必修二课件第一章立体几何初步章末复习课

章末复习课第1章

立体几何初步学习目标1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.能熟练画出几何体的直观图，能熟练地计算空间几何体的表面积和体积，体会通过展开图、截面化空间为平面的方法.题型探究知识梳理内容索引当堂训练知识梳理1.四个公理公理1：如果一条直线上的

在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是

.公理3：经过

的三点，有且只有一个平面.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相

.两点经过这个公共点的一条直线不在同一条直线上平行2.直线与直线的位置关系平行相交任何3.平行的判定与性质(1)线面平行的判定与性质

判定性质定义定理图形条件___________________________________________________结论a∥αb∥αa∩α＝∅a∥ba∩α＝∅a⊂α，b⊄α，a∥ba∥αa∥α，a⊂β，α∩β＝b(2)面面平行的判定与性质

判定性质定义定理图形条件_____________________________________

，________________α∥β，a⊂β结论α∥βα∥βa∥ba∥αα∩β＝∅a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥αα∥ββ∩γ＝bα∩γ＝a，(3)空间中的平行关系的内在联系4.垂直的判定与性质(1)线面垂直的判定与性质

图形条件结论判定a⊥b，b⊂α(b为α内的

直线)a⊥αa⊥m，a⊥n，m、n⊂α，___________a⊥αa∥b，_____b⊥α任意m∩n＝Oa⊥α性质a⊥α，_____a⊥ba⊥α，b⊥α_____b⊂αa∥b(2)面面垂直的判定与性质

文字语言图形语言符号语言判定定理

如果一个平面经过另一

个平面的一条

，那

么这两个平面互相垂直⇒α⊥β性质定理

如果两个平面互相

，

那么在一个平面内垂直

于它们

的直线垂直

于另一个平面⇒l⊥α垂线垂直交线(3)空间中的垂直关系的内在联系5.空间角(1)异面直线所成的角①定义：设a与b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的

叫做异面直线a，b所成的角.②范围：设两异面直线所成的角为θ，则0°<θ≤90°.(2)直线和平面所成的角①平面的一条斜线与它在这个

所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角.②一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线与平面平行或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角.锐角(或直角)平面内的射影(3)二面角的有关概念①二面角：一般地，一条直线和由这条直线出发的

所组成的图形叫做二面角.②二面角的平面角：一般地，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作

的射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.两个半平面垂直于棱6.几何体的侧面积和体积的有关计算柱体、锥体、台体和球体的侧面积和体积公式

面积体积圆柱S侧＝2πrhV＝Sh＝πr2h圆锥S侧＝πrl圆台S侧＝π(r1＋r2)l直棱柱S侧＝chV＝Sh正棱锥V＝

Sh正棱台S侧＝

(c＋c′)h′球S球面＝4πR2V＝

πR3题型探究例1

如图，E、F、G、H分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点，求证：(1)GE∥平面BB1D1D；类型一空间中的平行关系证明证明如图，取B1D1的中点O，连结GO，OB，∴OG綊BE，∴四边形BEGO为平行四边形，∴OB∥GE.又∵OB⊂平面BDD1B1，GE⊄平面BDD1B1，∴GE∥平面BDD1B1.(2)平面BDF∥平面B1D1H.证明证明由正方体性质得B1D1∥BD，∵B1D1⊄平面BDF，BD⊂平面BDF，∴B1D1∥平面BDF.连结HB，D1F，易证HBFD1是平行四边形，∴HD1∥BF.又∵HD1⊄平面BDF，BF⊂平面BDF，∴HD1∥平面BDF.∵B1D1∩HD1＝D1，∴平面BDF∥平面B1D1H.(1)判断线面平行的两种常用方法①利用线面平行的判定定理.②利用面面平行的性质，即当两平面平行时，其中一平面内的任一直线平行于另一平面.(2)判断面面平行的常用方法①利用面面平行的判定定理.②面面平行的传递性(α∥β，β∥γ⇒α∥γ).③利用线面垂直的性质(l⊥α，l⊥β⇒α∥β).反思与感悟跟踪训练1

