高中数学（人教A版）选修1-1教案

高考资源网（.ks5u），您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。.ks5uPAGE1高考资源网（.ks5u），您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。.ks5u§2．2．1双曲线的及其标准方程【学情分析】：学生已经学过椭圆，了解椭圆的定义，经历了根据椭圆的特征，建立适当的坐标系，能较熟练求椭圆的方程，也了解椭圆的简单的几何性质并能解决与椭圆的几何性质有关的问题。本节课将通过学生的自主探究、总结来进行教学。【教学目标】：知识与技能使学生掌握双曲线的定义、标准方程2、掌握焦点、焦点位置、焦距与方程关系，会求双曲线的标准方程；过程与方法理解双曲线标准方程的推导过程；认识双曲线的变化规律及与其系数之间的关系；情感态度与价值观通过运用双曲线标准方程解决一些实际问题，使学生充分认识数学的价值，习惯用数学的眼光解决生活中的数学问题。【教学重点】：双曲线的定义、标准方程【教学难点】：双曲线标准方程的推导过程【课前准备】：课件【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一．复习、引入1、椭圆的定义是什么？2、到两个定义距离之差是一个定长的点的轨迹是什么呢？通过复习引入，有利于学生在已有知识基础上开展学习；提出新问题，引发学习兴趣。二．实验1、如图2.2.1,取一条拉链进行实验，让学生观察点M的轨迹。2、问题：点M所满足的几何条件是什么？通过实验引导学生探究，整理实验，归纳抽象成数学问题。三．双曲线的定义的讲解1、投影：双曲线的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做焦距（一般用2c表示）常数一般用2表示。（讲解定义时要注意条件：）2、探索思考：若没有该条件所表示的图形会是怎样的？3、讨论：椭圆定义与双曲线定义有什么异同？1、明确双曲线的定义。抓住几个不变：两个定点；一个常数。2、通过对限制条件的探究，加深学生概念的理解。3、在与椭圆的对比中建立有关双曲线的知识结构。四．双曲线标准方程的推导1．提问：我们是如何建立坐标系求椭圆的标准方程的？探索：仿照求椭圆标准方程的方法，求双曲线的标准方程。2.引导学生推导双曲线的标准方程3.教师让学生板演双曲线的标准方程的推导过程，得到：4.类比椭圆的标准方程，令得双曲线的标准方程：（）说明：此方程表示的双曲线焦点在x轴上，焦点是F1（－c，0）、F2（c，0），其中c2=a2＋b2.5.问题：椭圆的标准方程有两种，双曲线是否也有两种呢？进一步得到：当焦点在y轴时，（）说明：此方程表示的双曲线焦点在y轴上，焦点是F1（0，－c），F2（0，c），其中c2=a2＋b2.1.充分利用学生学习椭圆的学习经验提高学生学习双曲线的学习效率2．通过反复与椭圆进行类比，既加强与已有知识联系，又找出与旧知识的不同之处，做到“同化”与“顺应”。五．例题1．例1：已经双曲线两个焦点分别为、，双曲线上一点P到、距离差的绝对值等于6,求双曲线的标准方程。分析：本题为根据双曲线的定义求标准方程解：设双曲线的标准方程为：（），因为，故，所以，因此，双曲线的标准方程为：由学生板演练习：教科书练习2．例2一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s.（1）爆炸点应在什么样的曲线上？（2）已知A、B两地相距800m，并且此时声速为340m/s，求曲线的方程.解（1）由声速及A、B两处听到爆炸声的时间差，可知A、B两处与爆炸点的距离的差，因此爆炸点应位于以A、B为焦点的双曲线上.因为爆炸点离A处比离B处更远，所以爆炸点应在靠近B处的一支上.（2）如图8—14，建立直角坐标系xOy，使A、B两点在x轴上，并且点O与线段AB的中点重合.设爆炸点P的坐标为（x,y），则即2a=680,a=340.又∴2c=800,c=400,b2=c2－a2=44400.∵∴x>0.所求双曲线的方程为：(x>0).思考1：该例表明，利用两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点所在的双曲线的方程，但不能确定爆炸点的准确位置.而现实生活中为了安全，我们最关心的则是爆炸点的准确位置，那么我们如何解决这个问题呢？如果再增设一个观测点C，利用B、C（或A、C）两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置.这是双曲线的一个重要应用.思考2：如果A、B两点同时听到爆炸声，说明爆炸点到A、B的距离相等，那么爆炸点应在怎样的曲线上？AB的中垂线。3．补充例题：已知动圆P与定圆C1：(x＋5)2＋y2＝49,C2：(x－5)2＋y2＝1都相切，求动圆圆心的轨迹的方程分析：外切有|PC1|＝7＋r,|PC2|＝1＋r，∴|PC1|－|PC2|＝6，内切有|PC1|＝r－7,|PC2|＝r－1，∴|PC2|－|PC1|＝6故点P的轨迹是双曲线x2/9－y2/16＝1双曲线标准方程的简单应用四、小结提问：我们已经学习了双曲线，双曲线是怎样的点的轨迹？双曲线的标准方程是怎样的？双曲线标准方程中a、b、c之间的关系是什么？你能通过它们求出双曲线的标准方程吗？五、作业教科书习题2.21、2、练习与测试：1．一动圆P过定点M（－4，0），且与已知圆N：(x－4)2＋y2＝16相切，求动圆圆心P的轨迹。分析：由题意，列出动圆圆心满足的几何条件，若能由此条判断出动点的轨迹是哪种曲线，则可直接求出其轨迹方程来内切时，定圆N在动圆P的内部，有|PC|＝|PM|－4，外切时，有|PC|＝|PM|＋4，故点P的轨迹是双曲线x2/4－y2/12＝1。2．已知动圆P与定圆C1：(x＋5)2＋y2＝49,C2：(x－5)2＋y2＝1都相切，求动圆圆心的轨迹的方程分析：外切有|PC1|＝7＋r,|PC2|＝1＋r，∴|PC1|－|PC2|＝6，内切有|PC1|＝r－7,|PC2|＝r－1，∴|PC2|－|PC1|＝6故点P的轨迹是双曲线x2/9－y2/16＝13．若，则“”是“方程表示双曲线”的()（A）充分不必要条件.（B）必要不充分条件.（C）充要条件.（D）既不充分也不必要条件.解析：应用直接推理和特值否定法．当k>3时，有k-3>0,k+3>0，所以方程表示双曲线；当方程表示双曲线时，k=-4是可以的，这不在k>3里．故应该选A．4．已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为,且焦距与虚轴长之比为，则双曲线的标准方程是____________________.解：双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为,则焦点在x轴上，且a=3，焦距与虚轴长之比为，即，解得，则双曲线的标准方程是5．若双曲线的渐近线方程为，它的一个焦点是，则双曲线的方程是__________.6．已知双曲线的两个焦点为，，P是此双曲线上的一点，且，，则该双曲线的方程是 （） A．B． C． D．答案：C7．“ab<0”是“曲线ax2+by2=1为双曲线”的 （）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件答案：C8．与双曲线－=1有公共焦点，且过点（3，2），求双曲线方程解：设双曲线方程为－=1由题意易求c=2又双曲线过点（3，2），∴－=1又∵a2+b2=（2）2，∴a2=12，b2=8故所求双曲线的方程为－=1

