2025届新高考数学热点冲刺复习空间直线平面的平行

2025届新高考数学热点冲刺复习

空间直线、平面的平行课前自主预习案课堂互动探究案课前自主预习案必

备

知

识1.线面平行的判定定理和性质定理定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果平面外一条直线与________的一条直线平行，那么该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α“内”“外”“平行”三个条件缺一不可性质定理一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面______，那么该直线与交线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)此平面内相交2.面面平行的判定定理和性质定理定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面内的两条________与另一个平面平行，那么这两个平面平行“相交”条件不可缺少a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α性质定理两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么________平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b相交直线两条交线【常用结论】(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.(2)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.(3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即a⊥α，b⊥α，则a∥b.(4)若α∥β，a⊂α，则α∥β.夯

实

基

础1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.(

)(2)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(

)(3)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．(

)(4)若α∥β，且直线a∥α，则直线a∥β.(

)××√×2．(教材改编)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为________．答案：平行解析：连接BD，则AC∩BD＝O，连接OE(图略)，则OE∥BD1，OE⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE，∴BD1∥平面ACE.3．(教材改编)如图，平面α∥平面β，△PAB所在的平面与α，β分别交于CD和AB，若PC＝2，CA＝3，CD＝1，则AB＝________.

4．(易错)若直线a与平面α内的无数条直线平行，则a与α的关系为________．答案：a∥α或a⊂α解析：若直线a在平面外，则a∥α；若直线a在平面内，符合条件，∴a∥α或a⊂α.5．(易错)若平面α∥平面β，直线a∥平面α，则a与β的关系是________．答案：a⊂β或a∥β解析：因为直线a∥平面α，平面α∥平面β，所以a⊂β或a∥β.课堂互动探究案1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并会证明．2．掌握直线与平面、平面与平面平行的判定与性质，并会简单应用．问题思考·夯实技能【问题1】一条直线与一个平面平行，那么它与平面内的所有直线都平行吗？提示：不都平行．该平面内的直线有两类：一类与该直线平行，一类与该直线异面．【问题2】一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别对应平行，那么这两个平面平行吗？提示：平行．可以转化为“一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行”，这就是面面平行的判定定理．关键能力·题型剖析题型一

直线与平面平行的判定与性质角度一直线与平面平行的判定例1在多面体ABCC1A1B1中，四边形BB1C1C是正方形，

A1为AB1的中点，求证：直线AC∥平面A1BC1.证明：连接CB1，设CB1∩BC1＝D，因为四边形BB1C1C是正方形，所以D为CB1的中点，连接A1D，因为A1，D分别为AB1，CB1的中点，则A1D∥AC，因为A1D⊂平面A1BC1，AC⊄平面A1BC1，所以直线AC∥平面A1BC1.题后师说证明线面平行的两种常用方法(1)利用线面平行的判定定理．(2)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．

题后师说应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定．巩固训练1如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，M是线段EF的中点．(1)求证：AM∥平面BDE；(2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，试分析l与m的位置关系，并证明你的结论．解析：(1)证明：令AC∩BD＝O，连接OE，∵四边形ACEF为矩形，M，O分别为EF，AC中点，∴EM∥OA，且EM＝OA，∴四边形AOEM为平行四边形，∴AM∥OE，∵AM⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，∴AM∥平面BDE.(2)l∥m，证明：由(1)知AM∥平面BDE，又∵AM⊂平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l，∴l∥AM，∵AM∥平面BDE，AM⊂平面ABM，平面ABM∩平面BDE＝m，∴m∥AM，∴l∥m.题型二

平面与平面平行的判定与性质例3如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G分别为B1C1，A1B1，AB的中点．(1)求证：平面A1C1G∥平面BEF；(2)若平面A1C1G∩BC＝H，求证：H为BC的中点．

题后师说证明面面平行的三种常用方法(1)利用面面平行的判定定理．(2)利用垂直于同一条直线的两个平面平行．(3)利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(α∥β，β∥γ⇒α∥γ)．巩固训练2如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形．(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)若平面ABCD∩平面B1D1C＝直线l，证明：B1D1∥l.

(2)由(1)知，平面A1BD∥平面CD1B1，又平面ABCD∩平面CD1B1＝直线l，平面ABCD∩平面A1BD＝直线BD，∴直线l∥直线BD，∵在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形BDD1B1为平行四边形，∴B1D1∥BD，∴l∥B1D1.题型三

平行关系的综合应用例4如图，四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为PB的中点．(1)求证：CE∥平面PAD；(2)在线段AB上是否存在一点F，使得平面PAD∥平面CEF？若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由．

题后师说解决面面平行问题的关键点(1)在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“线线平行”“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，绝不可过于“模式化”．(2)解答探索性问题的基本策略是先假设，再严格证明，先猜想再证明是学习和研究的重要思想方法．

1．若l，m是平面α外的两条不同直线，且m∥α，则“l∥m”是“l∥α”的(

)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：A解析：∵l，m是平面α外的两条不同的直线，m∥α，∴若l∥m，则推出“l∥α”；若l∥α，则l∥m或l与m相交或l与m异面；∴若l，m是平面α外的两条不同直线，且m∥α，则“l∥m”是“l∥α”的充分不必要条件．故选A.2．已知α，β是空间两个不同的平面，命题p：“α∥β”，命题q：“平面α内有无数条直线与β平行”，则p是q的(

)A．充分不必要条件B．必要不充分条件