一元一次方程的应用课件 2024-2025学年北师大版七年级数学上册

第五章一元一次方程第1课时几何图形问题第3节一元一次方程的应用如图，用一块橡皮泥先捏出一个“瘦高”的圆柱，然后再让这个“瘦高”的圆柱“变矮”，变成一个“矮胖”的圆柱，请思考下列几个问题：(1)在你操作的过程中，圆柱由“高”变“矮”，圆柱的底面直径是否变化了?还有哪些量改变了?(2)在这个变化过程中，什么量没有变化呢?创设情境，导入新课探究点利用一元一次方程解决几何图形问题1.图形的等积变化某饮料公司有一种底面直径和高分别为6.6cm，12cm的圆柱形易拉罐饮料.经市场调研决定对该产品外包装进行改造，计划将它的底面直径减少为6cm.那么在容积不变的前提下，易拉罐的高度将变为多少厘米?(1)这个问题中包含哪些量?它们之间有怎样的等量关系?包含的量：圆柱形易拉罐改造前后的底面半径、

高、容积活动引入，合作探究“容积不变”等量关系：改造前易拉罐容积=改造后易拉罐容积

容积不变，但直径(半径)和高有变改造前改造后直径(半径)减少，高如何变化？

(2)设新包装的高度为xcm，借助下面的表格梳理问题中的信息有关量旧包装新包装底面半径/cm高/cm12x容积/cm3

(3)根据等量关系，列出方程设新包装的高度为xcm根据等量关系列出方程

解得x=14.52答：新包装的高度为14.52cm1.列方程的关键找出问题中的等量关系2.解决实际问题的基本步骤理解题意，寻找等量关系，设未知数列方程，解方程，作答.有关量旧包装新包装底面半径/cm高/cm12x容积/cm32.图形的等长变化用一根长为10m的铁丝围成一个长方形.(1)如果该长方形的长比宽多1.4m，那么此时长方形的长、宽各为多少米?(2)如果该长方形的长比宽多0.8m，那么此时长方形的长、宽各为多少米?此时的长方形与(1)中的长方形相比，面积有什么变化?(3)如果该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，那么此时正方形的边长是多少米?正方形的面积与(2)中长方形的面积相比又有什么变化?②如图，题中围长方形的过程中有什么没有发生变化?长方形的周长(或长与宽的和)不变①本题涉及哪些量?铁丝的长，长方形的长、宽、周长、面积.例题分析④如图，结合(1)(2)问题意，若设长方形的宽为xm，则长方形的长可怎么表示?试用含x

的代数式在下面图中表示出来.③题中有怎样的等量关系?等量关系：(长＋宽)×2＝周长(周长就是铁丝的长度)xm(x+1.4)mxm(x+0.8)m(1)(2)解：(1)设此时长方形的宽为xm，则它的长为(x+1.4)m.根据题意，得2(x+1.4)+2x＝10解得

x=1.81.8+1.4=3.2此时长方形的长为3.2m，宽为1.8m.(1)如果该长方形的长比宽多1.4m，那么此时长方形的长、宽各为多少米?xm(x+1.4)m解：设此时长方形的宽为xm，则它的长为(x+0.8)m.根据题意，得2(x+0.8)＋2x＝10解得：x＝2.1，2.1+0.8=2.9此时长方形的长为2.9m，宽为2.1m，

长方形面积为2.9×2.1＝6.09(m2)(1)中长方形的面积为3.2×1.8＝5.76(m2)，6.09-5.76＝0.33(m2)此时(2)中长方形的面积比(1)中长方形的面积增大0.33m2(2)如果该长方形的长比宽多0.8m，那么此时长方形的长、宽各为多少米?此时的长方形与(1)中的长方形相比，面积有什么变化?xm(x+0.8)m(3)设正方形的边长为xm根据题意，得4x=10解得x=2.5正方形的边长为2.5m，面积为2.5×2.5＝6.25(m2)，比(2)中长方形的面积增大6.25-6.09＝0.16(m2)(3)如果该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，那么此时正方形的边长是多少米?正方形的面积与(2)中长方形的面积相比又有什么变化?所列方程的两边分别表示长方形的周长和铁丝的长度列方程的思路先设一边长为未知数，再用含未知数的代数式表示出周长，根据周长等于铁丝的长度10m这个等量关系列出方程.思考在前面的问题中，所列方程的两边分别表示什么量?列方程的思路是什么?