§2．2．2双曲线的简单的几何性质（1）【学情分析】：1、学生已经学过椭圆的几何性质，对椭圆的几何性质有所了解；2、学生已学习了双曲线的定义及标准方程并能较熟练地求双曲线的标准方程；本节课将通过学生的类比、归纳、探究，培养学生的观察问题、研究问题的能力。【教学目标】：知识与技能1、了解双曲线的简单的几何性质2、能运用双曲线的几何性质解决一些简单问题；过程与方法能从双曲线的标准方程出发，推导双曲线的几何性质；能抓住椭圆与双曲线几何性质的异同进行类比、归纳；3、培养学生运用数形结合的思想，用联想、类比、归纳的方法，提高解决问题的能力情感态度与价值观通过自主探究、讨论交流，培养学生良好的学习情感，激发学习数学的兴趣。【教学重点】：双曲线的简单几何性质的探究【教学难点】：双曲线的简单几何性质的探究【课前准备】：课件【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一．复习、引入1．双曲线的两种标准方程是什么？2.椭圆有哪些几何性质？请一同学回答．应为：范围、对称性、顶点、离心率等。展示椭圆的图形与其性质表格：附表1（右方单元格空）通过复习引入，有利于学生在已有知识基础上开展学习；提出新问题，引发学习兴趣。二．讨论探究1．问题：类比椭圆的性质，你认为双曲线应研究哪些性质？如何研究这些性质？2．引导学生类比椭圆的几何性质进行讨论探究，观察、归纳双曲线的几何性质，并进行简单的证明或说明理由。每种性质可让学生板演其推证过程或说明理由板演双曲线的几何性质，（让学生完成附表1右方单元格内容）教师重点讲解双曲线方程的基本量与双曲线的几何性质的关系；利用信息技术辅助演示，重点讲解双曲线的渐近线与离心率，讲解等轴双曲线的概念；5．讨论：椭圆与双曲线的几何性质有何异同？1．充分运用学生学习椭圆的经验2．通过学生观察、归纳再进一步验证，培养学生数形结合、归纳的数学思想。3．通过与椭圆进行比较，进一步加深学生对两种曲线的几何性质的了解。三．例题1．例3：求双曲线的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。分析：本题为巩固双曲线的几何性质解：化为标准方程可得：由此得：半实轴长，半虚轴长，焦点坐标为（0,－5）、（0,5）；离心率渐近线方程为：由学生板演2．练习：教科书练习1、2、33．例：与双曲线有共同的渐近线，且过点（－3，2），求双曲线方程解法一：（1）设双曲线的方程为－=1，由题意，得解得a2=，b2=4所以双曲线的方程为－=1解法二：（1）设所求双曲线方程为－＝λ（λ≠0），将点（－3，2）代入得λ＝，所以双曲线方程为－＝补充例题：P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆（x＋5）2＋y2＝4和（x－5）2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（）A.6B.7C.8D.9解：设双曲线的两个焦点分别是F1（－5，0）与F2（5，0），则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P与M、F1三点共线以及P与N、F2三点共线时所求的值最大，此时|PM|－|PN|＝（|PF1|－2）－（|PF2|－1）＝10－1＝9故选B双曲线的几何性质的简单应用四、小结1．提问：双曲线有什么几何性质？与基本量a、b、c、e之间的关系是什么？椭圆与双曲线的几何性质有什么异同？五、作业教科书习题2.23、4、5、6附表1：

椭圆双曲线定义|MF1|+|MF2|=2a，(2a＞|F1F2)|MF1|-|MF2|=2a图形标准方程范围|x|≤a，|y|≤b，(x，y都有限)|x|≥a，y∈R，(x，y都无限)对称性关于x轴，y轴，原点都对称关于x轴，y轴，原点都对称顶点(±a，0)，(0，±b)(±a，0)

椭

圆双曲线离心率渐近线无练习与测试：1．双曲线的渐近线方程是 （） A． B． C． D．答案：C２．双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则A．B．C．D．解：双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，∴m<0，且双曲线方程为，∴m=，选A.3．设P是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为、F2分别是双曲线的左、右焦点，若，则（C）A.1或5 B.6 C.7 D.94．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,2)=1(a>eq\r(2))的两条渐近线的夹角为eq\f(π,3),则双曲线的离心率为A.2B.eq\r(3)C.eq\f(2\r(6),3)D.eq\f(2\r(3),3)解：双曲线(a>eq\r(2))的两条渐近线的夹角为eq\f(π,3)，则，∴a2=6，双曲线的离心率为eq\f(2\r(3),3)，选D．5.双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，∠F1MF2=120°，则双曲线的离心率为（B）A.B.C.D.6.已知双曲线的两个焦点为，，P是此双曲线上的一点，且，，则该双曲线的方程是（C） A．B． C． D．7.曲线与曲线的(A)焦距相等(B)离心率相等(C)焦点相同(D)准线相同【解析】由知该方程表示焦点在x轴上的椭圆，由知该方程表示焦点在y轴上的双曲线，故只能选择答案A。8．双曲线的焦距是.答案：

