河南省济源市平顶山市许昌市2025届高三数学第三次质检试题文含解析

PAGE19-河南省济源市、平顶山市、许昌市2025届高三数学第三次质检试题文（含解析）一、选择题（共12小题）.1．已知集合M＝{x|y＝ln（x﹣2）}，N＝{x|2x﹣a≤0}，且M∪N＝R，则a的取值范围为（）A．[2，+∞） B．（2，+∞） C．[4，+∞） D．（4，+∞）2．若复数z满意|z﹣3i|＝3，i为虚数单位，则|z﹣4|的最大值为（）A．8 B．6 C．4 D．23．某交通广播电台在正常播音期间，每个整点都会进行报时．某出租车司机在该交通广播电台正常播音期间，打开收音机想收听电台整点报时，则他等待时间不超过5分钟的概率为（）A． B． C． D．4．“干支纪年法”是我国历法的一种传统纪年法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为”十天干”；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、西、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字起先，“地支”以“子”字起先，两者按干支依次相配，组成了干支纪年法，其相配依次为甲子、乙丑、丙寅、……癸酉；甲戌、乙亥、丙子、…、癸未；甲申、乙酉、丙戌、…、癸巳；…，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽．2024年是“干支纪年法”中的辛丑年，那么2121年是“干支纪年法”中的（）A．庚午年 B．辛未年 C．庚辰年 D．辛巳年5．已知曲线y＝aex+xlnx在点（1，ae）处的切线方程为y＝2x+b，则（）A．a＝e﹣1，b＝1 B．a＝e﹣1，b＝﹣1 C．a＝e，b＝﹣1 D．a＝e，b＝16．将函数f（x）＝cos（2x+）的图象向左平移个单位长度，再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象，则（）A．y＝g（x）的图象关于点（，0）对称 B．y＝g（x）的图象关于直线x＝﹣对称 C．g（x）的最小正周期为π D．g（x）在[]单调递减7．函数f（x）＝的图象大致是（）A． B． C． D．8．设P，Q分别为圆（x﹣1）2+y2＝2和椭圆上的点，则P，Q两点间的最短距离是（）A． B． C． D．9．已知0＜a＜5且aln5＝5lna，0＜b＜6且bln6＝6lnb，0＜c＜7且cln7＝7lnc，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a10．设F1，F2分别为双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，O为坐标原点，过F1的直线与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，且满意，，则该双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．211．下列结论中正确的是（）①设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β；②x＝是函数y＝sinx+sin（β﹣x）取得最大值的充要条件；③已知命题p：∀x∈R，4x＜5x；命题q：∃x＞0，x2＞2x，则￢p∧q为真命题；④等差数列{an}中，前n项和为Sn，公差d＜0，若a8＝|a9|，则当Sn取得最大值时，n＝15．A．①③ B．①④ C．②③ D．③④12．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形且边长为1，侧棱AA1长为2，以A1为球心，为半径的球面与侧面CDD1C1的交线长为（）A． B．π C． D．二、填空题（共4小题）.13．若实数x，y满意条件，则z＝3x﹣2y﹣4的最小值为．14．已知平面对量＝（1，），＝（﹣，m），且|+|＝|﹣|，则|3﹣6|＝．15．若函数f（x）＝loga（x+）（a＞0，a≠1）是奇函数，则函数g（x）＝bx﹣ax在[1，2]上的最大值与最小值的和为．16．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满意a1＝，an+2SnSn﹣1＝0（n≥2），则（n2+16）Sn的最小值为．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必需作答。第22、23题为选考题，考生依据要求作答。（一）必考题：共60分。17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB＝2bcos2．（1）求角A的大小；（2）若BC边上的中线AD＝4，求三角形ABC面积的最大值．18．如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB＝BE＝EC＝2，G，F，M分别是线段BE，DC，AB的中点．（1）求证：平面GMF∥平面ADE；（2）求三棱锥D﹣AFG的体积．19．2024年，病毒席卷全球，给世界各国带来了巨大的灾难．面对疫情，我们宏大的祖国以人民生命至上为最高政策动身点，统筹全国力气，上下一心，进行了一场艰苦的疫情狙击战，限制住了疫情的扩散并快速开展相关探讨工作．