1.4数学归纳法（2知识点5题型强化训练）

1.4数学归纳法课程标准学习目标（1）了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题。（1）了解数学归纳法的原理;（2）会用数学归纳法证明等式；（3）会用数学归纳法证明不等式；（4）会用数学归纳法求数列通项公式.知识点01数学归纳法的概念一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n=n0(2)(归纳递推)以“当n=k(k∈N*,k≥n0)时命题成立”为条件，推出只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法解析1.数学概念法类似“多米诺骨牌”，满足两个条件：①第一个骨牌可倒下；②任一个骨牌倒下时均可令下个骨牌倒下；这样所有骨牌均倒下了！故用数学归纳法证明，两个步骤缺一不可.2.第一步归纳奠基中的n0不一定是1；第二步中当证明从n=k到3.在运用数学归纳法证明在证明第二步中，强调两个“凑”，一是“凑”假设，在n=k+1时的式子中凑出n=k的式子(确定两个式子的“差项”；二是“凑”结论，明确4.要注意“观察归纳—猜想证明”的思维模式和由特殊到一般的数学思想.【即学即练1】用数学归纳法证明：1+2+3+...+2n=n2n+1时，从n=kA．2k+1+2k+2 BC．2k+2 D．2k+1【答案】A【分析】根据1+2+3+...+2n=n2n+1，对n分别赋值k和【详解】根据数学归纳法的规定，当n=k时，等式为1+2+3+...当n=k+1时，等式为1+2+3+...则左边增加的代数式是2k+1+故选：A.知识点02数学归纳法的应用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题，比如：与正整数n有关的等式或不等式的证明，求数列的通项公式，与数列有关的不等关系证明，整除问题，函数不等式等.【即学即练2】用数学归纳法证明1+2+…+n=n证明当n=1时，左边=1，右边=1×2假设n=k(k≥1,k∈N*)当n=k+1时，左右边=k+1(k+2)2，∴左边综上，1+2+…+n=nn+1【题型一：对数学归纳法的理解】例1．用数学归纳法证明1+2+22+⋅⋅⋅+25n-1(n∈N*)能被A．7 B．6 C．5 D．4【答案】C【分析】分别写出n=k与n=k+1时相应的代数式，对比观察求解.【详解】当n=k时，则1+2+当n=k+1时，则(1+2+∴从k到k+1添加的项数共有5项故选：C.变式11．用数学归纳法证明3n≥n3n≥3,n∈A．当n=1时，不等式成立 B．当n=2时，不等式成立C．当n=3时，不等式成立 D．当n=4时，不等式成立【答案】C【分析】利用数学归纳法的定义可得出结论.【详解】由题意知n的最小值为3，所以第一步应验证当n=3时，不等式成立，故选：C.变式12．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1-12+13-1A．n=k+1时不等式成立 B．n=k+2时不等式成立C．n=2k+2时不等式成立 D．n=2k+2【答案】B【分析】利用已知及其数学归纳法的定义即可得出．【详解】若已假设n=k（k>2，k为偶数）时命题为真，因为n只能取偶数，所以还需要证明n=k+2成立．故选：B．变式13．用数学归纳法证“1-12+13-14【答案】1【分析】根据题意，得到n=k到n=k+1时，左边增加两项12k+1-12k+2【详解】由1-当n=k到n=k+1时，左边增加了两项12k+1,1即左边所增加的项为12k+1故答案为：12k+1【方法技巧与总结】理解数学归纳法的解题步骤，第一步归纳奠基中的n0不一定是1，要根据命题确定成立的最小值第二步中当证明从n=k到n=k+1时，所证明的式子不一定只增加一项，可写成【题型二：等式的证明】例2．