§2．2．2双曲线的简单的几何性质（2）【学情分析】：1、学生已经学习了双曲线的几何性质，能理解双曲线的几何性质并能运用双曲线的几何性质解决一些简单的问题；2、学生已学习了双曲线的定义及标准方程，会熟练地求双曲线的标准方程；【教学目标】：知识与技能1、进一步了解双曲线的标准方程和简单的几何性质；2、能运用双曲线的几何性质解决一些简单问题；过程与方法1、能用坐标法解决一些与双曲线有关的简单的几何问题和实际问题，理解坐标法的思路与步骤；2、了解直线与双曲线的位置关系问题一般求解策略与技巧，进一步体会数形结合的思想；情感态度与价值观通过运用双曲线有关知识解决实际问题，使学生充分认识数学的价值，从而培养学生学习数学的兴趣。【教学重点】：双曲线的简单几何性质的运用【教学难点】：直线与双曲线的位置关系的求解技巧【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一．复习1．双曲线的两种标准方程是什么？2.双曲线的几何性质有哪些？范围、对称性、顶点、离心率等。通过复习，有利于学生在已有知识基础上开展学习；提出新问题，引发学习兴趣。二．例题、练习1．例4：双曲线型冷却塔的外型，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12，上口半径为13，下口半径为25，高55，试选择适当的坐标系，求出此双曲线方程（精确到1）解：如图建立直角坐标系，设双曲线方程为，C（13，y）,B(25,y-55),点B、C在双曲线上，解得所得双曲线方程为例5：点到定点F（5,0）的距离和它到定直线的距离的比是常数，求点M的轨迹分析：一般法求点的轨迹方程，教师可向学生简单介绍双曲线的第二定义；解：设是点M到直线的距离，根据题意，所求轨迹的集合就是：则：将上式两边平方，并化简，得：即：3．练习：教科书练习54.补充例题：（1）已知双曲线C：x2－=1，过点P（1，1）作直线l，使l与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有A.1条B.2条C.3条D.4条解析：数形结合法，与渐近线平行、相切.答案：D（2）若双曲线x2－y2＝1的右支上一点P（a，b）到直线y=x的距离为，则a+b的值为A－BC±D±2答案：B解析：P（a，b）点在双曲线上，则有a2－b2=1，即（a+b）（a－b）=1d==，∴|a－b|=2又P点在右支上，则有a>b，∴a－b=2∴|a+b|×2=1，a+b=6．练习：已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0）直线y=x－1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程是 （）ABCD答案:D解析设双曲线方程为分别代入双曲线方程并相减即可求解双曲线的几何性质的简单应用三、小结1．解与圆锥曲线有关的实际问题的步骤与方法是怎样的？解直线与圆锥曲线的位置关系问题的一般解题思路与方法是怎样的？五、作业教科书习题2.2B组1、2、3练习与测试：1．若双曲线的渐近线方程为，它的一个焦点是，则双曲线的方程是__________.答案：2．双曲线的左焦点为，为左支下半支上任意一点（异于顶点），则直线的斜率的变化范围是（目的：能够理解直线与双曲线的位置与双曲线的渐进线斜率有关）答案：解析：画出图形，利用数形结合法求解。3.设中心在原点的椭圆与双曲线2x2－2y2=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是_________________.解析：双曲线中，a==b，∴F（±1，0），e==.∴椭圆的焦点为（±1，0），离心率为∴长半轴长为，短半轴长为1.∴方程为+y2=1.4.（1）试讨论方程（1－k）x2+（3－k2）y2=4（k∈R）所表示的曲线；（2）试给出方程+=1表示双曲线的充要条件.解：（1）3－k2>1－k>0k∈（－1，1），方程所表示的曲线是焦点在x轴上的椭圆；1－k>3－k2>0k∈（－，－1），方程所表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆；1－k=3－k2>0k=－1，表示的是一个圆；（1－k）（3－k2）<0k∈（－∞，－）∪（1，），表示的是双曲线；k=1，k=－，表示的是两条平行直线；k=，表示的图形不存在.（2）由（k2+k－6）（6k2－k－1）<0（k+3）（k－2）（3k+1）（2k－1）<0k∈（－3，－）∪（，2）.5.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0）直线y=x－1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程是 （）ABCD答案:D解析设双曲线方程为分别代入双曲线方程并相减即可求解6.过双曲线(a＞0，b＞0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于_________．答案：２7.已知点，动点满足条件.记动点的轨迹为.（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）若是上的不同两点，是坐标原点，求的最小值.解：（1）依题意，点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，所求方程为：（x>0）当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为x＝x0，此时A（x0，），B（x0，－），＝2当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋b，代入双曲线方程中，得：（1－k2）x2－2kbx－b2－2＝0……1°依题意可知方程1°有两个不相等的正数根，设A（x1，y1），B（x2，y2），则解得|k|>1又＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋（kx1＋b）（kx2＋b）＝（1＋k2）x1x2＋kb（x1＋x2）＋b2＝>2综上可知的最小值为2设中心为O，正西的观测点为A，正东的观测点为B，正北的观测点为C，以O为原点建立直角坐标系，由已知巨响的位置M在AC的中垂线上，且在以A、B为焦点，实轴为1360的双曲线左支上，AC的中垂线：①双曲线：②解①②得∴巨响位于西北方向，距中心为68m。

§1.2.2基本初等函数和导数运算法则【学情分析】：上一节课已经学习了用导数定义这种方法计算这五个常见函数的导数,而且已经初步接触了导数加减运算法则.本节将继续介绍导数乘除运算法则.【教学目标】：（1）能用基本初等函数的导数公式和导数加减运算法则求简单函数的导数.(2)会用导数乘除运算法则求简单函数的导数.（3）加强学生对运算法则的理解与掌握，学会归纳与概括.【教学重点】：两个乃至多个函数四则运算的求导法则,复合函数的求导法则等，都是由导数的定义导出的，要掌握这些法则，须在理解的基础上熟记基本导数公式，从而会求简单初等函数的导数.【教学难点】：合理应用四则运算的求导法则简化函数的求导过程.【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图(1)复习常见函数导数以及加减运算法则.作业讲评及提问,回忆常见函数导数,以及加减运算法则并会解释导数实际意义.为课题引入作铺垫.(2)函数的导数?由导数,小结归纳:().课题引入.(3)介绍基本初等函数导数公式.展示两个例子计算过程,让学生体会根据定义求导数的方法.(4)教科书P14例1.自主阅读,交流分享.老师点评.展示指数函数导数公式的运用.(5)导数运算的乘法法则.法则2两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即法则介绍并解释.(6)例题选讲例1求的导数．例2y=3x2+xcosx，求导数y′.参考答案:1.,2.y′=6x+cosx+xsinx,让学生亲自动手,或板演,或提问.老师点评.熟练掌握导数运算法并灵活应用.(7)教科书P18练习2学生动手练笔,注意计算准确性.练习巩固(7)导数运算的除法法则.法则3两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方，即注：如果学生愿意计算,可分别令，，按定义进行推导证明,并展示结果,教师给予评价和点评出现的问题.也可以留做课后思考题由学生自己研究.教师指导学生分组进行探究性学习,分别展示研究结论,教师分析点评并小结.学生通过尝试证明,可以加深对乘除法则的认识.(8)例题选讲例3求y=在点x=3处的导数.例4求y=·cosx的导数.例5.教科书P18例3.参考答案:3.4.(两种解法)5.注意运用数学结果解释其实际意义.学生板演,教师巡堂;(2)小结点评更正;(3)教师展示.综合运用导数公式和运算法则计算导数.进一步理解导数的内涵,体会导数的应用性.(11)课堂小结(1)基本初等函数的导数:(2)导数运算法则法则1．法则2,.法则3(12)作业布置:教科书P13探究二;P18A组4(1)-(5),6,7练习与测试:求下列函数的导数：(1)(2)(3)y=tanx(4)2.求函数的导数.(1)y=2x3+3x2－5x+4(2)y=sinx－x+1(3)y=(3x2+1)(2－x)(4)y=(1+x2)cosx3.填空：(1)［(3x2+1)(4x2－3)］′=()(4x2－3)+(3x2+1)()(2)(x3sinx)′=()x2sinx+x3()4.判断下列求导是否正确，如果不正确，加以改正.［(3+x2)(2－x3)］′=2x(2－x3)+3x2·(3+x2)5.y=3x2+xcosx，求导数y′.6.y=5x10sinx－2cosx－9，求y′.参考答案：1.(1)y′′;(2)y′′;(3)y′=(tanx)′=()′;(4)y′′＝.2.(1)(2x3+3x2-5x+4)′=(2x3)′+(3x2)′-(5x)′+4′=2·3x2+3·2x-5=6x2+6x-5(2)y′=(sinx－x+1)′=(sinx)′－x′+1′=cosx－1(3)y′=［(3x2+1)(2－x)］′=(3x2+1)′(2－x)+(3x2+1)(2－x)′=3·2x(2－x)+(3x2+1)(－1)=－9x2+12x－1(4)y′=［(1+x2)cosx］′=(1+x2)′cosx+(1+x2)(cosx)′=2xcosx+(1+x2)(－sinx)=2xcosx－(1+x2)sinx3.(1)［(3x2+1)(4x2－3)］′=(3x2+1)′(4x2－3)+(3x2+1)(4x2－3)′=3·2x(4x2－3)+(3x2+1)(4·2x)=(6x)(4x2－3)+(3x2+1)(8x)(2)(x3sinx)′=(x3)′sinx+x3(sinx)′=(3)x2sinx+x2(cosx)4.不正确.［(3+x)2(2－x3)］′=(3+x2)′(2－x3)＋(3＋x2)(2－x3)′=2x(2－x3)+(3+x2)(－3x2)=2x(2－x3)－3x2(3+x2)5.y′=(3x2+xcosx)′=(3x2)′+(xcosx)′=3·2x+x′cosx+x(cosx)′=6x+cosx+xsinx6.y′=(5x10sinx－2cosx－9)′=(5x10sinx)′－(2cosx)′－9′=5·10x9sinx+5x10cosx－(·cosx－2sinx)=50x9sinx+5x10cosx－cosx+2sinx=(50x9+2)sinx+(5x10－)cosx

