2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）

..,FF2=2PFS1为r的实数等比数列{an}n≥1，满足an≥C对所有正整数n成立x表示实数x对任意实数x，显然有故满足要求的C不超过.又取{an}的首项注意到对任意正整数n，均有rn-1为奇数，因此情形2：r为偶数.*)．对任意实数α,我们证明a1与a2中必有一数不超过事实上，设a1=k士δ,其中k是与a1最近的整数（之一且0≤δ≤.注意到，对任意实数x及任意整数k，均有x十k=x，以及-x=x.若，则<2mδ≤m，即m-<δr≤m，此时另一方面，取a1=则对任意正整数n，有an=n-1，由二 这意味着满足要求.从而满足要求的C的最大值为2综上，当r为奇数时，所求C的最大值为；当r为偶数时，所求二本题满分40分）如图，在凸四边形ABCD中，AC平分上BAD，点E,F分别在边BC,CD上，满足EF||BD．分别延长FA,EA至点P,Q，使得过点圆.QQPAB··DEFCQPAKBDEFC故BP,CA的延长线相交，记交点为L.由EF||BD知在线段AC上取点K，使得则KE||AB,KF||AD．…………10分可知△ABL∽△KAF，所以AL=．…………20分同理，记DQ,CA的延长线交于点L/，则A又由KE||AB,KF||AD知，即KE.AD=KF.AB.所以AL/=AL，即L/与L重合.由切割线定理知LP.LB=LA2=LQ.LD，所以B,P,Q,D四点共圆.构成的集合S称为“连通的”，如果对S中任意两个不同的小方格A,B，存在整3白色，总存在一个连通的集合S，使得S中的黑格个数与白格个数之差的绝对值不小于K.对一个由小方格构成的集合S，记Sb是S中的黑格个数，Sw是S中的白格个取不属于S的黑格A满足d(A,S)最小，这里d(A,S)=d(A,B).易知若d(A,S)=2，则存在与A相邻的白格C，而C与S中某个方格B相邻，取S′=SU{A,B}，则S’仍是连通的，且S−S不变.因而可逐步扩充S，使得S包含所有黑格，保持S的连通性，且Sb−Sw不减.w设表格中共有X个黑格和Y个白格，在第二行中有x个黑格和y个白格.于由平均值原理可知max{X−y,Y−x}≥n.不妨设X−y≥n.取S为第二行中的y个白格以及所有X个黑格.由于S包综上所述，Kmax=n.4证明：先证明下述引理.2n即Ak—1n另一方面，因(D,A)=1，故由欧拉定理知DAφ(D)—对任意n∈N*,(n,B)=1，存在正整1答案：4049.2.设无穷等比数列{an}的公比q满足0<q<1．若{an}的各项和等于{an}各项的平方和，则a2的取值范围是解：因为数列{an}的各项和为注意到{an}各项的平方依次构成首项2为a、公比为q2的等比数列，于是{a}的各项和为.2当时，a2=3答案：7.—a，故A是一个包含[4,9]且以x=5进一步可知B只能为[4,十∞)，故b<0且4b=b3，得b=—2.4.在三棱锥P—ABC中，若PA丄底面ABC，且棱AB,BP,BC,CP的长分解：由条件知PA丄AB，PA丄AC.PA22所以S△ABC=AB.BC.sinB=又该三棱锥的高为PA，故其体积为.S△ABC.PA=解：设掷出1,2,…,6点的概率分别为p1,p2,…,p6．由于p1,p2,…,p6成等差数列，且p1十p2十…十p6=1，故p1十p6=p2十p5=p3十p4=.=(p1十p4)2=3.,6.设f(x)是定义域为R、最小正周期为5的函数．若函数g(x)=f(2x)在区间[0,5)上的零点个数为25，则g(x)在区间[1,4)上的零点个数为.答案：11.g(x)在[0,5)上的零点个数等于f(t)在[1,32)上的零点个数.注意到f(t)有最小正周期5，设f(t)在一个最小正周期上有m个零点，则f(t)在[2,32)上有6m个零点，又设f(t)在[1,2)上有n个零点，则6m十n=25，且0≤n≤m，因此m=4,n=1.从而g(x)在[1,4)上的零点个数等于f(t)在[2,16)=[1,16)\[1,2)上的零点个 记PF1=u,PF2=v,F1F2=d，则2—u23故由条件知=u2十v2d2，即8.若三个正整数a,b,c的位数之和为8，且组成a,b,c的8个数码能排列为数组．满足10<a<b<c的幸运数组(a,b,c)的个数为.答案：591.解：对于幸运数组(a,b,c)，当10<a<b暂不考虑b,c的大小关系，先在a,b,c的非最高位（五个位置）中选三个位置填0，剩下五个位置还未填，任选其中两个填2，最后三个位置填写4,8,9，这样的填法数为C×C×3!=600．再考虑其中b,c的大小关系，由于不可能有b=c，因此b<c与b>c的填法各占一半，故有300个满足要求的幸运数组.情形2：a,b是两位数，c是四位数.置）中选三个位置填0，剩下五个位置填2,2,4,8,9，这样的填法数为600．再考虑其中a,b的大小关系．若a=b，则必有a=b=20，c的四个数字是0,4,8,9的排列，且0不在首位，有3×3!=18种填法，除这些填法外，a<b与a>b的填法各占一半，故有=291个满足要求的幸运数组.程或演算步骤.22求cosC的值.4为A．将圆心在y轴上，且与Γ的两支各恰有一个公共PA0与Γ的方程消去x，得关于y的二次方程2y22y0y十y十1r02=0.对于外切于点P的两个好圆Ω1,Ω2，显然P在y轴上．设P(0,h)，Ω1,Ω2的>0，故化简得h=.r2=h22(rr)2的最小可能值.≥a2—b2的最小值.5 由f(t)=f(4—t)，不妨设t≥2．我们证明f(t)≥f(t0)，其中t0=B.0]时，t404]，f(t)—f(t0)=(B—t2)十(B(t4)2)(B(t04)2)04)2(t2十(t4)2)=(2t8t0)(2t28t)f(t)—f(t0)=t2—B十(t4)2B(t04)2B≥t2t(t4)2(t04)2=(tt0)(t十t0t十t08)01=51时，S取到最小值8516.w22z=(x24x1—y2)十(2x4)yi. 当x≥52时，由①得S≥8x≥8516.当0≤x<52时，由②得S≥2(1—x2)>2(1(52)2)=8516.z22(2z)=z2十2z4=z十1十5.z十15；(2z)2