总结：周长一定的长方形，长和宽的差值越小，长方形的面积越大；当长和宽相等时(即为正方形时)，长方形(正方形)的面积最大.针对练习一个梯形的下底比上底多6cm，高是8cm，面积为88cm2，求这个梯形的上底和下底的长度.解：设梯形的上底为xcm，则下底为(x+6)cmxcm(x+6)cm8cm

解得x=8x+6=14答：梯形的上底为8cm，下底为14cm.【选自教材P149随堂练习】1.直径为30cm、高为50cm的圆柱形瓶里装满了饮料，现将饮料倒入底面直径为10cm的圆柱形水杯，刚好倒满30杯，则水杯的高度是多少?解：设水杯的高度为xcm

解得x=15答：水杯的高度为15cm知识延伸，巩固升华针对训练一个长方形的周长是40cm，若将长减少6cm，宽增加2cm，长方形就变成了正方形，则长方形的长、宽各为多少厘米?

解得x=14

答：长方形的长为14cm，则宽为6cm.*利用一元一次方程解决一般几何图形问题(1)有一块边长为4cm的正方体形橡皮泥，要用它来捏一个长、宽分别为8cm，2cm的长方体橡皮泥，求它的高.解：设高为xcm43=8×2x解得x=4答：高为4cm(2)如图，小明将一张正方形纸片剪去一个宽为6cm的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为8cm的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等，那么每一个长条的面积为多少？解：设正方形的边长为xcm6x=8(x-6)解得x=24答：每一个长条的面积为144cm26×24=144(3)用一根120cm长的铁丝围成一个长方形，使该长方形的长是宽的2倍，则这个长方形的长、宽分别为多少？解：设长方形的宽为xcm，则长为2xcm.2(x+2x)=120解得x=20答：长方形的宽为20cm，长为40cm2×20=40*培优点利用一元一次方程解决拼接图形问题如图，周长为68的长方形ABCD

被分成7个相同的小长方形，则长方形ABCD

的面积为多少？

解得x=4答：长方形ABCD

的面积为280.5×4=20

1．两个圆柱体容器如图所示，它们的底面直径分别为4cm和8cm，高分别为39cm和10cm.先在右侧容器中倒满水，然后将其倒入左侧容器中.倒完以后，左侧容器中的水面离容器口有多少厘米?小刚是这样做的：设倒完以后，左侧容器中的水面离容器口有xcm.列方程π×22×(39-x)=π×42×10.解得x=-1.请你对他的结果作出合理的解释.【选自教材P154习题5.3第1题】随堂训练，课堂总结解：由题意可知，第一个容器的体积为22×39×π=156πcm2第二个容器的体积为42×10×π=160πcm2第二个容器的体积大于第一个容器的体积，因此将第二个容器装满水后再倒入第一个容器中，水会溢出，即方程π×22×（39－x）=π×42×10的解小于0.2.现有两块试验田，第一块试验田的面积比第二块试验田面积的3倍还多100m2，这两块试验田的面积共2900m2，两块试验田的面积分别是多少?解：设第二块试验田的面积是xm2，则第一块试验田的面积是（3x+100）m2根据题意，得x+3x+100=2900解得x=700所以3x+100=2200答：第一块试验田的面积是2200m2，第二块试验田的面积是700m2【选自教材P154习题5.3第3题】3.如图，小强将一个正方形纸片剪去一个宽为4cm的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为5cm的长条.如果两次剪下的长条面积正好相等，那么每一个长条的面积为多少?解：设正方形的边长为xcm根据题意，得4x=5（x－

4）解得x=20所以每一个长条的面积为4×20=80(cm2)答：每一个长条的面积为80cm2.【选自教材P154习题5.3第4题】4.如图，某种卷筒纸的外直径为14cm，内直径为6cm，每层纸的厚度为0.02cm.假如把这筒纸全部拉开，那么这筒纸的总长度大约是多少米（π取3.14)?【选自教材P154习题5.3第5题】解：设卷筒纸的宽度为xcm