§2.3.1抛物线及其标准方程【学情分析】：学生已经学习过椭圆和双曲线，掌握了椭圆和双曲线的定义。经历了根据椭圆和双曲线的几何特征，建立适当的直角坐标系，求椭圆和双曲线标准方程的过程。【教学目标】：（1）知识与技能：掌握抛物线定义和抛物线标准方程的概念；能根据抛物线标准方程求焦距和焦点，初步掌握求抛物线标准方程的方法。（2）过程与方法：在进一步培养学生类比、数形结合、分类讨论和化归的数学思想方法的过程中，提高学生学习能力。（3）情感、态度与价值观：培养学生科学探索精神、审美观和理论联系实际思想。【教学重点】：抛物线的定义和抛物线的标准方程。【教学难点】：（1）抛物线标准方程的推导；（2）利用抛物线的定义及其标准方程的知识解决实际问题。【课前准备】：Powerpoint或投影片【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一、复习引入抛物线的定义1.椭圆的定义：平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数（）的点的轨迹.2．双曲线的定义：平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数（）的点的轨迹.3．思考：与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆，当e>1时是双曲线．那么，当e＝1时它是什么曲线呢？抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线l的距离相等的点的轨迹。点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．学生已经学过椭圆和双曲线是如何形成的。通过类似的方法，让学生了解抛物线的形成，从而理解并掌握抛物线的定义。二、建立抛物线的标准方程如图，建立直角坐标系xOy，使x轴经过点F且垂直于直线l，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合．设,则焦点F的坐标为（，0），准线的方程为．设点M(x，y)是抛物线上任意一点，点M到l的距离为d．由抛物线的定义，抛物线就是点的集合．∵；d=． ∴．化简得：．注：叫做抛物线的标准方程．它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴，坐标是，准线方程是．探究：抛物线的标准方程有哪些不同的形式？请探究之后填写下表。根据抛物线的定义，让学生逐步填空，推出抛物线的标准方程。通过填空，让学生牢固掌握抛物线的标准方程。三、例题讲解例1求适合下列条件的抛物线的标准方程(1)过点(-3,2)；(2)焦点在直线x-2y-4=0。分析：根据已知条件求出抛物线的标准方程中的p即可，注意标准方程的形式。解：（1）设抛物线方程为y2=-2px或x2=2py(p>0),则将点(-3,2)方程得或。

∴所求的抛物线方程为

（2）令ｘ＝０，由方程x-2y-4=0的ｙ=-2.∴抛物线的焦点为F(0,-2).设抛物线方程为x2=2py。则由得,∴所求的抛物线方程为x2=-8y或令y=0由x-2y-4=0得x=4,∴抛物线焦点为Ｆ(4,0)

.设抛物线方程为y2=2px。则由得,∴所求的抛物线方程为y2=16x

注意：本题是用待定系数法来解的，要注意解题方法与技巧。例2已知抛物线的标准方程，求焦点坐标和准线方程。

(1)y2=6x；

(2)y=ax2.分析：先写成标准方程，再求焦点坐标和准线方程。解：（1）由抛物线方程得焦点坐标为,准线方程是（2）将抛物线方程化为标准方程，则焦点坐标为，准线方程为

例3已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点M（-3，m）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值。分析：解本题的基本思路有两个，其一设抛物线方程，利用点M在抛物线上和点M到焦点的距离等于5，列出关于m、p的方程组，解关于m、p的方程组；其二利用抛物线的定义，得点M到准线的距离为5，直接得p的关系式，求出p的值。为了让学生熟悉抛物线标准方程而设置的。解：（方法一）设抛物线方程为y2=-2px(p>0),则焦点，由题设可得，解之得或.故所求的抛物线方程为y2=-8x，ｍ的值为（方法二）由抛物线的定义可知，点M到准线的距离为5，∵M的坐标为（-3，m），∴,∴p=4，故所求的抛物线方程为y2=-8x，ｍ的值为四、巩固练习1．选择：⑴若抛物线y2=2px(p<0)上横坐标为-6的点到焦点的距离是10,则焦点到准线的距离是(B)A、4B、8C、16D、32⑵过抛物线的焦点作直线交抛物线于,若,那么等于(B)A.10B.8C.6D.4⑶已知点F是抛物线的焦点,M是抛物线上的动点。当最小时，M点的坐标是(C)A.B.C.D.2．填空：⑴抛物线y2=12x上与焦点的距离等于9的点的坐标是；⑵抛物线y2=2px（p＞0）上一点M到焦点的距离是a（a>），则点M到准线的距离是_a_，点M的横坐标是．四、巩固练习3．(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程；(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0，－2)，求它的标准方程．线的标准方程是x2=－8y．4．已知点M与点F（4，0）的距离比它到直线L：x+5=0的距离小1，求点M的轨迹方程。分析：根据抛物线的定义可知，动点M的轨迹是以F为焦点，直线x+4=0为准线的抛物线。

