；(2)见解析；(3)【分析】（1）根据证明，得到，，得到，以此即可解答；（2）延长至点，使，连接，利用中方法同理可证，得到，，由可得，根据等边对等角可得和对顶角相等可得，进而可得，以此即可证明；（3）延长至点，使，连接，由可知，可得，，进而可得，易得，由相似三角形的性质得，设，表示出，建立方程，解方程，即可求解．【详解】（1）解：∵为边的中点，，在和中，，，，，∴，故答案为：，；（2）证明：延长至点，使，连接，

由（1）同理可得：，，，，，，，即，；（3）解：延长至点，使，连接，

由（2）可知，，，，，，设，，，整理得：，解得：，经检验，是原方程的解，．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．【考点三母子型相似】【基本模型】如图为斜“A”字型基本图形．当时，，则有．．如图所示，当E点与C点重合时，为其常见的一个变形，即子母型．当时，，则有．例题：如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，AD＝BD．(1)求证：△ABC∽△BDC．(2)若∠C＝90°，BC＝2，求AB的长．【答案】(1)见解析；(2)4．【分析】（1）先证明∠A＝∠DBA，进而得到∠A＝∠CBD，再根据∠C＝∠C，即可证明△ABC∽△BDC；（2）根据∠C＝90°得到∠A＋∠ABC＝90°，根据（1）得到∠A=∠ABD＝∠CBD，即可求出∠A＝30°，即可求出AB＝4．（1）证明：如图，∵AD＝BD，∴∠A＝∠DBA，∵BD平分∠ABC交AC于点D，∴∠CBD＝∠DBA，∴∠A＝∠CBD，∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC；（2）解：如图，∵∠C＝90°，∴∠A＋∠ABC＝90°，由（1）得∴∠A=∠ABD＝∠CBD，∴∠A＋∠ABD＋∠CBD＝3∠A＝90°，∴∠A＝30°，∵BC＝2，∴AB＝4．【点睛】本题考查了相似三角形的证明和直角三角形的性质，熟知相似三角形的判定方法是解题关键，第（2）步中求出∠A＝30°是解题关键．【变式训练】1．（2023春·山东烟台·八年级统考期末）如图，在中，D是AB边上的点，，，则AC的长为（

）

A．1.5 B．2 C．2.5 D．【答案】B【分析】由，，证明，可得，代入数据，从而可得答案．【详解】解：∵，，∴，∴，∵，∴，∴，(负值已舍)，故选：B．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质的综合应用是解题的关键．2．如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA．（1）求证：AC2＝BC•CD；（2）若AD是△ABC的中线，求的值．【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）首先利用相似三角形的判定得出，得，进而求出，再利用相似三角形的性质得出答案即可；（2）由可证，进而得出，再由（1）可证，由此即可得出线段之间关系．【详解】（1）证明：，，，，，，，．（2）解：，，，，AD是△ABC的中线，，，即：，∴．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及重心的性质等知识，根据已知得出是解题关键．3．（2023春·山东泰安·八年级统考期末）小军在学习相似三角形时，遇到这样一个问题：

