新教材2024年秋高中数学章末综合测评3函数的概念与性质新人教A版必修第一册

章末综合测评(三)函数的概念与性质(时间：120分钟满分：150分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2024·江苏连云港月考)函数f(x)＝(x－1)0＋x-1＋A．(1，2)B．(2，＋∞)C．(1，2)∪(2，＋∞)D．(－∞，－2)∪(1，2)2．若幂函数的图象经过点9，13，则A．13C．9 D．83．(2024·河北石家庄外国语学校月考)已知f1x-1＝x＋1，则fA．f(x)＝1x+2(B．f(x)＝1+xx(C．f(x)＝1x＋2(xD．f(x)＝1x－1(x4．(2024·江苏海门市第一中学期中)若函数f(x)＝ax4＋(a－2b)x＋a－1是定义在(－a，0)∪(0，2a－2)上的偶函数，则faA．1 B．7C．525．(2024·北京学业水平考试)某停车场的停车收费标准如表所示：停车收费标准小型车大型车白天(7：00－19：00)首小时内2.5元/15分5元/15分首小时后3.75元/15分7.5元/15分夜间(19：00(不含)－次日7：00)1元/2时2元/2时注：白天停车收费以15分为1个计时单位，夜间停车收费以2小时为1个计时单位，满1个计时单位后方可收取停车费，不足1个计时单位的不收取费用．李明驾驶家用小轿车于17：30进入该停车场，并于当天21：10驶出该停车场，则李明应缴纳的停车费为()A．13.5元 B．18.5元C．20元 D．27.5元6．(2024·湖南张家界期末)已知函数y＝f(x)可表示为()x0<x≤22<x≤44<x≤66<x≤8y2345则下列结论正确的是()A．f(f(5))＝5B．f(x)的值域是{2，3，4，5}C．f(x)的值域是[2，5]D．f(x)在区间[4，8]上单调递增7．(2024·新高考Ⅰ卷)若定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满意xf(x－1)≥0的x的取值范围是()A．[－1，1]∪[3，＋∞)B．[－3，－1]∪[0，1]C．[－1，0]∪[1，＋∞)D．[－1，0]∪[1，3]8．(2024·浙江台州中学月考)已知定义在R上的函数f(x)满意f(4)＝7，且f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，则f(1)＝()A．－3 B．－1C．1 D．3二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．(2024·福建宁德市高级中学月考)下列函数中，与函数y＝x＋2是同一个函数的是()A．y＝(x+2)2 B．y＝3C．y＝x2x＋2 D．y＝10．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是()A．y＝x B．y＝|x|＋1C．y＝x23 D．y11．已知函数f(x)，g(x)的定义域都是R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，2f(x)＋3g(x)＝6x2－2x＋3，则()A．[f(x)]2－3g(x)是偶函数B．f(x)＝－xC．g(x)＝2x2＋1D．g(2)＝412．(2024·信达外国语学校月考)对于实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，例如[π]＝3，[－1.08]＝－2，定义函数f(x)＝x－[x]，则下列命题中正确的是()A．f(－3.9)＝f(4.1)B．函数f(x)的最大值为1C．函数f(x)的最小值为0D．方程f(x)－12三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知f(x)＝x2-3，x>0，14．(2024·江苏高考)已知y＝f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)＝x23，则15．已知函数f(x)＝ax-1，x<1，x2-2ax，x≥1满意∀x1，x216．已知函数f(x－1)＝x2＋(2a－2)x＋3－2a.