某医疗科学小组为了了解患有重大基础疾病（如，糖尿病、高血压、…）是否与更简单感染病毒有关，他们对疫情中心的人群进行了抽样调查，对其中50人的血液样本进行检验，数据如表：感染病毒未感染病毒合计不患有重大基础疾病15患有重大基础疾病25合计30（1）请填写2×2列联表，并推断是否有99%的把握认为患有重大基础疾病更简单感染病毒；（2）已知某样本小组6人中4人感染病毒，若从中随意抽取2人，求2人都感染病毒的概率．P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828附：K2＝，其中n＝a+b+c+d．20．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，过点F且斜率为的直线与抛物线C交于A，B两点，|AB|＝9．（1）求抛物线C的标准方程；（2）过点F的直线l交抛物线C于D，E两点．过D，E分别作抛物线C的切线，两切线交于点M，若直线l与抛物线C的准线交于第四象限的点N，且|MN|＝|DE|，求直线l的方程．21．已知函数f（x）＝﹣x2+ax﹣3，g（x）＝xlnx，a∈R．（1）当x＞0时，2g（x）≥f（x），求a的取值范围；（2）证明：当x＞0时，g（x）＞．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。假如多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）＝1．（1）求曲线C和直线l的直角坐标方程；（2）若直线l交曲线C于A，B两点，交x轴于点P，求的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+2|﹣m|x+1|．（1）若m＝﹣2，求不等式f（x）≥8的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≤m|x+3|对于随意实数x恒成立，求实数m的取值范围．

参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知集合M＝{x|y＝ln（x﹣2）}，N＝{x|2x﹣a≤0}，且M∪N＝R，则a的取值范围为（）A．[2，+∞） B．（2，+∞） C．[4，+∞） D．（4，+∞）解：∵y＝ln（x﹣2），∴x﹣2＞0，∴x＞2，∴M＝（2，+∞），∵2x﹣a≤0，∴x≤，∴N＝（﹣∞，]，∵M∪N＝R，画出数轴如下，∴≥2，∴a≥4，∴a的取值范围为[4，+∞）．故选：C．2．若复数z满意|z﹣3i|＝3，i为虚数单位，则|z﹣4|的最大值为（）A．8 B．6 C．4 D．2解：由|z﹣3i|＝3，可知复数z对应点的轨迹为以B（0，3）为圆心，以3为半径的圆上，如图：则|z﹣4|的最大值为|AB|+3＝5+3＝8，故选：A．3．某交通广播电台在正常播音期间，每个整点都会进行报时．某出租车司机在该交通广播电台正常播音期间，打开收音机想收听电台整点报时，则他等待时间不超过5分钟的概率为（）A． B． C． D．解：设电台的整点报时之间某刻的时间x，由题意可得，0≤x≤60，则等待的时间不超过5分钟的概率为P＝，故选：B．4．“干支纪年法”是我国历法的一种传统纪年法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为”十天干”；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、西、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字起先，“地支”以“子”字起先，两者按干支依次相配，组成了干支纪年法，其相配依次为甲子、乙丑、丙寅、……癸酉；甲戌、乙亥、丙子、…、癸未；甲申、乙酉、丙戌、…、癸巳；…，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽．2024年是“干支纪年法”中的辛丑年，那么2121年是“干支纪年法”中的（）A．庚午年 B．辛未年 C．庚辰年 D．辛巳年解：天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥，天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，2024年是“干支纪年法”中的辛丑年，则2121的天干为辛，地支为巳，故选：D．5．已知曲线y＝aex+xlnx在点（1，ae）处的切线方程为y＝2x+b，则（）A．a＝e﹣1，b＝1 B．a＝e﹣1，b＝﹣1 C．a＝e，b＝﹣1 D．a＝e，b＝1解：∵y＝aex+xlnx，∴y′＝aex+lnx+1，由在点（1，ae）处的切线方程为y＝2x+b，可得ae+1+0＝2，解得a＝e﹣1，又切点为（1，1），可得1＝2+b，即b＝﹣1．故选：B．6．将函数f（x）＝cos（2x+）的图象向左平移个单位长度，再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象，则（）A．y＝g（x）的图象关于点（，0）对称 B．y＝g（x）的图象关于直线x＝﹣对称 C．g（x）的最小正周期为π D．g（x）在[]单调递减解：将函数f（x）＝cos（2x+）的图象向左平移个单位长度，得：y＝cos[2（x+）+]＝﹣sin（2x+），再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得：g（x）＝﹣sin（x+），对于A：g（）＝﹣sinπ＝0，故A正确，对于B：g（﹣）＝﹣sin0＝0≠±1，故B错误，对于C：g（x）的最小正周期是T＝2π，故C错误，对于D：当x∈[，]时，令t＝x+∈[，]，y＝﹣sint在[，]上不单调，故D错误，故选：A．