如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由.解答解当点F是PB的中点时，平面AFC∥平面PMD.证明如下：如图，连结BD，和AC交于点O，连结FO.∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是BD的中点.∴OF∥PD.又OF⊄平面PMD，PD⊂平面PMD，∴PF綊MA.∴四边形AFPM是平行四边形，∴AF∥PM.又AF⊄平面PMD，PM⊂平面PMD，∴AF∥平面PMD.又AF∩OF＝F，AF⊂平面AFC，OF⊂平面AFC，∴平面AFC∥平面PMD.例2

如图，斜三棱柱ABC－A1B1C1的底面是直角三角形，∠ACB＝90°，点B1在底面ABC上的射影恰好是BC的中点，且BC＝AA1.求证：(1)平面ACC1A1⊥平面B1C1CB；类型二空间中的垂直关系证明证明设BC的中点为M，连结B1M.∵点B1在底面ABC上的射影恰好是点M，∴B1M⊥平面ABC.∵AC⊂平面ABC，∴B1M⊥AC.又∵BC⊥AC，B1M∩BC＝M，∴AC⊥平面B1C1CB.又∵AC⊂平面ACC1A1，∴平面ACC1A1⊥平面B1C1CB.(2)BC1⊥AB1.证明连结B1C.∵AC⊥平面B1C1CB，∴AC⊥BC1.在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∵BC＝AA1＝CC1.∴四边形B1C1CB是菱形，∴B1C⊥BC1.又∵B1C∩AC＝C，∴BC1⊥平面ACB1，∴BC1⊥AB1.证明空间垂直关系的判定方法(1)判定线线垂直的方法①计算所成的角为90°(包括平面角和异面直线所成的角).②线面垂直的性质(若a⊥α，b⊂α，则a⊥b).(2)判定线面垂直的方法①线面垂直定义(一般不易验证任意性).②线面垂直的判定定理(a⊥b，a⊥c，b⊂α，c⊂α，b∩c＝M⇒a⊥α).③平行线垂直平面的传递性质(a∥b，b⊥α⇒a⊥α).④面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝l，a⊂β，a⊥l⇒a⊥α).反思与感悟⑤面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β).⑥面面垂直的性质(α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ⇒l⊥γ).(3)面面垂直的判定方法①根据定义(作两平面构成二面角的平面角，计算其为90°).②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β).跟踪训练2

如图，A，B，C，D为空间四点.在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝

，等边△ADB以AB为轴运动.(1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD；解答解

如图，取AB的中点E，连结DE，CE，因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面ADB∩平面ABC＝AB，所以DE⊥平面ABC，可知DE⊥CE.(2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论.解当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD.证明如下：①当D在平面ABC内时，因为AC＝BC，AD＝BD，所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD.②当D不在平面ABC内时，由(1)知AB⊥DE.又因为AC＝BC，所以AB⊥CE.又DE∩CE＝E，所以AB⊥平面CDE，由CD⊂平面CDE，得AB⊥CD.综上所述，总有AB⊥CD.解答例3

如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.类型三平行与垂直的综合应用证明(1)求证：DC⊥平面PAC；证明

∵PC⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，∴PC⊥DC.又AC⊥DC，PC∩AC＝C，PC⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，∴DC⊥平面PAC.(2)求证：平面PAB⊥平面PAC；证明证明∵AB∥CD，CD⊥平面PAC，∴AB⊥平面PAC，AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAC.(3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由.解答解棱PB上存在点F，使得PA∥平面CEF.证明如下：取PB的中点F，连结EF，CE，CF，∵E为AB的中点，∴EF为△PAB的中位线，∴EF∥PA.又PA⊄平面CEF，EF⊂平面CEF，∴PA∥平面CEF.平行、垂直也可以相互转化，如图.反思与感悟跟踪训练3

