4.2 指数函数（精练）（解析版） -人教版高中数学精讲精练（必修一）

4.2指数函数（精练）1指数函数判断1．（2021·全国·高一专题练习）下列函数中，是指数函数的个数是（

）①；②；③；④.A．1 B．2 C．3 D．0【答案】D【解析】①中底数－8<0，所以不是指数函数；②中指数不是自变量，而是的函数，所以不是指数函数；③中底数，只有规定且时，才是指数函数；④中前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数.故选：D.2．（2021·全国·高一专题练习）下列是指数函数的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】根据指数函数的解析式可知，为指数函数，A、B选项中的函数均不为指数函数，C选项中的底数的范围未知，C选项中的函数不满足指数函数的定义.故选：D.3．（2022·江苏）下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是（

）A．y＝(－4)x B．y＝λx(λ>1)C．y＝－4x D．y＝ax＋2(a>0且a≠1)【答案】B【解析】A中底数不满足大于0且不等于1，故错误；B中函数满足指数函数的形式，故正确；C中系数不是1，故错误；D中指数部分不是x，故错误；故选：B4．（2022云南）在①；②；③；④；⑤中，y是关于x的指数函数的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】根据指数函数的定义，知①⑤中的函数是指数函数，②中底数不是常数，指数不是自变量，所以不是指数函数；③中的系数是-1，所以不是指数函数；④中底数-4﹤0，所以不是指数函数.故选：B.5．（2022江西）函数是指数函数，则有（

）A．a＝1或a＝3 B．a＝1 C．a＝3 D．a＞0且a≠1【答案】C【解析】由已知得，即，解得．故选：C6．（2022·全国·高一课时练习）若是指数函数，则有（

）A．或 B．C． D．且【答案】C【解析】因为是指数函数，所以，解得.故选：C．7．（2021·全国·高一专题练习）（多选）函数y＝(a2－4a＋4)ax是指数函数，则a的值不可以是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】ACD【解析】由指数函数的定义知a2－4a＋4＝1且a≠1，解得a＝3.故选：ACD.8．（2022·全国·高一专题练习）下列函数中是指数函数的是__________(填序号)．①；②；③；④；⑤；⑥．【答案】③【解析】①的系数不是，不是指数函数；②的指数不是自变量，不是指数函数；③是指数函数；④的底数是不是常数，不是指数函数；⑤的指数不是自变量，不是指数函数；⑥是幂函数．故答案为：③9．（2021·全国·高一专题练习）函数是指数函数，则的值为________．【答案】【解析】因为函数为指数函数，则，解得.故答案为：.10．（2022湖南）已知指数函数，则的值是___________.【答案】2.【解析】由指数函数的定义，可得，解得．故答案为：．2指数函数的定义域与值域1．（2022湖北）函数的定义域和值域分别为（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】，解得，即，定义域为，因为，所以，，即值域为．故选：B．2．（2022·全国·高一课时练习）函数，的值域是(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】令，则，则，故选：A.3．（2022·山东烟台·高一期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围为___________.【答案】【解析】∵函数的值域为，又当时，，∴，解得.故答案为：.4．（2021·广东·东莞市东华高级中学高一期中）设函数的最小值为2，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】由题意，函数的最小值为，因为函数在上为增函数，可得时，函数有最小值为，则当时，函数，可得函数满足，当时，函数，当时，不满足题意；当时，函数的对称轴为，根据题意可得或，解得或，可得，即实数的取值范围是.故答案为：5．（2022·全国·高一专题练习）函数的值域为____.【答案】【解析】令，函数化为，即函数的值域为．故答案为：6．（2022·全国·高一专题练习）函数且的值域是，则实数____.【答案】或【解析】当时，函数且是增函数，值域是，；当时，函数且是减函数，值域是，.综上所述，可得实数或.故答案为：或7．（2022江苏）求下列函数的定义域与值域．（1）；（2）；（3）.【答案】（1）定义域是，值域为且.；定义域为，值域为；（3）定义域为，值域为．【解析】（1）因为，所以，故定义域为.设，因为，所以.因为，，所以且，故值域为且.（2）函数，，所以定义域为.设，因为，，所以，故值域为.（3）因为，所以，解得，故定义域为.因为，所以，即，故值域为.8．（2021·黑龙江·绥化市第一中学高一期中）已知函数，．(1)当，且时，求函数的值域；(2)若函数在的最小值为，求实数的值；【答案】(1)(2)【解析】(1)当时，；令，则当时，，在上单调递减，在上单调递增，，，的值域为.(2)令，则当时，，，对称轴为；当，即时，在上单调递增，，解得：（舍）；当，即时，在上单调递减，在上单调递增，，解得：（舍）或；当，即时，在上单调递减，，解得：（舍）；综上所述：.9．（2022·湖南·高一期末）已知函数.(1)求的值域；(2)当时，的最大值为7，求的值.【答案】(1)(2)或【解析】(1)设，则.因为，所以，所以，所以，即的值域为.(2)函数图象的对称轴为直线.当时，，所以在上单调递增，则，解得或（舍去）所以；当时，，所以在上单调递增，则，解得或（舍去），因为，所以.综上，或.3指数函数单调性运用1．（2022·河北）设，，，则（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题意可知，，，，又函数在上是单调递增函数，因为，所以，故，故选:C．2．（2022·全国·高一）若，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，因为在上为减函数，且，所以，所以，故选：A3．（2020·四川巴中·高一期中）已知，，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为单调递减，所以，，所以.故选：D4（2022·新疆·乌市一中高一期末）设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为在上单调递增，在上单调递减所以，故.故选：B5．（2022·广东·韶关市曲江区曲江中学高一期末）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，，，且幂函数在上单调递增，因为所以，即，指数函数在上单调递增，因为所以，所以，综上，故选：A.6．（2022·全国·高一专题练习）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】是增函数，故，而，故.故选：A.7．（2021·全国·高一课前预习）比较下列几组值的大小：(1)和；(2)和；(3)和；(4)，，．【答案】(1)(2)(3)>(4)【解析】(1)由于，．∵在上为增函数，且，∴，即；(2)由于．∵在上为减函数，且，∴；(3)∵在上为减函数，在上为增函数，且，∴，，∴；(4)∵，在上为增函数，且∴∴．4指数函数的定点（2021·上海高一专题练习）函数的图像恒过定点______.【答案】【解析】，令，得，，函数的图象恒过定点，故答案为：.2.（2022山西）已知函数（且）的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中实数m，n满足，则的最小值为______．【答案】4【解析】∵函数且的图象恒过定点，可得，∵点在一次函数的图象上，∴，∵，所以，当且仅当时取得等号；故答案为：43．（2021·全国高一课时练习）已知函数（且）的图象恒过定点，则点的坐标为____________.【答案】【解析】时，，所以函数图象恒过定点．故答案为：．4．（2022·上海市）对于任意实数，函数（且）的图像经过一个定点，则该定点的坐标是________．【答案】【解析】因为函数图像可以通过向左平移个单位得，再将图像上的点向上平移个单位得到，且指数函数（且）恒过定点，所以函数（且）的图像经过定点.故答案为：5（2021·上海市民办西南高级中学高一月考）函数的图象恒过定点_______.【答案】【解析】当时，，的图象恒过定点.故答案为：.5指数函数的图像问题1．（2022·全国·高一课时练习）函数（，且）的图像经过第二､三､四象限，则（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【解析】若，则函数的图象必经过第一象限，而函数（，且）的图像经过第二､三､四象限，所以，此时函数必过第一、二象限，且经过定点，若，图象往上平移，则必过第一、二象限，若，图象往下平移且经过第二､三､四象限，所以．故选：A．2．（2022·全国·高一课时练习）若函数的图象不经过第二象限，则实数的取值范围是（

