选择性必修第一册湘教版-第2章-单元测试卷-143700

第2章平面解析几何初步一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.斜率为2,且过直线y=4-x和直线y=x+2交点的直线方程为()A.y=2x+1 B.y=2x-1 C.y=2x-2 D.y=2x+22.若直线l1:ax+2y+6=0与直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0平行,则a的值为()A.a=-2或a=1 B.a=2 C.a=2或a=-1 D.a=-13.已知直线l:2x+y-5=0,圆C:(x-1)2+(y+2)2=6,则圆C的圆心到直线l的距离为 ()A.1 B.55 C.0 D.4.已知圆C:x2+y2-2x+4y+2=0,从点P(-1,-3)发出的光线,经直线y=x反射后,恰好经过圆心C,则入射光线所在直线的斜率为()A.-4 B.-14 C.14 D5.已知圆C1:x2+y2+4x-4y-3=0,动点P在圆C2:x2+y2-4x-12=0上,则△PC1C2面积的最大值为()A.25 B.45 C.85 D.206.已知圆C:x2+(y-2)2=16,若动点M在直线y+6=0上,过点M引圆C的两条切线MA,MB,切点分别为A,B,则直线AB恒过定点N,点N的坐标为()A.(-1,-1) B.(0,0) C.(1,1) D.(0,6)7.若对圆(x-1)2+(y-1)2=1上任意一点P(x,y),|3x-4y+a|+|3x-4y-9|的取值与x,y无关,则实数a的取值范围是()A.a≤4 B.-4≤a≤6 C.a≤4或a≥6 D.a≥68.在平面直角坐标系中,坐标原点为O,定点M(1,-1),动点P(x,y)满足|PO|=2|PM|,P的轨迹C1与圆C2:x2+y2-3x+3y+4+a=0有两个公共点A,B,若在C1上至多有3个不同的点到直线AB距离为2,则a的取值范围为()A.(-∞,-2-22]∪[-6+22,+∞)B.(-4-22,-2-22]C.[-6-22,-4-22)∪(-4+22,-2+22]D.(-4-22,-2-22]∪[-6+22,-4+22)二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.已知直线l:mx+y+1=0,A(1,0),B(3,1),则下列结论正确的是()A.直线l恒过定点(0,1) B.当m=0时,直线l的斜率不存在C.当m=1时,直线l的倾斜角为3π4 D.当m=2时,直线l与直线AB10.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名,他发现:平面内到两个定点A,B的距离之比为定值λ(λ>0且λ≠1)的点所形成的图形是圆.后来,人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中,A(-2,0),B(4,0),点P满足|PA||PB|=12,设点P所构成的曲线为CA.C的方程为(x+4)2+y2=16B.在C上存在点D,使得D到点(1,1)的距离为10C.在C上存在点M,使得|MO|=2|MA|D.C上的点到直线3x-4y-13=0的最大距离为911.已知圆M:(x-1-cosθ)2+(y-2-sinθ)2=1,直线l:kx-y-k+2=0,下面四个命题,其中正确的是()A.对任意实数k与θ,直线l和圆M有公共点B.存在实数k与θ,使得直线l和圆M相离C.对任意实数k,必存在实数θ,使得直线l和圆M相切D.对任意实数θ,必存在实数k,使得直线l和圆M相切三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知直线l上一点向右平移4个单位长度,再向下平移2个单位长度后,仍在该直线上,则直线l的斜率k为.

13.已知圆C1:x2+y2+4y+3=0,圆C2:x2+y2-6x+2y+6=0,M,N分别为圆C1和圆C2上的动点,P为直线l:y=x+1上的动点,则|MP|+|NP|的最小值为.

14.已知圆C:(x-a)2+(y-a+1)2=1,直线l:y=-x+2与x轴交于点A.若a=1,则直线l截圆C所得弦的长度为;若过l上一点P作圆C的切线,切点为Q,且|PA|=2|PQ|,则实数a的取值范围是.(本题第一空2分,第二空3分)

四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知△ABC的三个顶点是A(1,1),B(-1,3),C(3,4).(1)求BC边的高所在的直线l1的方程;(2)若直线l2过C点,且A,B到直线l2的距离相等,求直线l2的方程.