在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB.证明(1)已知AB＝BC，AE＝EC.求证：AC⊥FB；证明因为EF∥DB，所以EF与DB确定平面BDEF，如图，连结DE.因为AE＝EC，D为AC的中点，所以DE⊥AC.同理可得BD⊥AC.又BD∩DE＝D，所以AC⊥平面BDEF.因为FB⊂平面BDEF，所以AC⊥FB.(2)已知G，H分别是EC和FB的中点.求证：GH∥平面ABC.证明证明设FC的中点为I，连结GI，HI.在△CEF中，因为G是CE的中点，所以GI∥EF.又EF∥DB，所以GI∥DB.在△CFB中，因为H是FB的中点，所以HI∥BC.又HI∩GI＝I，所以平面GHI∥平面ABC，因为GH⊂平面GHI，所以GH∥平面ABC.类型四空间几何体的表面积与体积例4

如图，从底面半径为2a，高为

a的圆柱中，挖去一个底面半径为a且与圆柱等高的圆锥，求圆柱的表面积S1与挖去圆锥后的几何体的表面积S2之比.解答空间几何体的体积与表面积的计算方法(1)等积变换法：三棱锥也称为四面体，它的每一个面都可作底面来处理，恰当地进行换底等积变换便于问题的求解.(2)割补法：像求平面图形的面积一样，割补法是求几何体体积的一个重要方法，“割”就是将几何体分割成几个熟悉的柱、锥、台体或它们的组合体；“补”就是通过补形，使它转化为熟悉的几何体.总之，割补法的核心思想是将不熟悉的几何体转化为熟悉的几何体来解决.反思与感悟(3)展开法：把简单几何体沿一条侧棱或母线展开成平面图形，这样便把空间问题转化为平面问题，可以有效地解决简单空间几何体的表面积问题或侧面上(球除外)两点间的距离问题.(4)构造法：当探究某些几何体性质较困难时，我们可以将它放置在我们熟悉的几何体中，如正方体等这些对称性比较好的几何体，以此来研究所求几何体的性质.跟踪训练4

如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，求三棱锥A1－AB1D1的高.解答解设三棱锥A1－AB1D1的高为h，当堂训练1.如图，AE⊥平面α，垂足为点E，BF⊥平面α，垂足为点F，l⊂α，C，D∈α，AC⊥l，则当BD与l______时，平面ACE∥平面BFD.答案23451垂直解析当BD⊥l时，由BF⊥l知，l⊥平面BDF.又同理可得l⊥平面ACE，所以平面ACE∥平面BFD.解析2.已知平面α∥β∥γ，两条直线l，m分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和D，E，F，已知AB＝6，

，则AC＝_____.答案2345115解析而AB＝6，∴BC＝9，∴AC＝AB＋BC＝15.3.设m，n，l是三条不同的直线，α是一个平面，l⊥m，则下列说法正确的是_____.(填序号)①若m⊄α，l⊥α，则m∥α；

②若l⊥n，则m⊥n；③若l⊥n，则m∥n；

④若m∥n，n⊂α，则l⊥α.23451①答案解析解析若l⊥m，l⊥n，则m与n可能平行，也可能相交或异面，即②③都不正确；由l⊥m，m∥n，可得l⊥n，不一定有l⊥α，即④不正确；23451对①，可在l上取一点P，过P作m′∥m，则m′⊥l，m′与l确定一个平面β，β∩α＝a，由l⊥α，得l⊥a.又m′，a，l同在平面β内，则由l⊥m′，l⊥a，得m′∥a，于是m∥a，又m⊄α，所以m∥α.故填①.4.已知圆锥的母线长为10cm，侧面积为60πcm2，则此圆锥的体积为_____cm3.答案2345196π解析圆锥的侧面积为πrl＝10πr＝60π，得r＝6.解析5.如图所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的圆O上，点E为线段PB的中点，点M在

上，且OM∥AC.求证：(1)平面MOE∥平面PAC；证明23451证明因为点E为线段PB的中点，点O为线段AB的中点，所以OE∥P