(1)若函数f(x)在区间[－5，5]上为单调函数，则实数a的取值范围为________；(2)若f(x)在区间[－5，5]上的最小值为－1，则a的值为________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)(2024·山东枣庄市第三中学月考)设全集U＝R，不等式2x-3<－1的解集为A，函数y＝-x2+5x-6的定义域为B，求A∩B，A∪18．(本小题满分12分)对于随意x∈R，函数f(x)表示－x＋3，32x+12，x2－4x19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax+bx2+1，f(x)为R上的奇函数且f(1)求a，b；(2)推断f(x)在[1，＋∞)上的单调性并证明；(3)当x∈[－4，－1]时，求f(x)的最大值和最小值．20．(本小题满分12分)(2024·湖北黄石市第七中学月考)已知幂函数f(x)＝(2m2－5m＋3)xm的定义域为R.(1)求f(x)的解析式；(2)若f(x)>3x＋k－1在[－1，1]上恒成立，求实数k的取值范围．21．(本小题满分12分)已知函数f(x)是定义在R上的增函数，并且满意f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，f(1)＝4.(1)求f(0)的值．(2)推断函数f(x)的奇偶性．(3)若f(2x＋3)－f(x)＜8，求x的取值范围．22．(本小题满分12分)(2024·山东省试验中学月考)某市地铁项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，列车的发车时间间隔t(单位：分钟)满意2≤t≤20，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔t相关：当10≤t≤20时列车为满载状态，载客量为500人；当2≤t<10时，载客量会削减，削减的人数与(10－t)的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，记列车载客量为p(t)．(1)求p(t)的表达式，并求当发车时间间隔为5分钟时，列车的载客量；(2)若该线路每分钟的净收益为Q(t)＝8pt章末综合测评(三)1．C2．B3．C4．D5．B6．B7．D8．C9．BD[函数y＝x＋2的定义域为R，A．y＝(x+2)2的定义域为[－2，＋∞)，定义域不同，故不是同一个函数；B．y＝3x3＋2＝x＋2，定义域为C．y＝x2x＋2＝x＋2，定义域为{x|D．y＝t＋2，定义域为R，故是同一个函数；故选BD．]10．BC[对于A，y＝x是奇函数，故不符合题意；对于B，y＝|x|＋1是偶函数，在(0，＋∞)上单调递增，符合题意；对于C，y＝x2对于D，y＝－1x11．ABC[令F(x)＝[f(x)]2－3g(x)，因为f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，所以F(－x)＝[f(－x)]2－3g(－x)＝[－f(x)]2－3g(x)＝[f(x)]2－3g(x)＝F(x)，所以F(x)＝[f(x)]2－3g(x)是偶函数，故A正确；因为2f(x)＋3g(x)＝6x2－2x＋3①所以2f(－x)＋3g(－x)＝6(－x)2－2(－x)＋3，因为f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，所以－2f(x)＋3g(x)＝6x2＋2x＋3②由①②，得f(x)＝－x，g(x)＝2x2＋1，故B，C正确；因为g(x)＝2x2＋1，所以g(2)＝8＋1＝9，故D错误．故选ABC．]12．ACD[依据符号[x]的意义，探讨当自变量x取不同范围时函数f(x)＝x－[x]的解析式：当－1≤x<0时，[x]＝－1，则f(x)＝x＋1；当0≤x<1时，[x]＝0，则f(x)＝x；当1≤x<2时，[x]＝1，则f(x)＝x－1；当2≤x<3时，[x]＝2，则f(x)＝x－2．画函数f(x)＝x－[x]的部分图象如图所示：A：依据定义可知，f(－3.9)＝－3.9－(－4)＝0.1，f(4.1)＝4.1－4＝0.1，即f(－3.9)＝f(4.1)，所以A正确；B：从图象可知，函数f(x)＝x－[x]最高点处取不到，所以B错误；C：函数图象最低点处函数值为0，所以C正确；D：从图象可知y＝f(x)与y＝12的图象有无数个交点，即f(x)＝13．