16.(15分)在下列所给的三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并加以解答.①与直线4x-3y+5=0垂直;②直线l的一个方向向量为a=(-4,3);③与直线3x+4y+2=0平行.已知直线l过点P(1,-2),.

(1)求直线l的一般方程;(2)若直线l与圆x2+y2=5相交于P,Q两点,求弦长|PQ|.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.

17.(15分)树林的边界是直线l(如图1所示),一只兔子在河边喝水时发现了一只狼,兔子和狼分别位于l的垂线AC上的点A和点B处,|AB|=|BC|=a(a为正常数),若兔子沿AD方向以速度2μ向树林逃跑,同时狼沿BM(M∈AD)方向以速度μ进行追击(μ为正常数),若狼到达M处的时间不多于兔子到达M处的时间,狼就会吃掉兔子.(1)求兔子被狼吃掉的点的区域面积S(a);(2)若兔子要想不被狼吃掉,求θ(θ=∠DAC)的取值范围.图1

18.(17分)已知圆M:x2+(y-4)2=4,点P是直线l:x-2y=0上的一动点,过点P作圆M的切线PA,PB,切点为A,B.(1)当切线PA的长度为23时,求点P的坐标.(2)若△PAM的外接圆为圆N,试问:当P在直线l上运动时,圆N是否过定点?若是,求出定点的坐标;若不是,说明理由.(3)求线段AB的最小值.

19.(17分)已知圆C的圆心在直线3x-y=0上,圆C与x轴正半轴相切,且被直线l:x-y=0截得的弦长为27.(1)求圆C的方程.(2)设点A在圆C上运动,B(7,6),且点M满足AM=2MB,记点M的轨迹为Γ.①求Γ的方程,并说明Γ是什么图形;②在直线l上是否存在定点T(异于原点O),使得对于Γ上任意一点P,都有|PO||PT|为一常数?若存在,求出所有满足条件的点T的坐标