用数学归纳法证明：对于任意正整数n都有：12【答案】证明见解析【分析】先验证n=1时成立，再假设n=k,k∈N*时成立，最后计算n=k+1【详解】当n=1时，12假设①当n=k,k∈N*时，②则当n=k+1时，1==k+1综合由①②知，对于任意正整数n都有：12变式21．有下列命题：1+3+5+⋅⋅⋅+(2n-1)=n【答案】证明见解析【分析】利用数学归纳法证明给定等式即可.【详解】当n=1时，左边=1，右边=1假设当n=k(k∈N*)则当n=k+1时，1+3+5+⋅⋅⋅+2k-1+2k+1所以1+3+5+⋅⋅⋅+2n-1=n2变式22．用数学归纳法证明：cosθ+【答案】证明见解析【分析】当n=1时，验证等式成立；假设当n=kk∈N+时，等式成立，利用复数的运算以及两角和的正弦、余弦公式证明出当【详解】证明：当n=1时，等式显然成立，假设当n=kk∈N+则当n=k+1时，cos===cos这说明当n=k+1时，等式成立，因此，对任意的n∈N+，【方法技巧与总结】用数学归纳法证明等式成立，先确定等式成立的最小值再证明其成立，在第二步中，确定n=k和n=k【题型三：不等式的证明】例3．用数学归纳法证明：1+1【答案】证明见解析.【分析】应用数学归纳法，结合基本不等式证明不等关系.【详解】当n=1，则11若n=k且k∈N+时，令n=k+1，则1+12+⋯+所以n=k+1时不等式也成立，综上，1+12变式31．设x>0，n∈N*，且n≥2，用数学归纳法证明：【答案】证明见解析【分析】利用数学归纳法的证明方法证明即可．【详解】当n=2时，左边=1+2x+x2，右边因为x>0，所以x2>0，故左边假设当n=k时，不等式成立，即(1+x)k则当n=k+1时，∵x>0，∴1+x>0，在不等式(1+x)k>1+kx两边同乘以(1+x)k所以(1+x)k+1>1+(k+1)x．即当综上，对一切正整数n，不等式都成立．变式32．当n≥2,n∈N*时，求证：【答案】证明见解析【分析】利用数学归纳法即可进行证明.【详解】（1）当n=2时，左边=1+12>1.7，右边=2（2）假设当n=kk≥2,k∈即1+1则当n=k+1时，左边=1+1即当n=k+1时，不等式也成立.综上可知，对一切n≥2，且n∈N*变式33．设x1,x2,⋯,x【答案】证明见解析【分析】利用数学归纳法证明即可.【详解】证明：①当n=1时，x1∴2+x②假设当n=kk∈即当x1x2⋅⋅⋅xk=1，且xi∈均有2+③当n=k+1k∈N*若x1=若存在xi≠1，不妨设则在x1,x2,⋯,从而xk-1x把xk2=>=≥2故原命题对n=k+1也成立.综上可得，原命题成立.【方法技巧与总结】用数学归纳法证明不等式成立，先确定不等式成立的最小值再证明其成立，在第二步中，确定n=k和n=k+1时命题的形式，在证明n=k+1时，强调两个“凑”，一是“凑”假设，在n=k+1时的式子中凑出n=k的式子(确定两个式子的“差项【题型四：求数列通项公式】例4．数列an满足a1=12(1)计算a2，a3，猜想数列(2)求数列ann+13【答案】(1)a2=23，(2)2n-1【分析】（1）直接通过递推公式计算，然后猜测an（2）使用错位相减法即可.【详解】（1）a2=1猜测an当n=1时，由a1假设结论对n=k成立，即ak=kk+1，则a综上，有an=（2）设数列ann+13n的前n项和为所以3S故Sn变式41．已知数列an满足a1=0，2【答案】an【分析】利用递推关系式得出数列的前5项，猜想an=【详解】由2an+1-由a1=0，可得同理可得a3=12-1归纳上述结果，猜想a下面用数学归纳法证明这个猜想．（1）当n=1时，③式左边=a1=0（2）假设当n=kk∈N*时，③那么ak+1=1由（1）（2）可知，猜想对任何n∈N变式42．设数列an满足a1=3(1)计算a2,a(2)用数学归纳法证明上述猜想，并求an的前n项和S【答案】(1)a2=5，a(2)证明见解析，S【分析】（1）根据递推公式求a2（2）利用数学归纳法证明an=2n+1【详解】（1）因为数列an满足a1=3可得a2=3a由此可猜想an（2）证明：①当n=1时，显然成立；②假设当n=k时，成立，即ak当n=k+1时，ak+1=3ak-4k=3(2k+1)-4k所以n=k+1时也成立，综合①②可得：an因为an+1可知数列an是以3为首项，2所以Sn变式43．