2023年北京市初三一模数学试题汇编：新定义（第28题）

第1页/共1页2023北京初三一模数学汇编新定义（第28题）一、解答题1.（2023·北京西城·统考一模）在平面直角坐标系xOy中，给定图形W和点P，若图形W上存在两个不同的点S，T满足ST=2PM。其中点M为线段ST的中点，则称点P是图形W的相关点.（1）已知点A（2，0）①在点中，线段OA的相关点是_______；②若直线上存在线段OA的相关点，求b的取值范围.（2）已知点Q（-3，0），线段CD的长度为d，当线段CD在直线x=-2上运动时，如果总能在线段CD上找到一点K，使得在y轴上存在以QK为直径的圆的相关点，直接写出d的取值范围.2.（2023·北京朝阳·统考一模）在平面直角坐标系xOy中，对于点P，C，Q（点P与点C不重合），给出如下定义：若∠PCQ=90°，且，则称点Q为点P关于点C的“k-关联点”.已知点A（3，0），点B（0，），⊙O的半径为r.（1）①在点D（0，3），E（0，-1.5），F（3，3）中，是点A关于点O的“1-关联点”的为；②点B关于点O的“-关联点”的坐标为；（2）点P为线段AB上的任意一点，点C为线段OB上任意一点（不与点B重合）.①若⊙O上存在点P关于点O的“-关联点”，直接写出r的最大值及最小值；②当r=时，⊙O上不存在点P关于点C的“k-关联点”，直接写出k的取值范围：.3.（2023·北京海淀·统考一模）在平面直角坐标系中，对于点P（m，n），我们称直线y＝mx＋n为点P的关联直线.例如，点P（2，4）的关联直线为y＝2x＋4.（1）已知点A（1，2）①点A的关联直线为____________；②若⊙O与点A的关联直线相切，则⊙O的半径为_________；（2）已知点C（0，2），点D（d，0）.点M为直线CD上的动点.①当d=2时，求点O到点M的关联直线的距离的最大值；②以T（﹣1，1）为圆心，3为半径的⊙T.在点M运动过程中，当点M的关联直线与⊙T交于E，F两点时，EF的最小值为4，请直接写出d的值.4．（2023·北京房山·统考一模）在平面直角坐标系xOy中，对于直线ly=kx＋b（k≠0）和点P，给出如下定义：将点P向右（k>0）或向左（k<0）平移|k|个单位长度，再向上（b≥0）或向下（b<0）平移|b|个单位长度，得到点P'，将点P'关于y轴对称点Q称为点P关于直线l的“平移对称点”.（1）如图，已知直线l为.①点A坐标为（1，2），则点A关于直线l的“平移对称点”坐标为；②在直线l上是否存在点B，使得点B关于直线l的“平移对称点”还在直线l上？若存在求出点B的坐标，若不存在请说明理由.（2）已知直线m：y=－x＋b，若以点T（t，0）为圆心，1为半径的圆上存在一点P，使得点P关于直线m的“平移对称点”在直线m上，直接写出t的取值范围.5.（2023·北京丰台·统考一模）对于点P和图形G，若在图形G上存在不重合的点M和点N，使得点P关于线段MN中点的对称点在图形G上，则称点P是图形G的“中称点”.在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，0），B（1，1），C（0，1）.（1）在点P0），P），P1），P2）中，是正方形OABC的“中称点”；（2）⊙T的圆心在x轴上，半径为1.①当圆心T与原点O重合时，若直线y=x+m上存在⊙T的“中称点”，求m的取值范围；②若正方形OABC的“中称点”都是⊙T的“中称点”，直接写出圆心T的

横坐标t的取值范围.6．（2023·北京门头沟·统考一模）在平面直角坐标系xOy中，已知图形G上的两点M，N（点M，N不重合）和另一点P，给出如下定义：连接PM，PN，如果，则称点P为点M，N的“条件拐点”．（1）如图1，已知线段MN上的两点，；①点，，中，点M，N的“条件拐点”是______；②如果过点且平行于x轴的直线上存在点M，N的“条件拐点”，求a的取值范围；（2）如图2，已知点，，过点F作直线轴，点M，N在直线l上，且．如果直线上存在点M，N的“条件拐点”，直接写出t的取值范围．7．（2023·北京顺义·统考一模）给出如下定义：对于线段PQ，以点P为中心，把点Q逆时针旋转60°得到点R，点R叫做线段PQ关于点P的“完美点”．例如等边△ABC中，点C就是线段AB关于点A的“完美点”．在平面直角坐标系xOy中.(1)已知点A(0，2)，在，，，中，是线段OA关于点O的“完美点”；(2)直线上存在线段，若点恰好是线段BO关于点B的“完美点”，求线段的长；(3)若OC=4，OE=2，点D是线段OC关于点O的“完美点”，点F是线段EO关于点E的“完美点”．当线段DF分别取得最大值和最小值时，直接写出线段CE的长.8．（2023·北京通州·统考一模）在中，，给出如下定义：作直线l分别交边于点M，N，点A关于直线l的对称点为，则称为等腰直角关于直线l的“直角对称点”．（点M可与点B重合，点N可与点C重合）（1）在平面直角坐标系中，点，直线，为等腰直角关于直线l的“直角对称点”．①当时，写出点的坐标__________；②连接，求长度的取值范围；（2）的半径为10，点M是上一点，以点M为直角顶点作等腰直角，其中，直线l与分别交于E、F两点，同时为等腰直角关于直线l的“直角对称点”，连接．当点M在上运动时，直接写出长度的最大值与最小值．9.（2023·北京延庆·统考一模）在平面直角坐标系中，⊙O的半径为2．对于线段AB和点C（点C不在直线AB上），给出如下定义：过点C作直线AB的平行线l，如果线段AB关于直线l的对称线段A'B'是⊙O的弦，那么线段AB称为⊙O的点C对称弦．（1）如图，D(2，6)，E(2，6)，F(3，1)，G(1，3)，H(0，3)，在线段DE，FG中，⊙O的点H对称弦是；（2）等边△ABC的边长为1，点C(0，t).若线段AB是⊙O的点C对称弦，求t的值；（3）点M在直线y=x上，⊙M的半径为1，过点M作直线y=x的垂线，交⊙M于点P，Q．若点N在⊙M上，且线段PQ是⊙O的点N对称弦，直接写出点M的横坐标m的取值范围．10．（2023·北京燕山·统考一模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，M为⊙O上一点，点N(0，－2)．对于点P给出如下定义：将点P绕点M顺时针旋转90°，得到点P′，点P′关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”．(1)如图，已知点M(0，1)，点P(4，0)，点Q为点P的“对应点”．①在图中画出点Q；②求证：OQ＝OM；(2)点P在轴正半轴上，且OP＝t(t＞1)，点Q为点P的“对应点”，连接PQ，