40πx卷筒纸的总长度为：40πx÷0.02x≈6280(cm)=62.8(m)答：卷筒纸的总长度为62.8m课堂小结利用一元一次方程解决一般几何图形问题一般几何图形问题的大致类别解决方案等体积变形以体积为不变量，用不同方式表示出体积，据此等量关系列方程求解等面积变形以面积为不变量，用不同方式表示出面积，据此等量关系列方程求解等周长变形以周长为不变量，用不同方式表示出周长，据此等量关系列方程求解第五章一元一次方程第2课时古代数学问题授课老师：孙老师第3节一元一次方程的应用把一些书分给几名学生，如果每人分3本，那么多出8本；如果每人分5本，那么还少2本.共有多少本书？

共有多少名学生？创设情境，导入新课探究点利用一元一次方程解决古代数学问题1.《九章算术》“盈不足”章第一题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问：人数、物价各几何？

题目大意：几个人合伙买东西，若每人出8钱，则会多出3钱；若每人出7钱，则还少4钱.合伙人数、物品的价格分别是多少？(1)问题中有哪些已知量和未知量？

它们之间有怎样的等量关系？活动引入，合作探究已知量：每人出8钱和7钱时出钱总数与物价的差距；未知量：人数与物价.等量关系：每人出的钱数×人数-多出的钱数=每人出的钱数×人数+少出的钱数(1)问题中有哪些已知量和未知量？

它们之间有怎样的等量关系？(2)设人数为x，其他未知量能用含x

的代数式表示并完成下表.(3)根据等量关系，列出方程设人数为x.根据等量关系，列出方程：______________

解这个方程，得x

＝________因此，人数为________，物价为_________钱.有关量每人出8钱每人出7钱人数x出钱总数物价8x8x-3x7x7x+48x-3=7x+47753思考：如果设物价为y钱，用含y的代数式表示其他未知量，并补充表格.有关量每人出8钱每人出7钱物价y出钱总数人数y+3

yy-4

根据等量关系，列出方程设物价为y.根据等量关系，列出方程：______________

2.《九章算术》“盈不足”章第五题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百.问：人数、金价各几何？

题目大意：几个人合伙买金，每人出400钱，会多出3400钱；每人出300钱，会多出100钱.合伙人数、金价各是多少？(1)问题中的等量关系是怎样的？每人出的较多钱数×人数－多出的钱数＝每人出的较少钱数×人数－多出的钱数.(2)设人数为x，补充下列表格有关量每人出400钱每人出300钱人数x出钱总数金价400x400x-3400x300x300x-100设合伙数为x.，则金价可表示为_________________根据等量关系，列出方程：______________

解这个方程，得x

＝________因此，人数为________人，金价为_________钱.(400x-3400)钱或(300x-100)钱400x-3400=300x-10033339800300×33-100=9800设金价为y钱，则人数可表示为____________根据等量关系，列出方程：______________

思考(1)设金价为y钱，能列出怎样的方程？有关量每人出400钱每人出300钱金价y出钱总数人数y+3400

yy+100

(2)《九章算术》给出了一种算法：人数＝两次剩余钱数之差÷两次每人所出钱数之差；物价＝每人出的钱数×人数－剩余钱数.此种求法与方程的求解过程相比有什么不同？第二次出钱总数-物价=第二次剩余钱数第一次出钱总数-物价=第一次剩余钱数

①②①和②两边分别相减得到两次出钱总数之差＝两次剩余钱数之差所以人数＝两次剩余钱数之差÷两次每人所出钱数之差.两次出钱总数之差＝两次每人所出钱数之差×人数，针对练习隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤.问：人、银各几何？(选自《算法统宗》)题目大意：几个人分银子，若每人分7两，则剩余4两；若每人分9两，则差8两.有多少个人？有多少两银子？(1斤=16两)解：设一共x人，则银子可表示为(7x+4)两或(9x-8)两根据题意列方程得7x+4=9x-8解得x=67×6+4=46(两)答：有6人，有46两银子.【选自教材P150随堂练习】1.《孙子算经》中有一道题，原文是“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问：人与车各几何？”题目大意：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；每2人共乘一车，最终剩余9人无车可乘.共有多少人？