在数列{an}中，a1(1)求出a2,a(2)令bn=3nan，Tn【答案】(1)a2=37，(2)T【分析】（1）代入计算即可得到a2（2）bn=【详解】（1）∵a1∴a2因此可猜想:an=3当n=1时，a1假设n=k时，等式成立，即ak则当n=k+1时，ak+1即当n=k+1时，等式也成立，综上所述，对任意自然数n∈N*，（2）bn∵Tn∴3T由①②得：-2=∴【方法技巧与总结】用数学归纳法求数列的通项公式，往往先根据题意进行猜想数列的通项公式，再进行证明。关键也是在第二步中，确定n=k和n=k+1时命题的形式，在证明n=k+1时，强调两个“凑”，一是“凑”假设，在n=k+1时的式子中凑出n=k的式子(确定两个式子的【题型五：其他应用】例5．设f(n)=(1+1n(1)求f(1)，f(2)，f(3)的值；(2)猜想满足不等式f(n)<0的正整数n的范围，并用数学归纳法证明你的猜想．【答案】(1)f(1)=1，f(2)=14(2)n≥3，证明见解析【分析】（1）直接根据f(n)=(1+1n（2）由（1）中f(3)<0，猜想：n≥3时，f(n)=(1+1n)n-n<0，再用数学归纳法证明：当n=3是，猜想正确，假设当n=k(k≥3,k∈N*【详解】（1）f(1)=(1+1)1-1=1，f(2)=（2）猜想：n≥3时，f(n)=(1+证明：①当n=3时，f(3)=-17②假设当n=k(k≥3,k∈N即f(k)=(1+∴(1+1∵(1+∴(1+即f(k+1)=(1+由①②可知，对于n≥3时，f(n)=(1+变式51．设n∈N*，用数学归纳法证明：f(n)=3【答案】证明见解析【分析】利用数学归纳法来证明，当n=1时，命题成立，再假设当n=k时，f(k)=32k+2-8k-9能够被64【详解】（1）当n=1时，f1=3（2）假设当n=k时，f(k)=32k+2-8k-9当n=k+1时，f(k+1)=3∵f(k)=32k+2-8k-9∴f(k+1)=932k+2-8k-9即当n=k+1时，命题也成立．由（1）（2）可知，f(n)=32n+2-8n-9(n∈即f(n)=32n+2-8n-9变式52．数列an满足：a1=2，a【答案】证明见详解【分析】先用数学归纳法证明其加强命题2<【详解】先用数学归纳法证明加强命题：对一切正整数n，有2<1°当n=1时，2<2°假设n=k时，有2<ak一方面，由基本不等式，有ak+1等号当且仅当ak=2时取得，因为a另一方面，ak+1当n=k+1时，2<因此，1<2变式53．已知①设函数y=fxx∈A的值域是C，对于C中的每个y，若函数gy在每一处gy都等于它对应的x，这样的函数x=gyy∈C叫做函数y=fxx∈A的反函数，记作x=f-1yy∈C，我们习惯记自变量为x，因此x=f-1yy∈C可改成y=f-1xx∈C即为原函数的反函数．易知y=f-1xx∈C与y=fxx∈A互为反函数，且ff-1x=x．如y=2x的反函数是x=log2y可改写成y=log2x即为y=2x的反函数，y=log2x与y=2x互为反函数．（i）若f∼φ（ii）若x0为fx的一个不动点，即fx0=(1)若函数fx=2x(2)证明：若f∼φg(3)若函数fx=x2+2x，求fnx【答案】(1)f(2)证明见解析(3)fn=x+1【分析】（1）由n次迭代函数定义，即可得出fn（2）利用数学归纳法证明.（3）利用fx的桥函数φx和相似函数gx，求fx的迭代可以转换为求gx的迭代；结合不动点的知识求函数cx的桥函数和相似函数g【详解】（1）根据n次迭代函数的定义，由fx=2x（2）证明：因为f∼φg，有f=有φ∘f∘f=g∘φ∘f=g∘φ∘φ-1∘g∘φ=g∘g∘φ当n=1,2时，f∼φg假设n=k时成立，即fk∼φ当n=k+1时，fk+1因此fk+1综上所述，若f∼φg（3）根据相似函数不动点也相似，桥函数选取时可令不动点为一解，当fx选取桥函数φxφ-1x=x-1易得gn由（2）可知，fn即有fn当cx=xφ-1x=x+3，g=φ∘f∘由（2）可知，cn【点睛】本题考查函数迭代的问题，求函数迭代可从以下方面入手：（1）简单函数的n次迭代，一般先迭代几次，观察规律并猜测表达式，再利用数学归纳法证明.