参考答案1．解：（1）=1\*GB3①，； 2分=2\*GB3②由题意可得线段OA的所有相关点都在以OA为直径的圆上及其内部，如图．设这个圆的圆心是H．∵A（2，0），∴H（1，0）．当直线与⊙H相切，且b＞0时，将直线与x轴的交点分别记为B，则点B的坐标是（-b，0）．∴BH＝1＋b．∵BH＝，∴，解得．当直线与⊙H相切，且b＜0时，同理可求得．所以b的取值范围是≤b≤． 5分（2）d≥． 7分2．解：（1）①D.②（-3，0）或（3，0）.（2）①3，.②k≥.3.（本题满分7分）（1）①y=x+2；……………1分②2；……………2分（2）①当d=2时，直线CD过点（0，2），（2，0），∴直线CD解析式为y=x+2.∵点M在直线CD上，∴设M点坐标为（m，m+2）.∴点M的关联直线为l：y=mxm+2.∴直线l过定点H（1，2），则.∵点O到直线l的距离，∴，当OH⊥l，即时，.∴点O到点M的关联直线的距离的最大值为.…………5分②d=2或d=.…………………7分4.（1）①（－2，1）；……2分②存在.设点B坐标为（x，x－1），则它向右平移1个单位，再向下平移1个单位的点坐标为B'（x+1，x－2），B'关于y轴对称点坐标为（－x－1，x－2）……3分代入y=x－1得x－2=－x－1－1，x=0；……4分∴点B坐标为（0，－1）.……5分（2）－≤t≤……7分5.解：（1），；……2分（2）①由题意得：⊙T的“中称点”在以O为圆心，3为半径的圆内，当直线y=x+m与此圆相切于点D时，直线与y轴交于点E（0,）；相切于点F时，直线与y轴交于点G（0,）.∵直线y=x+m上存在⊙T的“中称点”，∴.……5分②.……7分6．（本小题满分7分）解：（1）①，.……………2分②∵M（0，2），N（4，0），∴.……………………3分取MN的中点O，以O为圆心，OM长为半径作圆，当过点A且平行于x轴的直线与⊙O相切或相交时，直线上存在点M，N的“条件拐点”，∴.……………5分（2）或.…………7分说明：若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分。7．（1）.………………2分（2）∵点B′恰好是线段BO关于点B的“完美点”，∴△OBB′是等边三角形．∴过点O作OM⊥BB′于点M．∵BB′在直线上∴OM=，∠BOM=30°，∴BM=．∴BB′=．……………5分（3）当线段DF取得最大值时，CE=；………6分当线段DF取得最小值时，CE=．………7分8.暂缺…………2分9．（本小题满分7…………2分解：（1）DE，FG；（2）如图，线段AB是⊙O的点C对称弦，AB与OH交于点G，∴点G是AB的中点．∵等边△ABC的边长为1，∴CG=，BG=．连接OB，∵⊙O的半径为2，∴OG=．∴OC=．∴=．…………5分当点C在边AB上方时，可以得到=．…………5分利用圆的轴对称性，可以得到=，=．…………7分（3）≤m≤，且m≠±．…………7分10．(本题满分7分)解：(1)①如图，点Q即为所求；②证明：方法一：如图1，过点P′作P′T⊥y轴于点T，∵将点P绕点M顺时针旋转90°，得到点P′，∴MP′＝MP，∠P′MP＝90°，∴∠P′MT＋∠OMP＝90°．∵∠MOP＝90°，∴∠OMP＋∠OPM＝90°，∴∠P′MT＝∠OPM，∴△P′MT≌△PMO，∴MT＝OP＝4，P′T＝OM＝1，∴P′(－1，－3)．∵点P′关于点N(0，－2)的对称点为Q，∴Q(1，－1)，∴OQ＝．∵OM＝1，∴OQ＝OM．(图1)（图2）