第2章平面解析几何初步1.A联立两直线方程得y=4−x,y则所求直线方程为y-3=2(x-1),整理得y=2x+1.2.D由l1与l2平行得a(a-1)-2=0,2(a3.D圆C:(x-1)2+(y+2)2=6的圆心坐标为(1,-2),又直线l:2x+y-5=0,∴圆心到直线l的距离为d=|2-2-5|22+4.A由圆C:x2+y2-2x+4y+2=0,得(x-1)2+(y+2)2=3,则圆心为C(1,-2).因为反射光线经过C(1,-2),故点C关于直线y=x的对称点(-2,1)在入射光线所在的直线上,且光源为P(-1,-3),∴入射光线所在直线的斜率k=1−(−3)-2-(-1)=-45.B圆C1:x2+y2+4x-4y-3=0,即(x+2)2+(y-2)2=11,圆心为C1(-2,2),圆C2:x2+y2-4x-12=0,即(x-2)2+y2=16,圆心为C2(2,0),半径为4,则|C1C2|=16+4=25,故△PC1C2的面积最大值为12×25×4=456.B圆C的圆心为C(0,2),半径为r=4.因为MA,MB是☉C的两条切线,所以CA⊥MA,CB⊥MB.设点M的坐标为(a,-6),因为∠MAC=∠MBC=90°,所以M,A,C,B四点共圆,且以MC为直径,该圆的方程为x(x-a)+(y+6)(y-2)=0,又圆C的方程为x2+(y-2)2=16,所以两圆方程相减得-ax+8y=0,即直线AB的方程为-ax+8y=0,所以直线AB恒过定点(0,0).7.D依题意|3x-4y+a|5+|3x-4y-9|5表示P(x,y)到两条平行直线3x-4y+a=0和3x-4y-9=0的距离之和,且与x,y无关,故两条平行直线3x-4y+a=0和3x-4y-9=0在圆(x-1)2+(y-图D1故圆心(1,1)到直线3x-4y+a=0的距离d=|3-4+a|5≥1,解得a≥6或a≤-4(8.D∵动点P(x,y)满足|PO|=2|PM|,∴x2+y2=2·(x-1)2+(y+1)2,化简得P的轨迹方程为C1:x2+y2-4x+4y+4=0,由C1-又C1:(x-2)2+(y+2)2=4,∴圆心C1(2,-2),半径r1=2,C2:(x-32)2+(y+32)2=12-a,∴圆心C2(32,-32),半径r2=12-a,∴12-a∵两圆有两个公共点,∴|r1-r2|<|C1C2|<r1+r2,∴|2-12-a|<22<解得-4-22<a<-4+22②.又C1上至多有3个不同点到直线AB的距离为2,∴C1(2,-2)到直线AB的距离d≥2-2,解得|4+a|2≥2∴a≥-6+22或a≤-2-22③,由①②③得-4-22<a≤-2-22或-6+22≤a<-4+22.故选D.9.CD因为直线l:mx+y+1=0,所以当x=0时,y=-1,故直线l恒过定点(0,-1),选项A错误;当m=0时,直线l:y+1=0,斜率k=0,故选项B错误;当m=1时,直线l:x+y+1=0,斜率k=-1,故倾斜角为3π4,选项C正确;当m=2时,直线l:2x+y+1=0,斜率k=-2,kAB=1−03−1=12,故k·kAB=-1,故直线l与直线AB垂直,选项10.AD由题意可设点P(x,y),由A(-2,0),B(4,0),|PA||PB|=12,得(x+2)2+y2(x-4)2+y2=(12)2,化简得x2点(1,1)到圆上的点的最大距离为26+4<10,故不存在点D符合题意,B错误.设M(x0,y0),由|MO|=2|MA|,得x02+y又(x0+4)2+y02=16,联立方程消去y0得x0=2,解得y0无解,CC的圆心(-4,0)到直线3x-4y-13=0的距离为d=|3×(-4)-13|5=5,且曲线C的半径为则C上的点到直线的最大距离为d+r=5+4=9,D正确.故选AD.11.AC对于选项A,由题意知圆M的圆心为点M(1+cosθ,2+sinθ),半径r=1,直线l的方程可写作y=k(x-1)+2,过定点A(1,2),因为点A在圆上,所以直线l和圆M相切或相交,即对任意实数k与θ,直线l和圆M有公共点,A正确.对于选项B,由以上分析知不存在实数k与θ,使得直线l和圆M相离,B错误.对于选项C,当直线l和圆M相切时,点A恰好为直线l和圆M的切点,故直线AM与直线l垂直.①当k=0时,l:y=2,所以直线AM与x轴垂直,则1+cosθ=1,即cosθ=0,解得θ=π2+kπ(k∈Z),存在θ,使得直线l和圆M相切②当k≠0时,若直线AM与直线l垂直,则cosθ≠0,直线AM的斜率为kAM=2+sinθ-21+cosθ-1=sin所以kAM·k=-1,即tanθ=-1k,此时对任意的k≠0,均存在实数θ,使得tanθ=-1综上所述,对任意实数k,必存在实数θ,使得直线l和圆M相切,C正确.