又由焦点位置可得，所求的点的轨迹方程是抛物线的标准方程。

解：如图8-20所示，设点M的坐标为M(x,y),则由已知条件得“点M与点F（4，0）的距离比它到直线L：x+5=0的距离小1”，就是“点M与点F（4，0）的距离等于它到直线L：x+4=0的距离”，根据抛物线的定义可知，动点M的轨迹是以F为焦点M，直线x+4=0为准线的抛物线，且

∴所求的抛物线方程为y2=16x.围绕抛物线标准方程练习，让学生熟练掌握抛物线的定义和标准方程。五、课后练习1.(浙江)函数y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝(B)(A)(B)(C)(D)12.（上海）过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（B）(A)有且仅有一条(B)有且仅有两条(C)有无穷多条(D)不存在3.抛物线上一点的纵坐标为4，则点与抛物线焦点的距离为(D)(A)2 (B)3 (C)4(D)54.（江苏卷）抛物线y=4上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是(B)(A)(B)(C)(D)05．求经过点A（2，－3）的抛物线的标准方程：分析：抛物线的标准方程中只有一个参数p，因此，只要确定了抛物线属于哪类标准形式，再求出p值就可以写出其方程，但要注意两解的情况解：经过点A（2，－3）的抛物线可能有两种标准形式：y2＝2px或x2＝－2py．（如图）点A（2，－3）坐标代入，即9＝4p，得2p＝点A（2，－3）坐标代入x2＝－2py，即4＝6p，得2p＝∴所求抛物线的标准方程是y2＝x或x2＝－y6.点M与点F（4，0）的距离比它到直线l：x＋5＝0的距离小1，求点M的轨迹方程．分析：画出示意图2-14可知原条件M点到F（4，0）和到x＝－4距离相等，由抛物线的定义，点M的轨迹是以F（4，0）为焦点，x＝－4为准线的抛物线．所求方程是y2＝16x．根据学生情况分层布置作业。练习与测试：（说明：题目6个（以上）——其中基础题4个，难题2个；每个题目应该附有详细解答）1．选择题（1）已知抛物线方程为y＝ax2（a＞0），则其准线方程为（D）(A)(B)(C)(D)（2）抛物线（m≠0）的焦点坐标是（B）(A)（0，）或（0，）(B)（0，）(C)（0，）或（0，）(D)（0，）（3）焦点在直线3x－4y－12＝0上的抛物线标准方程是（C）(A)y2＝16x或x2＝16y(B)y2＝16x或x2＝12y(C)x2＝－12y或y2＝16x(D)x2＝16y或y2＝－12x2．根据下列条件写出抛物线的标准方程（1）过点（－3，4）（2）过焦点且与x轴垂直的弦长是16解：（1）或（2）y2＝±16x3．点M到点（0，8）的距离比它到直线y＝－7的距离大1，求M点的轨迹方程．解：x2＝32y4．已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆C:x2+(y+3)2=1外切，求动圆圆心M的轨迹方程。

分析：设动圆圆心为M(x,y),半径为r，则由题意可得M到C（0，-3）的距离与到直线y=3的距离相等，则动圆圆心的轨迹是一条抛物线，其方程易求。

解：设动圆圆心为M(x,y),半径为r，则由题意可得M到C（0，-3）的距离与到直线y=3的距离相等，则动圆圆心的轨迹是以C（0，-3）为焦点，y=3为准线的一条抛物线，其方程为x2=-12y。