多少辆车？(1)问题中的等量关系是怎样的？一辆车乘的较多人数×(车数－剩余空车数)＝一辆车乘的较少人数×车数＋无车可乘的人数知识延伸，巩固升华(2)设车辆数为x，补充下列表格有关量每3人共乘1车每2人共乘1车车辆数x乘车的人数总人数3(x-2)3(x-2)x2x2x+9解：设共有x辆车根据题意列方程得3(x-2)=2x+9解得x=153×(15-2)=39(人)答：共有39人，有15辆车.针对训练我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：我问开店李三公.众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房.该店有客房多少间？

多少客人？解：设该店有客房x

间则根据题意，得7x+7＝9(x-1)解得x＝87×8+7=63答：该店有客房8间，63名客人.《孙子算经》中有一道题，原文是：今有四人共车，一车空；三人共车，九人步，问：人与车各几何？

译文为：今有若干人乘车，若每4人共乘一车，则最终剩余1辆车；若每3人共乘一车，则最终剩余9个人无车可乘，共有多少人？

多少辆车？设共有x

人，可列方程()*根据“盈不足”问题列方程

A我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，则有多少匹大马？

多少匹小马？培优点根据古代数学问题列方程

1.某物流中转站为提高工作效率，配置了快递自动化智能分拣设备，现对一批中转货物进行分拣.若每套设备每小时分拣3.5万件，则经过1h，剩下4万件未分拣；若每套设备每小时分拣4万件，则经过1h，剩下1万件未分拣.该物流中转站配置了多少套这样的分拣设备？解：设该物流中转站配置了x套分拣设备根据题意，得3.5x+4＝4x+1解得x＝6答：该物流中转站配置了6套分拣设备【选自教材P155习题5.3第6题】随堂训练，课堂总结2.今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十.问：家数、牛价各几何？(选自《九章算术》)题目大意：几家人合伙买牛，若每7家合伙出190钱，则差330钱；若每9家合伙出270钱，则多了30钱.家数、牛价各是多少？

解得x=126

答：一共有126家，牛价为3750钱.【选自教材P155习题5.3第7题】课堂小结古代数学问题数学问题（一元一次方程）表格分析寻找等量关系第五章一元一次方程第3课时行程问题授课老师：孙老师第3节一元一次方程的应用假如兔子每分钟跑30m，乌龟每分钟爬1m，它们同时同地同向出发，兔子跑了2min后觉得领先太多，就躺下睡觉了.乌龟出发多久后追上兔子？引用故事，导入新课探究点利用一元一次方程解决行程问题1.追及问题小明每天早上要到距家1000m的学校上学.一天，小明以80m/min的速度出发，出发后5min，小明的爸爸发现小明忘了带语文书.于是，爸爸立即以180m/min的速度沿同一条路去追小明，并且在途中追上了他.爸爸追上小明用了多长时间？

追上小明时，距离学校还有多远？(1)问题中有哪些已知量和未知量？问题引入，合作探究已知量：小明家与学校的距离、小明的速度、爸爸的速度、小明先出发的时间；未知量：爸爸追小明所用的时间、爸爸追小明期间小明所走的路程、爸爸追小明的路程.(1)问题中有哪些已知量和未知量？(2)分析追及的过程，用一个图直观表示问题中各个量之间的关系.家学校小明先出发的路程爸爸追小明的路程爸爸追小明期间小明走的路程小明先出发的路程＋爸爸追小明期间小明所走的路程＝爸爸追小明的路程(3)根据题意列出方程设爸爸追上小明用了xmin.当爸爸追上小明时，两人所行路程相等，如图所示.x