（2）当函数的迭代较复杂时，利用不动点有关的桥函数相似法.例如需要求已知函数fx的n次迭代，只需要找出一个桥函数φx以及相似函数gx，其中确定φx和g【方法技巧与总结】1涉及到与正整数n有关的命题，可想到数学归纳法，比如整除问题，函数不等式等.2在求解或证明的过程中，严格遵循数学归纳法的两个步骤，要注意“观察归纳—猜想证明”的思维模式和由特殊到一般的数学思想.一、单选题1．利用数学归纳法证明fn=1+2+3+4+⋅⋅⋅+4n-1A．f1=1 BC．f2=1+2 D【答案】B【分析】观察f(n)为4n-1项连续正整数之和的规律，可得f(1).【详解】由题意f(n)=1+2+3+⋯+4n-1，n∈N即从1起连续4n-1项正整数之和.则f(1)为从1起连续3个正整数之和，故第一步应证明f(1)=1+2+3.故选：B.2.用数学归纳法证明“2n>n2对于n≥n0的正整数n都成立A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】根据给定条件，利用数学归纳法的定义逐项分析、计算判断作答.【详解】显然当n=1时，21>12，而当n=2时，当n=3时，23<32，B不是；当n=4时，当n=5时，25>5故选：D3.用数学归纳法证明“5n-2n能被3整除”的第二步中，n=k+1时，为了使用假设，应将A．55k-C．5-25k-【答案】A【分析】假设n=k时命题成立，分解5k+1-2k+1【详解】解：假设n=k时命题成立，即：5k-2当n=k+1时，5=5=5故选：A．4.现有命题：1-2+3-4+5-6+⋯⋯+(-1)n+1n=A．不能用数学归纳法判断此命题的真假B．此命题一定为真命题C．此命题加上条件n>9后才是真命题，否则为假命题D．存在一个无限大的常数m，当n>m时，此命题为假命题【答案】B【分析】直接用数学归纳法证明可得答案．【详解】①当n=1时，左边=1，右边=1，左边=右边，即n=1时，等式成立；②假设n=kk≥1,k∈即1-2+3-4+5-6+⋯+(-1)k+1k=1-2+3-4+5-6+⋯+==1即当n=k+1时，等式成立．综上，对任意n∈N等式1-2+3-4+5-6+⋯+(-1)所以ACD错误.故选：B．5.已知数列{an}，an≥0，a1=0，an+12+aA．1 B．2 C．3 D．6【答案】C【分析】数学归纳法证明an<1(n∈N*)，进而求证{a【详解】归纳法证明an<1当n=1时，a1=0<1成立，若n=k时，则ak+12+ak+1-1=a综上，an<1an+12-an所以数列{a又t2-an2所以t≤(an+3)故选：C6.意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，⋅⋅⋅，即F1=F2=1，Fn=Fn-1+F(n-2)(n≥3,n∈N*)，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.A．1346 B．673 C．1347 D．1348【答案】C【分析】由已知条件写出数列an的前若干项，观察发现此数列周期为3，从而可求得答案【详解】由题意可得：若an=0，等价于Fn为偶数，若a则a1猜想：an当k=1时，a1假设当k=m≥1m∈N*时，a3m-2=1,当k=m+1时，则F3m+1=F3m-1+F3m故a3m+1得证an则连续三项之和为2，故数列an的前2020项的和为a故选：C.