－6－33[因为函数f(x)是奇函数，所以f(－3)＝g(－3)＝－f(3)＝－6，所以f(g(－3))＝f(－6)＝－f(6)＝－33．]14．－4[y＝f(x)是奇函数，可得f(－x)＝－f(x)，当x≥0时，f(x)＝x可得f(8)＝82则f(－8)＝－f(8)＝－4．]15．0，23[因为对∀x1，x2∈R，且x1≠x2所以函数在R上单调递增．所以a>0，a≤1，16．(1)(－∞，－5]∪[5，＋∞)(2)±3[令x－1＝t，则x＝t＋1，f(t)＝(t＋1)2＋(2a－2)·(t＋1)＋3－2a＝t2＋2at＋2，所以f(x)＝x2＋2ax＋2．(1)因为f(x)的图象的对称轴为x＝－a，由题意知－a≤－5或－a≥5，解得a≥5或a≤－5．故实数a的取值范围为(－∞，－5]∪[5，＋∞)．(2)当a>5时，f(x)min＝f(－5)＝27－10a＝－1，解得a＝145当－5≤a≤5时，f(x)min＝f(－a)＝－a2＋2＝－1，解得a＝±3；当a<－5时，f(x)min＝f(5)＝27＋10a＝－1，解得a＝-145(舍去)．综上，a＝±17．解：由2x-3<－1，化简可得x-1x-所以集合A＝{x|1<x<3}，由y＝-x2+5x-6有意义可得－所以x2－5x＋6≤0，所以(x－2)(x－3)≤0，所以2≤x≤3，所以集合B＝{x|2≤x≤3}，所以∁UB＝{x|x<2或x>3}，所以A∩B＝{x|2≤x<3}，A∪B＝{x|1<x≤3}，A∩(∁UB)＝{x|1<x<2}18．“函数f(x)表示－x＋3，32x＋12，x2－4x＋3中的较大者”是指对某个区间而言，函数f(x)表示－x＋3，32x＋12，x如图，分别画出三个函数的图象，得到三个交点A(0，3)，B(1，2)，C(5，8)．从图象视察可得函数f(x)的表达式：f(x)＝xf(x)的图象是图中的实线部分，图象的最低点是点B(1，2)，所以f(x)的最小值是2．19．解：(1)∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0，得b＝0，又f(1)＝a+b2＝∴f(x)＝xx(2)f(x)在[1，＋∞)上单调递减，证明如下：设x2＞x1≥1，∴f(x2)－f(x1)＝x2x＝x＝x＝x1∵x2＞x1≥1，∴x1x2－1＞0，x1－x2＜0，∴f(x2)－f(x1)＜0，即f(x2)＜f(x1)，∴f(x)在[1，＋∞]上单调递减．(3)∵f(x)为奇函数且f(x)在[1，＋∞)上单调递减，∴f(x)在(－∞，－1]上单调递减，又x∈[－4，－1]，∴f(x)的最大值为f(－4)＝－417，f(x)的最小值为f(－1)＝－20．解：(1)∵f(x)是幂函数，∴2m2－5m＋3＝1，∴m＝12当m＝12时，f(x)＝x12，此时不满足f∴m＝2，∴f(x)＝x2．(2)f(x)>3x＋k－1即x2－3x＋1－k>0，要使此不等式在[－1，1]上恒成立，令g(x)＝x2－3x＋1－k，只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－k在[－1，1]上的最小值大于0．∵g(x)＝x2－3x＋1－k图象的对称轴为x＝32，故g(∴g(x)min＝g(1)＝－k－1，由－k－1>0，得k<－1，∴实数k的取值范围是(－∞，－1)．21．解：(1)令x＝y＝0得f(0)＝f(0)＋f(0)，解得f(0)＝0．(2)因为函数f(x)的定义域为R，令y＝－x，则有f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，即f(x)＋f(－x)＝0，∴f(－x)＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数．(3)因为f(1)＝4，所以f(2)＝f(1＋1)＝4＋4＝8，又因为f(2x＋3)－f(x)＜8，即有f(2x＋3－x)<f(2)，即f(x＋3)<f(2)，又因为f(x)是定义在R上的增函数，∴x＋3<2，解得x<－1，故x的取值范围为{x|x<－1}．22．解：(1)