7．函数f（x）＝的图象大致是（）A． B． C． D．解：函数的定义域为R，解除B，D，当x＞0且x→+∞，f（x）＜0，且f（x）→0，解除C，故选：A．8．设P，Q分别为圆（x﹣1）2+y2＝2和椭圆上的点，则P，Q两点间的最短距离是（）A． B． C． D．解：如图，圆（x﹣1）2+y2＝2的圆心C（1，0），半径为，设Q（x，y）是椭圆上的点，则|QC|＝＝＝．∵﹣5≤x≤5，∴当x＝时，，∴P，Q两点间的最短距离是．故选：B．9．已知0＜a＜5且aln5＝5lna，0＜b＜6且bln6＝6lnb，0＜c＜7且cln7＝7lnc，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a解：令F（x）＝，则，易得，当0＜x＜e时，F′（x）＞0，函数单调递增，当x＞e时，F′（x）＜0，函数单调递减，因为0＜a＜5，0＜b＜6，0＜c＜7，所以c＞b＞a＞e，所以f（c）＜f（b）＜f（a），则a＞b＞c．故选：A．10．设F1，F2分别为双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，O为坐标原点，过F1的直线与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，且满意，，则该双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．2解：由，，可得△BOF1为等腰三角形，且A为底边BF1的中点，由F1（c，0）到渐近线y＝±x的距离为d＝＝b，由OA⊥BF1，可得|OA|＝＝a，由∠AOF1＝∠AOB＝∠BOF2＝60°，可得cos60°＝＝，可得e＝＝2．故选：C．11．下列结论中正确的是（）①设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β；②x＝是函数y＝sinx+sin（β﹣x）取得最大值的充要条件；③已知命题p：∀x∈R，4x＜5x；命题q：∃x＞0，x2＞2x，则￢p∧q为真命题；④等差数列{an}中，前n项和为Sn，公差d＜0，若a8＝|a9|，则当Sn取得最大值时，n＝15．A．①③ B．①④ C．②③ D．③④解：对于①：设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，若m⊥α，m∥n，直线m相当于平面α的法向量，由于n∥β，则α⊥β，故①正确；对于②，函数f（x）＝sinx+sin（﹣x）满意f（0）＝f（），故x＝不是取得最大值的充要条件，故②错误；③已知命题p：∀x∈R，4x＜5x；当x＝﹣1时，不成立，命题q：∃x＞0，x2＞2x，当x＝3时，成立，则￢p∧q为真命题，故③正确；④等差数列{an}中，前n项和为Sn，公差d＜0，若a8＝|a9|，即a8＝﹣a9，则当Sn取得最大值时，n＝8或9，故④错误．故选：A．12．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形且边长为1，侧棱AA1长为2，以A1为球心，为半径的球面与侧面CDD1C1的交线长为（）A． B．π C． D．解：长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形且边长为1，侧棱AA1长为2，以A1为球心，为半径的球面与侧面CDD1C1的交线，是以D1为圆心，为半径的圆弧，如图，∠ED1F＝，可得：＝．故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若实数x，y满意条件，则z＝3x﹣2y﹣4的最小值为﹣6．解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，A（0，1），由z＝3x﹣2y﹣4，得y＝，由图可知，当直线y＝过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为﹣6．故答案为：﹣6．14．已知平面对量＝（1，），＝（﹣，m），且|+|＝|﹣|，则|3﹣6|＝6．解：∵向量＝（1，），＝（﹣，m），且|+|＝|﹣|，∴•＝﹣+m＝0，∴m＝1，则|3﹣6|＝＝＝＝＝6，故答案为：6．15．若函数f（x）＝loga（x+）（a＞0，a≠1）是奇函数，则函数g（x）＝bx﹣ax在[1，2]上的最大值与最小值的和为．解：由为奇函数可知，，解得，阅历证，符合题意，∴，又y＝2x为增函数，为减函数，∴为增函数，∴当x∈[1，2]时，．故答案为：．16．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满意a1＝，an+2SnSn﹣1＝0（n≥2），则（n2+16）Sn的最小值为4．解：由于an+2SnSn﹣1＝0，整理得Sn﹣Sn﹣1＝﹣2SnSn﹣1，变换为：（常数），故数列{}是以2为首项，2为公差的等差数列；所以，（首项符合通项），故，则（n2+16）Sn＝＝，当且仅当时，即n＝4时，等号成立，故答案为：4．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必需作答。第22、23题为选考题，考生依据要求作答。（一）必考题：共60分。17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB＝2bcos2．