=4.80x+80×5=180x答：爸爸追上小明用了4min.小明：爸爸：根据题意，得80×5180x100x

=400化简，得80x解得追上小明时，距离学校还有多远？解：180×4=720（m）1000－720=280（m）所以，追上小明时，距离学校还有280m.1000m？180×4针对练习小明和小刚步行的速度分别为4.5km/h和3.5km/h.他们分别从A，B两地同时出发.如果相向而行，那么0.5h相遇；如果他们同向而行(小刚在前，小明在后)，那么小明追上小刚需要几小时？解：设小明追上小刚需要xh.根据等量关系，可列出方程(4.5+3.5)×0.5＋3.5x＝4.5x解得x＝4.答：如果他们同向而行，那么小明追上小刚需要4h.归纳总结甲、乙两人同向出发，甲追乙这类问题为追及问题：(1)对于同向同时不同地的问题，如图所示甲的行程-乙的行程＝两出发地的距离甲出发地乙出发地追及地甲的行程乙的行程(2)对于同向同地不同时的问题，如图所示甲的行程=乙先走的路程＋乙后走的路程.甲、乙出发地追及地甲的行程乙后走的路程乙先走的路程小明和小华两人在400m的环形跑道上练习长跑，小明每分钟跑260m，小华每分钟跑300m，两人起跑时站在跑道同一位置.(1)如果小明起跑后1min小华才开始跑，那么小华用多长时间能追上小明？(2)如果小明起跑后1min小华开始反向跑，那么小华起跑后多长时间两人首次相遇？2.环形跑道问题思考：题目中涉及的量、等量关系解：设小华用了xmin追上小明根据等量关系，可列出方程：

260+260x=300x

解得

x=6.5答：小华用6.5min追上小明等量关系：(1)小华的路程=小明1min的路程＋小华追小明期间小明的路程等量关系：(2)小华的路程+小华跑步期间小明的路程＝跑道一圈的长－小明1min的路程解：设小华起跑后xmin两人首次相遇，根据等量关系，列出方程：260x+300x=400-260解得，x=0.25答：小华起跑后0.25min两人首次相遇.归纳总结(1)环形跑道问题：设v甲>v乙，环形跑道长sm，经过ts，甲、乙第一次相遇①同时同地同向而行：v甲t-v乙t=s②同时同地背向而行：v甲t+v乙t=s(2)用一元一次方程解决实际问题的一般步骤实际问题数学问题（一元一次方程）实际问题的解数学问题的解(一元一次方程的解)寻找等量关系抽象解方程验证解释回顾本节一元一次方程应用的学习，对于如何寻找等量关系列方程，你积累了那些经验？针对练习甲、乙二人在一环形场地上从A点同时同向匀速跑步，甲的速度是乙的2.5倍，4min后两人首次相遇，此时乙还需要跑300m才跑完第一圈，求甲、乙二人的速度及环形场地的周长.解：设乙的速度为xm/min，则甲的速度为2.5xm/min根据等量关系，可列出方程2.5x×4-4x=4x+300解得x=1502.5×150=375，4×150+300＝900答：甲的速度为375m/min，乙的速度为150m/min，环形场地的周长为900m.《孙子算经》记载：“今有长木，不知长短，引绳度之，余绳若干，屈绳度之，余绳二尺五寸，绳再屈量之，不足二尺五寸，木长几何？”大意是：用一根绳子去度量一根长木，余绳较多，将绳子对折后去量，绳子还剩余2.5尺，将绳子再次对折后再量，绳子则差2.5尺，木长多少尺？

设木长x尺，则可列方程为()AA．2(x+2.5)＝4(x-2.5)

B．2x-2.5＝4(x-2.5)C．2x+2.5=4x-2.5

D．2(x+2.5)＝4x-2.5知识延伸，巩固升华如图，设木长x

尺.因为将绳子对折后去量，绳子还剩余2.5尺，所以绳子长为2(x+2.5)尺.因为将绳子再次对折后再量，绳子则差2.5尺，所以绳子长为4(x-2.5)尺，所以方程为2(x+2.5)＝4(x-2.5).故选A.针对训练今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺.问：几何？(选自《孙子算经》)题目大意：有一根木材，不知道它的长度，用一根绳子来量，绳子长出4尺5寸；将这根绳子对折来量，绳子差1尺.这根木材有多长？

【选自教材P152随堂练习】*行程问题中的顺逆航行问题航行工具等量关系船顺水速度＝船在静水中的速度＋水流速度；逆水速度＝船在静水中的速度－水流速度；顺水速度－逆水速度＝2×水流速度飞