）A．（-∞，-2） B．（-∞，-2]C．（3，+∞） D．[3，+∞）【答案】B【解析】作出函数的图象，如图所示.由于将函数向上或下平移后，得到，而函数的图象不经过第二象限，由图可知，至少要向下平移2个单位，则.所以实数的取值范围是.故选：B.3（2022·全国·高一期末）(多选)已知函数的图象如图所示，则（

）A．a>1 B．0<a<1C．b>1 D．0<b<1【答案】BD【解析】观察图象得，函数是单调递减的，因此，，图象与y轴交点纵坐标有：，而时，，于是得，解得，所以，.故选：BD4．（2021·吉林油田高级中学高一期中）（多选）函数（，且）的图象可能是（

）A．B．C． D．【答案】BC【解析】由题意，，且.对A，根据图象可知，函数在上单调递增，则，但根据最小值点可知，，矛盾.故A错误；对B，根据图象可知，函数在上单调递增，则，根据最小值点可知，，满足题意.故B正确；对C，根据图象可知，函数在上单调递减，则，根据最大值点可知，，满足题意.故C正确；对D，根据图象可知，函数在上单调递减，则，但根据最大值点可知，，不合题意.故D错误.故选：BC.5．（2021·全国·高一课时练习）若函数的图像不经过第二象限，则实数m的取值范围是______．【答案】【解析】函数的图象过点，至少向下平移个单位才能使图象不过第二象限，则，即，即故答案为：．6指数函数的综合运用1．（2022·全国·高一课时练习）设，，则是（

）A．奇函数且在上单调递减 B．偶函数且在上单调递减C．奇函数且在上单调递减 D．偶函数且在上单调递减【答案】D【解析】依题意，得，且，所以是偶函数．当时，，则单调递减；当时，，则单调递增．故选：D.2（2022·全国·高一课时练习）（多选）已知函数，则（

）A．函数的定义域为R B．函数的值域为C．函数在上单调递增 D．函数在上单调递减【答案】ABD【解析】令，则．对于A，的定义域与的定义域相同，为R，故A正确；对于B，，的值域为，所以函数的值域为，故B正确；对于C、D，因为在上单调递增，且，在定义域上单调递减，所以根据复合函数单调性法则，得函数在上单调递减，所以C不正确，D正确.故选：ABD.3（2022·北京通州·高一期末）已知关于的方程（）的根为负数，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】将化为，因为关于的方程（）的根为负数，所以的取值范围是在的值域，当时，，则，即的取值范围是.故选：D.4．（2022·云南昆明·高一期末）已知函数，，若，．(1)求，的解析式；(2)若，试比较m，n的大小．【答案】(1)，；(2)当时，；当时，；当时，；【解析】(1)由，解得：，即，(2)由，得，当时，有，所以，此时；当时，，此时；当时，，此时；5．（2021·陕西·宝鸡市渭滨中学高一期中）已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)若函数的最大值为8，求函数的最小值．【答案】(1)增区间，减区间；(2)﹒【解析】(1)令，则t在x