（1）求角A的大小；（2）若BC边上的中线AD＝4，求三角形ABC面积的最大值．解：（1）因为asinB＝2bcos2＝b（1﹣cosA），所以，因为sinB≠0，所以，所以＝2sin（A+）＝1，所以sin（A+）＝，由A为三角形内角可得，A＝，（2）由题意＝，所以||＝8，所以64＝＝b2+c2﹣bc≥bc，当且仅当b＝c＝8时取等号，所以bc的最大值64，此时三角形ABC面积的最大值＝16．18．如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB＝BE＝EC＝2，G，F，M分别是线段BE，DC，AB的中点．（1）求证：平面GMF∥平面ADE；（2）求三棱锥D﹣AFG的体积．【解答】（1）证明：∵M、F分别为矩形的边AB、DC的中点，∴MF∥AD，∵MF⊄平面ADE，AD⊂平面ADE，∴MF∥平面ADE，∵M、G分别为AB、BE的中点，∴MG∥AE，∵MG⊄平面ADE，AE⊂平面ADE，∴MG∥平面ADE，又MF∩MG＝M，MF、MG⊂平面MGF，∴平面GMF∥平面ADE；（2）解：取BC的中点O，连接EO，则EO⊥BC，∵AB⊥平面BEC，AB⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面BEC，又平面ABCD∩平面BEC＝BC，EO⊂平面BEC，∴EO⊥平面ABCD，在等腰直角三角形BEC中，由BE＝EC＝2，求得EO＝．在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，可得．∴＝＝．19．2024年，病毒席卷全球，给世界各国带来了巨大的灾难．面对疫情，我们宏大的祖国以人民生命至上为最高政策动身点，统筹全国力气，上下一心，进行了一场艰苦的疫情狙击战，限制住了疫情的扩散并快速开展相关探讨工作．某医疗科学小组为了了解患有重大基础疾病（如，糖尿病、高血压、…）是否与更简单感染病毒有关，他们对疫情中心的人群进行了抽样调查，对其中50人的血液样本进行检验，数据如表：感染病毒未感染病毒合计不患有重大基础疾病15患有重大基础疾病25合计30（1）请填写2×2列联表，并推断是否有99%的把握认为患有重大基础疾病更简单感染病毒；（2）已知某样本小组6人中4人感染病毒，若从中随意抽取2人，求2人都感染病毒的概率．P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828附：K2＝，其中n＝a+b+c+d．解：（1）2×2列联表如下：感染病毒未感染病毒合计不患有重大基础疾病101525患有重大基础疾病20525合计302050∴K2＝＝＞6.635，∴有99%的把握认为患有重大基础疾病更简单感染病毒．（2）设6人中感染病毒人员分别记为A，B，C，D，未感染人员分别记为a，b，从6人中任取2人，总的基本领件有：（A，B），（A，C）．（A，D），（A，a），（A，b），（B，C），（B，D），（B，a），（B，b），（C，D），（C，a），（C，b），（D，a），（D，b），（a，b），共15个，设“选出的2人都感染病毒”为事务M，则事务M包含的基本领件有：（A，B），（A，C）．（A，D），（B，C），（B，D），（C，D），共6个，∴P（M）＝＝．20．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，过点F且斜率为的直线与抛物线C交于A，B两点，|AB|＝9．（1）求抛物线C的标准方程；（2）过点F的直线l交抛物线C于D，E两点．过D，E分别作抛物线C的切线，两切线交于点M，若直线l与抛物线C的准线交于第四象限的点N，且|MN|＝|DE|，求直线l的方程．解：（1）抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F（0，），设直线AB的方程为y＝x+，与x2＝2py联立，消去x，可得4y2﹣14py﹣p2＝0，设A，B的纵坐标分别为y1，y2，则y1+y2＝，y1y2＝﹣，由抛物线的弦长公式可得|AB|＝y1+y2+p＝+p＝9，解得p＝2，所以抛物线的方程为x2＝4y；（2）易得直线l的斜率存在且不为0，由（1）可得F（0，1），设直线l的方程为x＝m（y﹣1），与抛物线的方程x2＝4y联立，可得m2y2﹣2（m2+2）y+m2＝0，设D（x3，y3），E（x4，y4），则y3+y4＝2+，y3y4＝1，x3+x4＝，x3x4＝﹣4，|DE|＝|DF|+|EF|＝y3+y4+p＝4+，由x2＝4y即y＝可得y′＝x，则抛物线在D，E处的切线的斜率分别为x3，x4，切线的方程分别为y﹣y3＝x3（x﹣x3），y﹣y4＝x4（x﹣x4），即y3y＝2（x+x3），y4y＝2（x+x4），解得两条切线的交点为（，），即M（，﹣1），由准线方程为y＝﹣1，代入x＝m（y﹣1），可得N（﹣2m，﹣1），则|MN|＝2|m+|，由|MN|＝|DE|，可得2|m+|＝4（1+），解得m＝±2，因为直线l与抛物线C的准线交于第四象限的点N，所以m＝﹣2，直线l的方程为x＝﹣2（y﹣1），即x+2y﹣2＝0．21．已知函数f（x）＝﹣x2+ax﹣3，g（x）＝xlnx，a∈R．（1）当x＞0时，2g（x）≥f（x），求a的取值范围；（2）证明：当x＞0时，g（x）＞．解：（1）当x＞0时，2g（x）≥f（x），即2xlnx≥﹣x2+ax﹣3，即，设，则，∴当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，h（x）在（0，1）单调递