变题：（1）已知动圆M与y轴相切，且与定圆C:x2+y2=2ax(a>0)外切，求动圆圆心M的轨迹方程。

（2）已知动圆M与y轴相切，且与定圆C:x2+y2=2ax(a>0)相切，求动圆圆心M的轨迹方程。

解：（1）当x<0时，y=0；当x≥0时，y2=4ax。

（2）本题可分外切时，当x<0时，y=0；当x≥0时，y2=4ax。内切时当x≥0时，y=0(x≠a);当x<0时，y2=4ax。

§2.3.2抛物线的几何性质（１）【学情分析】：由于学生具备了曲线与方程的部分知识，掌握了研究解析几何的基本方法，因而利用已有椭圆与双曲线的知识，引导学生独立发现、归纳知识，指导学生在实践和创新意识上下工夫，训练基本技能。【教学目标】：（1）知识与技能：熟练掌握抛物线的范围，对称性，顶点，准线，离心率等几何性质。（2）过程与方法：重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考。（3）情感、态度与价值观：培养严谨务实，实事求是的个性品质和数学交流合作能力，以及勇于探索，勇于创新的求知意识，激发学生学习数学的兴趣与热情。【教学重点】：熟练掌握抛物线的范围，对称性，顶点，准线，离心率等几何性质。【教学难点】：熟练掌握抛物线的范围，对称性，顶点，准线，离心率等几何性质及其应用。【课前准备】：Powerpoint或投影片【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一、复习引入1．已知抛物线的焦点坐标是F(0，－2)，求它的标准方程．解：焦点在x轴负半轴上，=2，所以所求抛物线的标准方程是2.填空：动点M与定点F的距离和它到定直线的距离的比等于e，则当0＜e＜1时，动点M的轨迹是椭圆；当e=1时，动点M的轨迹是抛物线；当e＞1时，动点M的轨迹是双曲线．曲线椭圆双曲线方程图形焦点F曲线椭圆双曲线方程图形焦点F1(-c,0)F2(c,0)F1(-c,0)F2(c,0)范围|x|≤a,|y|≤b|x|≥a,y∈R对称性中心、轴对称中心、轴对称顶点A1,A2,B1,B2A1(-a,0),A2(a,0)离心率e∈(0,1)e∈(1,+∞)准线x=±a2/cx=±a2/c渐近线无y=±(b/a)xxyoABFxyoABFxyoABFxyxyoF1F2L1L2xyoF1F2L1L2通过离心率的填空引出抛物线。引起学生的兴趣。二、抛物线的几何性质类比研究归纳抛物线的几何性质：曲曲线抛物线方程y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py图形焦点F(p/2,0)F(-p/2,0)F(0,p/2)F(0,-p/2)范围x≥0x≤0y≥0y≤0对称轴x轴x轴y轴y轴顶点O(0,0)O(0,0)O(0,0)O(0,0)离心率e=1e=1e=1e=1准线x=-p/2x=p/2y=-p/2y=p/2渐近线无无无无引导学生填写表格。通过对比，让学生掌握抛物线的四种图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程。三、例题讲解例1已知抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点A（4,2），求这条抛物线的准线方程。解：⑴若抛物线开口向右，设抛物线的标准方程为∵∴∴抛物线的标准方程为⑵若抛物线开口向上，设抛物线的标准方程为∵∴∴抛物线的标准方程为例2汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线焦点处。已知灯口的直径是24cm，灯深10cm，那么灯泡与反射镜的顶点距离是多少？让学生运用抛物线的几何性质，写出符合条件的抛物线的准线方程。三、例题讲解分析：依标准方程特点和几何性质建系，由待定系数法求解，强调方程的完备性。解：如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，轴垂直于灯口直径．抛物线的标准方程为，由已知条件可得点的坐标是（40，30）且在抛物线上，代入方程得：，所以所求抛物线的标准方程为，焦点坐标是.例3过抛物线的焦点F任作一条直线m，交这抛物线于A、B两点，求证：以AB为直径的圆和这抛物线的准线相切．分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷．证明：如图．设AB的中点为E，过A、E、B分别向准线引垂线AD，EH，BC，垂足为D、H、C，则｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜∴｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝｜AD｜＋｜BC｜＝2｜EH｜所以EH是以AB为直径的圆E的半径，且EH⊥l，因而圆E和准线相切．运用抛物线的几何性质解决现实生活中的问题，提高学生学习数学的兴趣和综合解题能力。四、巩固练习1．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，那么=（B）（A）10（B）8（C）6（D）42．已知为抛物线上一动点，为抛物线的焦点，定点，则的最小值为（B）（A）3（B）4（C）5（D）63．过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，若线段、的长分别是、，则=（C）（A）（B）（C）（D）4．过抛物线焦点的直线它交于、两点，则弦的中点的轨迹方程是5.定长为的线段的端点、在抛物线上移动，求中点到轴距离的最小值，并求出此时中点的坐标（答案：,M到轴距离的最小值为）6.已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(-3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．解法一：由焦半径关系，设抛物线方程为y2=-2px(p＞0)，则准线方因为抛物线上的点M(-3，m)到焦点的距离|MF|与到准线的距离得p=4．因此，所求抛物线方程为y2=-8x．又点M(-3，m)在此抛物线上，故m2=-8(-3)．解法二：由题设列两个方程，可求得p和m．由题意在抛物线上且|MF|=5，故分层训练，让学生牢牢掌握抛物线的几何性质。由学生演板．五、课后练习1．根据下列条件，求抛物线的方程，并画出草图．（1）顶点在原点，对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于8．（2）顶点在原点，焦点在y轴上，且过P（4，2）点．（3）顶点在原点，焦点在y轴上，其上点P（m，－3）到焦点距离为5．2．过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在准线上的射影是A2，B2，则∠A2FB2等于3．抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长为16，求抛物线方程．4．以椭圆的右焦点，F为焦点，以坐标原点为顶点作抛物线，求抛物线截椭圆在准线所得的弦长．5．有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶4米时，水面宽40米，当水面下降1米时，水面宽是多少米？6．已知抛物线关于x轴对称，顶点在坐标原点,其上一点M(2,m)到焦点的距离等于3,求抛物线方程及m值。习题答案：1．（1）y2＝±32x （2）x2＝8y （3）x2＝－8y 2．90°3．x2＝±16y 4．5．米6．y2=4x,m=或课后练习注意分层训练，让学生牢牢掌握抛物线的几何性质。练习与测试：1.求适合下列条件的抛物线的方程：（1）顶点在原点，焦点为（0，5）；（2）对称轴为x轴，顶点在原点，且过点（-3，4）。2.若P（x0，y0）是抛物线y2=-32x上一点，F为抛物线的焦点，则PF=（）。（A）x0+8（B）x0-8（C）8-x0（D）x0+163.一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2m时，水面宽4m，若水面下降1m，求水面宽度。4.已知抛物线关于x轴为对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，求它的标准方程．解：由题意，可设抛物线方程为，因为它过点，所以，即因此，所求的抛物线方程为．5.探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯的圆的直径60cm，灯深为40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置．分析：这是抛物线的实际应用题，设抛物线的标准方程后，根据题设条件，可确定抛物线上一点坐标，从而求出p值．解：如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x轴垂直于灯口直径．设抛物线的标准方程是(p＞0)．由已知条件可得点A的坐标是(40，30)，代入方程，得，即所求的抛物线标准方程为．