(1)如图1，在中，是边上一点，连接，若，求证：；(2)如图2，已知，，，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据相似三角形的判定定理求解即可；（2）首先证明出，然后利用相似三角形的性质得到，然后利用三角形内角和定理求解即可．【详解】（1）∵，∴；（2）∵，∴∴∵∴∴∵∴解得∴．【点睛】本题考查相似三角形，三角形内角和定理，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．4.在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC交AC于点D．（1）如图（1），若AB＝3，AC＝5，求AD的长；（2）如图（2），过点A分别作AC，BD的垂线，分别交BC，BD于点E，F．①求证：∠ABC＝∠EAF；②求的值．【答案】（1）AD＝；（2）①见解析；②．【详解】（1）∵∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠ACB.又∠A＝∠A，∴△ABD∽△ACB，∴，即，∴AD＝（2）①证明：∵AE⊥AC，AF⊥BD，∴∠AFB＝∠EAC＝90°.又∵∠ABF＝∠C，∴△ABF∽△ECA，∴∠BAF＝∠CEA.∵∠BAF＝∠BAE＋∠EAF，∠AEC＝∠ABC＋∠BAE，∴∠ABC＝∠EAP.②如图，取CE的中点M，连接AM.在Rt△ACE中，AM＝CE，∠AME＝2∠C.∵∠ABC＝2∠C，∴∠ABC＝∠AME，∴AM＝AB，∴．【考点四手拉手型相似】【基本模型】①如图，若△ABC∽△ADE，则△ABD∽△ACE.[来源:Zxxk.Com]②如图所示，和都是等腰直角三角形，的延长线与相交于点P，则，且相似比为，与的夹角为．总结：旋转相似型中由公共旋转顶点、一点及其旋转后的对应点组成的三角形与由公共旋转顶点、另一点及其旋转后的对应点组成的三角形相似．③如图所示，，则，，且．例题：如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，C，F，G三点在一直线上，连接AF并延长交边CD于点M．（1）求证：△MFC∽△MCA；（2）求证△ACF∽△ABE；（3）若DM=1，CM=2，求正方形AEFG的边长．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．【详解】解：（1）四边形是正方形，四边形是正方形，，，，，；（2）四边形是正方形，，，，同理可得，，，，；（3），，，，，，即，，，，即正方形的边长为．【变式训练】1.如图，AB＝3，AC＝2，BC＝4，AE＝3，AD＝4.5，DE＝6，∠BAD＝20°，则∠CAE的度数为（）A．10° B．20° C．40° D．无法确定【答案】B【解答】，，，∴，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠CAE＝∠BAD＝20°，故选：B．2．（2023春·山东菏泽·九年级统考期中）【问题呈现】（1）如图1，和△ADE都是等边三角形，连接．求证：．【类比探究】（2）如图2，和△ADE都是等腰直角三角形，，连接．请直接写出的值．【拓展提升】（3）如图3，和△ADE都是直角三角形，，且．连接．

①求的值；②延长交于点，交于点．求的值．【答案】（1）见解析；（2）；（3）；【分析】（1）由等边三角形的性质可得，从而得到，由证明，即可得到；（2）由等腰直角三角形的性质可得，从而得到，证明，最后根据相似三角形的性质即可得到答案；（3）由是直角三角形，可得，通过证明得到，从而得到，即可推出，最后由相似三角形的性质即可得到答案；由得，，，得到，由三角形内角和定理和对顶角相等可得，从而得到．【详解】（1）证明：和△ADE都是等边三角形，，，，在和中，，，；（2）解：和△ADE都是等腰直角三角形，，，，，，，（3）是直角三角形，，令，则，，和都是直角三角形，，且，，，，，，，由得，，，，，，，，，即，．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质、三角形相似的判定与性质、三角形内角和定理、勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质、三角形相似的判定与性质、三角形内角和定理、勾股定理，是解题的关键．【考点五K字型相似】【基本模型】(1)“三垂直”模型：如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE.(2)“一线三等角”模型：如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE.特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE.补充：其他常见的一线三等角图形例题：如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，使得AE⊥DE．(1)求证：△ABE∽△ECD；(2)若AB＝4，AE＝BC＝5，求CD的长．【答案】（1）见解析；（2）CD＝．【详解】(1)证明：∵AB⊥BC，DC⊥BC，∴∠B＝∠C＝90°，∠BAE＋∠AEB＝90°，∵AE⊥DE，∴∠AED＝90°，∴∠AEB＋∠DEC＝90°，∴∠BAE＝∠DEC，∴△ABE∽△ECD.(2)在Rt△ABE中，∵AB＝4，AE＝5，∴BE＝3，∴EC＝BC－BE＝5－3＝2，∵△ABE∽△ECD，∴，∴，∴CD＝.【变式训练】1．（2023春·湖南株洲·九年级统考开学考试）如图，已知矩形，点在边上，连接，过点作交于点．

(1)求证：．(2)若，，，求的长．【答案】(1)证明过程见详解(2)的长为【分析】（1）根据矩形的性质可得，，根据，可得，由此可得，根据相似三角形的判定即可求解；（2）由（1）可知，根据相似三角形的性质即可求解．【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，∴，∴在中，，∵，∴，∴，∴，且，∴．（2）解：∵，，∴，且，由（1）可知，，∴，即，解得，，∴的长为．【点睛】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质的综合，掌握以上知识是解题的关键．2．（1）问题如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当时，求证：．（2）探究若将90°角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．（3）应用如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在BC上，点E在AC上，点F在BC上，且，若，求CD的长．【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析；（3）【分析】（1）由∠DPC=∠A=B=90°，可得∠ADP＝∠BPC，即可证到△ADP△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；（2）由∠DPC＝∠A＝∠B＝α，可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；（3