【点睛】方法点睛：本题主要考查数列的周期性以及应用，考查了递推关系求数列各项的和，利用递推关系求数列中的项或求数列的和：（1）项的序号较小时，逐步递推求出即可；（2）项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者是周期数列.7.“ab”表示实数a整除实数b，例如：a=2,b=4，已知数列an满足：a1=1,a2=2，若2A．a4=29 BC．对任意n∈N*，都有3a【答案】C【分析】根据递推关系可计算a4=13，a5=8，故可判断AB的正误，利用数学归纳法可证：a3n-2除3余1，a3n,a3n-1除3余2，且【详解】因为a1=1,a2=2而2|a2a3，故a但2|a3a4，故a5下面用数学归纳法证明：a3n-2除3余1，a3n,a3n-1除3余2，且a3n-2当n=1时，a1=1,a2=2,a3=5，此时a1除3且a1，a3为奇数，a设当n=k时，a3k-2除3余1，a3k,a3k-1除3余2，且a3k-2则当n=k+1时，a3k+1=3aa3k+3又a3k+1与-a3k-1除3余数相同，故a3k+1除3余1，故a3k+2故a3k+3除3余2由数学归纳法可得a3n-2除3余1，a3n,a3n-1除3余2，且a3n-2故a3n+1除3余1，a3n-1除3余2，故a3n+1+a3n-1除故C正确.由C的分析可得an没有项使得an=0，否则an除以3的余数为0故选：C.【点睛】方法点睛：对于给定的数列的递推关系，要研究数列的若干性质，注意从而特殊情况总结出一般规律，再利用数学归纳法证明即可.8.黎曼函数（Riemannfunction）在高等数学中有着广泛应用，其一种定义为：x∈0,1时，Rx=1q,x=pqp,q∈A．an=1C．i=1n2i【答案】A【分析】对于A，由a1=0即可举出反例，对于B，首先得an=【详解】对于A，a1=R2对于B，当n≥2时，2n-2,2n-1所以an+1-an+2=对于C，当n=1时，i=1n若当n=k,k≥1时，i=1则n=k+1时，i=1==13-对于D，当n=1时，a1若当n=k,k≥1,k∈N*则n=k+1时，i=1k+1要使i=1k+1a而(1-2k+2)-(1-只需2(k+1)(k+2)-12k+1故只需(k+1)(k+2)2当k=1时，该式子为3≤3，显然成立，若当k=p,p≥1时，有(p+1)(p+2)2当k=p+1时，(p+2)(p+3)≤=p+2从而对任意正整数k均有(k+1)(k+2)2综上所述，i=1nai≤1-故选：A.【点睛】关键点点睛：再利用数学归纳法以及分析法可知只需证明对任意正整数k均有(k+1)(k+2)2≤二、多选题9.对于不等式n2+n≤n+1n∈N*，某同学运用数学归纳法的证明过程如下：①当n=1时，12+1≤1+1，不等式成立.②假设当n=kk≥1,k∈N*时，不等式成立，即A．过程全部正确 B．n=1时证明正确C．过程全部不正确 D．从n=k到n=k+1的推理不正确【答案】BD【分析】直接利用数学归纳法的步骤进行判断即可.【详解】易知当n=1时，该同学的证法正确.从n=k到n=k+1的推理过程中，该同学没有使用归纳假设，不符合数学归纳法的证题要求，故推理不正确.故选：BD.10.已知Sn为数列an的前n项和，且an+1A．存在a1，使得S2=2 BC．an可能是递增数列 D．a【答案】ABD【分析】取a1=1，可判断AB选项；利用反证法可判断C选项；取a1=2，求出数列a【详解】因为Sn为数列an的前n项和，且对于A选项，取a1=1，则a2=2-1对于B选项，取a1=1，则a2=2-1以此类推可知，对任意的n∈N*，an=1，所以，对于C选项，假设数列an为递增数列，则对任意的n∈N*即an-2+1an但当an<0时，an+1=2-1对于D选项，取a1=2，则a2=2-1猜想，an当n=1时，猜想成立，假设当n=kk∈N*则当n=k+1时，ak+1这说明当n=k+1时，猜想也成立，故对任意的n∈N*，此时，数列an为单调递减数列，D对故选：ABD.11.已知数列an满足an+1=A．若a1=1，则数列B．若a1>1，则对任意n∈C．若a1>1，则对任意n∈D．