§2.3.２抛物线的几何性质（２）【学情分析】：由于学生具备了曲线与方程的部分知识，掌握了研究解析几何的基本方法，因而利用已有椭圆与双曲线的知识，引导学生独立发现、归纳知识，指导学生在实践和创新意识上下工夫，训练基本技能。【教学目标】：（1）知识与技能：熟练掌握抛物线的范围，对称性，顶点，准线，离心率等几何性质；掌握直线与抛物线位置关系等相关概念及公式。（2）过程与方法：重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考。（3）情感、态度与价值观：培养严谨务实，实事求是的个性品质和数学交流合作能力，以及勇于探索，勇于创新的求知意识，激发学生学习数学的兴趣与热情。【教学重点】：抛物线的几何性质及其运用。【教学难点】：抛物线几何性质的运用。【课前准备】：Powerpoint或投影片【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一、复习引入曲曲线抛物线方程y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py图形焦点F(p/2,0)F(-p/2,0)F(0,p/2)F(0,-p/2)范围x≥0x≤0y≥0y≤0对称轴x轴x轴y轴y轴顶点O(0,0)O(0,0)O(0,0)O(0,0)离心率e=1e=1e=1e=1准线x=-p/2x=p/2y=-p/2y=p/2渐近线无无无无将基本公式用填空的形式巩固。二、知识准备设圆锥曲线C∶f(x，y)=0与直线l∶y=kx+b相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则弦长|AB|为：或二、例题讲解例1．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，求这个正三角形的边长．分析：观察图，正三角形及抛物线都是轴对称图形，如果能证明x轴是它们公共的对称轴，则容易求出三角形边长．解：如图，设正三角形OAB的顶点A、B在抛物线上，且坐标分别为、，则，又|OA|＝|OB|，所以即∵，∴．由此可得，即线段AB关于x轴对称．因为x轴垂直于AB，且∠AOx＝30°，所以所以，例2．过抛物线y＝的焦点作倾斜角为α的直线l与抛物线交于A、B两点，且|AB|=8，求倾斜角α．解：抛物线标准方程为x2＝－4y，则焦点F（0,-1）⑴当α＝90°时，则直线l：x＝0（不合题意，舍去）⑵当α≠90°时，设k＝tanα，则直线l：y+1＝kx；即y=kx-1．与x2＝－4y联立，消去y得：x2＋4kx-4=0则x1+x2=－4k；x1x2=－4；∴＝∴=＝4（1+k2）＝8∴k＝±1∴α＝45°或135°圆锥曲线的弦长求法二、例题讲解例3．已知抛物线方程为，直线过抛物线的焦点F且被抛物线截得的弦长为3，求p的值．解：设与抛物线交于 由弦长公式|AB|===3则有由 从而由于p>0，解得圆锥曲线的中点弦问题三、巩固练习1．若正三角形一顶点在原点，另外两点在抛物线y2=4x上，求此正三角形的边长。（答案：边长为8）2．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，求正三角形外接圆的方程分析：依题意可知圆心在轴上，且过原点，故可设圆的方程为：，又∵圆过点，∴所求圆的方程为3．已知抛物线,过点(4,1)引一弦,使它恰在这点被平分,则此弦所在直线方程为解析:设直线与抛物线交点为则,4．已知直线与抛物线相交于、两点，若，（为原点）且，求抛物线的方程（答案：）5．顶点在坐标原点，焦点在轴上的抛物线被直线截得的弦长为，求抛物线的方程（答案：或）四、课后练习1．斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段AB的长．解：如图，由抛物线的标准方程可知，抛物线焦点的坐标为F(1，0)，所以直线AB的方程为y=x-1①与y2=4x②联立，解得：将x1、x2的值代入方程①中，得即A、B的坐标分别为、2．已知抛物线与直线相交于、两点，以弦长为直径的圆恰好过原点，求此抛物线的方程（答案：）3.已知的三个顶点是圆与抛物线的交点，且的垂心恰好是抛物线的焦点，求抛物线的方程（答案：）4．已知直角的直角顶点为原点，、在抛物线上，（1）分别求、两点的横坐标之积，纵坐标之积；（2）直线是否经过一个定点，若经过，求出该定点坐标，若不经过，说明理由；（3）求点在线段上的射影的轨迹方程答案：（1）；；（2）直线过定点（3）点的轨迹方程为5．已知直角的直角顶点为原点，、在抛物线上，原点在直线上的射影为，求抛物线的方程（答案：）练习与测试：1．顶点在原点，焦点在y轴上，且过点P（4，2）的抛物线方程是（）(A)x2＝8y(B)x2＝4y(C)x2＝2y(D)2．抛物线y2＝8x上一点P到顶点的距离等于它们到准线的距离，这点坐标是(A)（2，4）(B)（2，±4）(C)（1，）(D)（1，±）3．直线过抛物线的焦点,并且与轴垂直,若被抛物线截得的线段长为4,则()A.4B.2C.D.4．抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长等于8，则抛物线方程为5．抛物线y2＝－6x，以此抛物线的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是6．以双曲线的右准线为准线，以坐标原点O为顶点的抛物线截双曲线的左准线得弦AB，求△OAB的面积．7．已知抛物线与直线相交于A、B两点,①求证;; ②当的面积等于时,求的值.测试题答案：1．A 2．D3．A4．x2＝±8y 5．6．7．解析(证明):设;,由A,N,B共线,又③②由得

§1.2.3复合函数的导数【学情分析】：在学习了用导数定义这种方法计算常见函数的导数,而且已经熟悉了导数加减运算法则后.本节将继续介绍复合函数的求导方法.【教学目标】：(1)理解掌握复合函数的求导法则.(2)能够结合已学过的法则、公式，进行一些复合函数的求导(3)培养学生善于观察事物，善于发现规律，认识规律，掌握规律，利用规律．【教学重点】：简单复合函数的求导法则，也是由导数的定义导出的，要掌握复合函数的求导法则，须在理解复合过程的基础上熟记基本导数公式，从而会求简单初等函数的导数并灵活应用.【教学难点】：复合函数的求导法则的导入,复合函数的结构分析,可多配例题,让学生对求导法则有一个直观的了解.【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图(1)复习常见函数导数以及四则运算.作业讲评及提问,回忆常见函数的导数公式和导数四则运算,会解释导数实际意义.为课题引入作铺垫.(2)教科书P16思考题如何求函数的导数?开门见山提出问题.(3)复合函数的定义.(1)复合函数的定义.(2)比较复合函数与基本初等函数的异同?直接给出定义,并与基本初等函数相区别和联系.(4)例题选讲例1试说明下列函数是怎样复合而成的？(1)；⑵；⑶⑷．例2写出由下列函数复合而成的函数：⑴，；⑵，．允许讨论,允许提问,允许争论,允许修正,允许置疑.老师点评.说明：讨论复合函数的构成时，“内层”、“外层”函数一般应是基本初等函数，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等．例3.求函数的导数.能否用学过四则运算解决问题?(2)新方法：将函数看作是函数和函数复合函数，并分别求对应变量的导数如下：，两个导数相乘，得，从而有对于一般的复合函数，结论也成立，以后我们求y′x时，就可以转化为求yu′和u′x的乘积，关键是找中间变量，随着中间变量的不同，难易程度不同.(3)能否用方法(2)解决(2)教科书P16思考题:如何求函数的导数?(4)学生动手,可板演,可用实物投影仪讲评.两种方法作对照与比较,体会不同的解决方法与策略.鼓励学生模仿并及时修正.(6)自学教科书P17例4.学生自学,教师巡堂并答疑.在摸索中熟悉.(7)例4:求y=sin2(2x+)的导数.分析:设u=sin(2x+)时，求，但此时u仍是复合函数，所以可再设v=2x+.解略.必要时老师应板书详细过程.(8)课堂练习：1．求下列函数的导数(先设中间变量，再求导).(1)y=(5x－3)4(2)y=(2+3x)5(3)y=(2－x2)3(4)y=(2x3+x)2(1)20(5x－3)3(2)15(2+3x)4(3)－6x(2－x2)2(4)24x5+16x3+2x可板演，可小测。核对答案、讲评并小结.巩固提高.(10)课堂小结⑴复合函数求导，要注意分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数分解成为较简单的函数，然后再用复合函数的求导法则求导；⑵复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代.(11)作业布置:教科书P18A3,4(6),8,B3练习与测试:1．填空：(1)；(2)2.求下列函数的导数：(1)y=(2)y=(3)y=tanx(4)y=3.判断下列求导是否正确，如果不正确，加以改正.4.求y=的导数.5.求y=的导数.6.求函数y=(2x2－3)的导数.参考答案:1．(1)∵(2)2.(1)y′=()′(2)y′=()′(3)y′=(tanx)′=()′(4)y′=()′＝3.不正确，分母未平方，分子上正负号弄错.4.y′=()′5.y′=()′5.y′=()′6.分析:y可看成两个函数的乘积，2x2－3可求导，是复合函数，可以先算出对x的导数.令y=uv，u=2x2－3，v=,令v=，ω=1+x2=(1+x2)x′=∴yx′=(uv)x′=ux′v+uvx′=(2x2－3)x′·+(2x2－3)·=4x即yx′=.