对于选项D,点M(1+cosθ,2+sinθ)到直线l的距离为d=|k·cosθ-sinθ|k2+1,令θ=0,当k=0时,d=0;当k≠0时,d=|k|k2+1<|k|k2=1,即此时d<1恒成立12.-12设点P(a,b)是直线l上的一点将点P(a,b)向右平移4个单位长度,再向下平移2个单位长度得到的点P'(a+4,b-2)仍在该直线上,则直线l的斜率k=(b-2)-b13.210-3圆的标准方程为C1:x2+(y+2)2=1,则圆心为C1(0,-2),半径为1,圆C2:(x-3)2+(y+1)2=4,则圆心为C2(3,-1),半径为2.设C1(0,-2)关于直线y=x+1对称的点的坐标为(x,y),∴y+2x-0·1=-1,-2+y2=x2+1,∴x=−3,y=1,所以圆C1关于直线图D2由对称性知问题转化为P到D,N的距离之和的最小值.由图知当圆心C3,圆心C2,P三点共线时,|MP|+|NP|的距离最小,此时最小值为|C2C3|-1-2=(-3-3)2+(1+1)2-3=40-3=14.2[3−32,3+32]由题意知,当a=1时,圆C:(x-1)2+y2=1,可得圆心C(1,0),半径r=1,则圆心C(1,0)到直线l:y=-x+2的距离d=|1-2|12+12=22由圆C:(x-a)2+(y-a+1)2=1,可得圆心C(a,a-1),半径r=1,设P(x0,y0),根据圆的切线长公式,可得|PQ|2=|PC|2-r2=(x0-a)2+(y0-a+1)2-1,过点P作PB⊥x轴于点B,如图D3所示,图D3由|PB|=|PA|sin∠PAB=22|PA|,得|PA|=2|PB|又|PA|=2|PQ|,所以|PB|=|PQ|,即|PB|2=|PQ|2,即|y0|2=(x0-a)2+(y0-a+1)2-1,结合y0=-x0+2,整理得x02-2x0+2a2-6a+4则方程x02-2x0+2a2-6a+4=0至少有一个实数根,所以Δ=(-2)2-4(2a2-6a+4)≥0,即2a2-6a+3解得3−32≤a≤3+32,即实数a的取值范围是[3−15.(1)因为kBC=4−33+1=14,且直线l1与BC所以直线l1的斜率k=-1kBC所以直线l1的方程是y=-4(x-1)+1,即4x+y-5=0.(2)因为直线l2过C点,且A,B到直线l2的距离相等,所以直线l2与AB平行或过AB的中点M.①当直线l2与AB平行时,因为kAB=3−1-1-1=-1,所以直线l2的方程是y=-(x-3)+4,即x+y-7=②当直线l2过AB的中点时,因为AB的中点M的坐标为(0,2),所以kCM=4−23−0=23,所以直线l2的方程是y=23(x-3)+4,即2x-3y+6综上,直线l2的方程是x+y-7=0或2x-3y+6=0.16.(1)选①.因为直线4x-3y+5=0的斜率为k1=43,且直线4x-3y+5=0与直线l垂直,所以直线l的斜率为k=-3又直线l过点P(1,-2),所以直线l的方程为y+2=-34(x-1),即3x+4y+5=0选②.因为直线l的一个方向向量为a=(-4,3),所以直线l的斜率为k=-34又直线l过点P(1,-2),所以直线l的方程为y+2=-34(x-1),即3x+4y+5=0选③.因为直线3x+4y+2=0的斜率为k=-34,且直线l与直线3x+4y+2=0平行,所以直线l的斜率为k=-3又直线l2过点P(1,-2),所以直线l的方程为y+2=-34(x-1),即3x+4y+5=0(2)圆x2+y2=5的圆心O(0,0)到直线3x+4y+5=0的距离为d=532设P,Q的中点为M,由圆的半径为r=5,可知|PM|=r2-1因此|PQ|=2|PM|=4,即弦长|PQ|为4.17.(1)如图D4,建立平面直角坐标系,设A(0,2a),B(0,a),M(x,y),图D4由|BM|μ≤|AM|2μ,得2|BM|≤|AM|两边平方,整理得3x2+3y2-4ay≤0,即x2+(y-2a3)2≤所以M在以(0,2a3)为圆心,半径为2所以S(a)=4a2(2)设直线AD的方程为lAD:y=kx+2a(k≠0),兔子要想不被狼吃掉,需点M在圆的外部,即直线AD和圆相离,即圆心(0,2a3)到直线AD由|2a-2a3|k2+1>2a3,得k∈(-3,0)∪(0,3),由于∠ADC为锐角,故0<18.(1)由题意知,圆M的半径r=2,M(0,4),设P(2b,b).∵PA是圆M的一条切线,∴∠MAP=90°,∴|MP|=(0-2b)2+(4−解得b=0或b=85,∴P(0,0)或P(165,8(2)设P(2b,b),∵∠MAP=90°,∴经过A,P,M三点的圆N以MP为直径,以点M,P的中点为圆心,∴圆N的方程为(x-b)2+(y-b+42)2=即(2x+y-4)b-(x2+y2-4y)=0,由2x+y-4=0,故圆N过定点(0,4),(85,45(3)由(2)知,圆N方程为