若a1=2【答案】ABD【分析】对于A：根据递推公式分析求解即可；对于B，根据递推公式结合基本不等式分析判断；对于C，由an+1-1=an-12an【详解】对于A，若a1=1，则a2以此类推可知：an=1，所以数列an对于B，若a1>1，a2以此类推可知：anan+1则an+1-an=对于C，由a1>1结合选项B得出a0<an-12a对于D，若a1=2，1<a假设ak≤1+1构造函数fx=12x+所以ak+1由以上归纳得出n∈N*,a故选：ABD.【点睛】关键点睛：对于D，根据递推关系假设ak≤1+12三、填空题12．用数学归纳法证明等式“1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)n∈N*”【答案】当n=1时，等式1+2+3=(1+1)(2×1+1)成立.【分析】根据数学归纳法的证明步骤即可得到答案.【详解】根据数学归纳法的证明步骤可知，第一步验证需证明的命题为：当n=1时，等式1+2+3=(1+1)(2×1+1)成立，故答案为：当n=1时，等式1+2+3=(1+1)(2×1+1)成立.13.用数学归纳法证明命题“∀n∈N*，n+1n+2⋅⋅⋅n+n=2【答案】4k+2【分析】由数学归纳法的定义，依次写出n=k，n=k+1时等号左边的情形，对比即可得解.【详解】假设n=k时成立，即k+1k+2当n=k+1时，等号左边为k+1+1k+1+2对比可知，证明n=k+1时也成立，可在左边乘以一个代数式(2k+1)(2k+2)k+1故答案为：4k+2.14.已知数列an满足a1=1①数列an每一项an都满足②数列an③数列an的前n项和S④数列an每一项都满足a其中，所有正确结论的序号是．【答案】①②④【分析】利用数学归纳法判断①，通过递推公式，判断出数列单调性，根据取值范围对判断②④，算出S4即可判断③【详解】对于①，an+1=a当n=1时，a2=1假设当n=k时，0<a则当n=k+1时，ak+1综上，0<an≤1对于②，由an+1=an-对于③，a1=1，a2=1-1S4=1+1对于④，1an+1=累加得1an+1-1>n2所以an<2n+1(n≥2,n∈N*故答案为：①②④.四、解答题15．数学归纳法的两个步骤之间有什么关系？【答案】答案见解析【详解】记P(n)是一个关于正整数n的命题．我们可以把用数学归纳法证明的形式改写如下：条件：（1）P(n)为真；（2）若P(k)k∈N+结论：P(n)为真．在数学归纳法的两步中，第一步验证（或证明）了当n=n0时结论成立，即命题Pn0为真；第二步是证明一种递推关系，实际上是要证明一个新命题：若完成这两步，就有Pn0真，Pn0+1真……P(k)16.证明：凸n边形的对角线的条数f(n)=n【答案】证明见解析【分析】根据数学归纳法证明即可.【详解】证明：①当n=4时，f4②假设当n=k，k≥4,k∈N*时，命题成立，即凸k边形的对角线的条数f当n=k+1时，凸k+1边形是在k边形的基础上增加了一边，增加了一个顶点Ak+1，增加的对角线条数是顶点Ak+1与不相邻顶点连线再加上原k边形的一边A1Af=1故n=k+1时，命题也成立.由①、②可知，对任意n≥4，n∈N*17.x∈R，用x表示不超过x的最大整数，并用x=x-x表示小数部分，已知：a1=2，【答案】2024(【分析】求出a2，a3，用归纳法证明an【详解】因为a1=2所以a2同理a3猜想：an=2(n-1)+2①当n=1时，a1②假设n=k时成立，即ak=2(k-1)+2则n=k+1时，a=2k-1+1所以n=k+1，猜想成立，综上可得：对∀n∈N*，都有故数列an为公差为2，首项为2则k=1202418.设1<x1<2，对于n=1,2,3，…，定义xn+1=1+【答案】证明见解析【分析】根据数学归纳法的证明步骤进行证明即可.【详解】由xn+1=1+xn-12因而118-2<x3-2设yn=xyn+1假设yn<1yn+1因为n≥3，所以yn<1于是，yn+1<12yn<由此，对所有n≥3的自然数命题成立，即