§1．3．1函数的单调性与导数（1课时）【学情分析】：高一学过了函数的单调性，在引入导数概念与几何意义后，发现导数是描述函数在某一点的瞬时变化率。在此基础上，我们发现导数与函数的增减性以及增减的快慢都有很紧密的联系。本节内容就是通过对函数导数计算，来判定可导函数增减性。【教学目标】：（1）正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；（2）掌握利用导数判断函数单调性的方法（3）能够利用导数解释实际问题中的函数单调性【教学重点】：利用导数判断函数单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图情景引入过程从高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数：分析运动动员的运动过程：上升→最高点→下降运动员瞬时速度变换过程：减速→0→加速从实际问题中物理量入手学生容易接受实际意义向函数意义过渡从函数的角度分析上述过程：先增后减由正数减小到0，再由0减小到负数将实际的量与函数及其导数意义联系起来，过渡自然，突破理解障碍引出函数单调性与导数正负的关系通过上述实际例子的分析，联想观察其他函数的单调性与其导数正负的关系进一步的函数单调性与导数正负验证，加深两者之间的关系我们能否得出以下结论：在某个区间（a,b）内，如果，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增；如果，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减答案是肯定的从导数的概念给出解释表明函数在此点处的切线斜率是由左下向右上，因此在附近单调递增表明函数在此点处的切线斜率是由左上向右下，因此在附近单调递减所以，若，则，f(x)为增函数同理可说明时，f(x)为减函数用导数的几何意义理解导数正负与单调性的内在关系，帮助理解与记忆导数正负与函数单调性总结若y=f(x)在区间（a,b）上可导，则（1）在（a,b）内，y=f(x)在（a,b）单调递增（2）在（a,b）内，y=f(x)在（a,b）单调递减抽象概括我们的心法手册（用以指导我们拆解题目）例题精讲1、根据导数正负判断函数单调性教材例1在教学环节中的处理方式：以学生的自学为主，可以更改部分数据，让学生动手模仿。小结：导数的正负→函数的增减→构建函数大致形状提醒学生观察的点的图像特点（为下节埋下伏笔）丢出思考题：“”的点是否一定对应函数的最值（由于学生尚未解除“极值”的概念，暂时还是以最值代替）例题处理的目标就是为达到将“死结论”变成“活套路”2、利用导数判断函数单调性以及计算求函数单调区间教材例2在教学环节中的处理方式：可以先以为例回顾我们高一判断函数单调性的定义法；再与我们导数方法形成对比，体会导数方法的优越性。引导学生逐步贯彻落实我们之前准备的“心法手册”判断单调性→计算导数大小→能否判断导数正负→Y，得出函数单调性；→N，求“导数大于（小于）0”的不等式的解集→得出单调区间补充例题：已知函数y=x+，试讨论出此函数的单调区间.解：y′=(x+)′=1－1·x－2=令＞0.解得x＞1或x＜－1.∴y=x+的单调增区间是(－∞，－1)和(1，+∞).令＜0，解得－1＜x＜0或0＜x＜1.∴y=x+的单调减区间是(－1，0)和(0，1)要求根据函数单调性画此函数的草图3、实际问题中利用导数意义判断函数图像教材例3的处理方式：可以根据课程进度作为课堂练习处理同时还可以引入类似的练习补充（如学生上学路上，距离学校的路程与时间的函数图像）堂上练习教材练习2——由函数图像写函数导数的正负性教材练习1——判断函数单调性，计算单调区间针对教材的三个例题作知识强化练习内容总结体会导数在判断函数单调性方面的极大优越性体会学习导数的重要性课后练习：1、函数的递增区间是（）ABCD答案C对于任何实数都恒成立2、已知函数在上是单调函数,则实数的取值范围是（）ABCD答案B在恒成立，3、函数单调递增区间是（）ABCD答案C令4、对于上可导的任意函数，若满足，则必有（）ABCD答案C当时，，函数在上是增函数；当时，，在上是减函数，故当时取得最小值，即有得5、函数的单调增区间为，单调减区间为___________________答案6、函数的单调递增区间是___________________________答案7、已知的图象经过点，且在处的切线方程是（1）求的解析式；（2）求的单调递增区间解：（1）的图象经过点，则，切点为，则的图象经过点得（2）单调递增区间为

§3.1.1空间向量及加减其运算【学情分析】：向量是一种重要的数学工具，它不仅在解决几何问题中有着广泛的应用，而且在物理学、工程科学等方面也有着广泛的应用。在人教A版必修四中，读者已经认知了平面向量，现在，学习空间向量时要注意与平面向量的类比，体会空间向量在解决立体几何问题中的作用。【教学目标】：（1）知识与技能：理解和掌握空间向量的基本概念，向量的加减法（2）过程与方法：通过高一学习的平面向量的知识，引申推广，理解和掌握向量的加减法（3）情感态度与价值观：类比学习，注重类比、推广等思想方法的学习，运用向量的概念和运算解决问题，培养学生的开拓创新能力。【教学重点】：空间向量的概念和加减运算【教学难点】：空间向量的应用【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一．情景引入一块均匀的正三角形的钢板所受重力为500N，在它的顶点处分别受力F，F，F，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的夹角都是60，且|F|=|F|=|F|=200N，这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动？这三个力至少多大时，才能提起这块钢板？八抬大轿中每个轿夫对轿子的支持力具有怎样的特点？？从实际生活的例子出发，使学生对不共面的向量有一个更深刻的认识。说明不同在一个平面内的向量是随处可见的。二．新旧知识比较让我们将以前学过的向量的概念和运算回顾一下，看它们是只限于平面上呢？还是本来就适用于空间中。请学生自行阅读空间向量的相关概念：空间向量定义、模长、零向量、单位向量、相反向量、相等向量。请学生比较与平面向量的异同。向量概念的关键词是大小和方向，所以它应既适用于平面上的向量，也适合于空间中的向量，二者的区别仅仅在于：在空间中比平面上有更多的不同的方向。因此平面几何中的向量概念和知识就可以迁移到空间图形中。（1）空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量。通过比较，既复习了平面向量的基本概念，又加强了对空间向量的认识，注重类比学习，提高学生举一反三的能力。三．类比推广、探求新知如图，对于空间任何两个向量，可以从空间任意一点O出发作，即用同一平面内的两条有向线段来表示（2）在平面图形中向量加减法的可以通过三角形和平行四边形法则，同样对于空间任意两个向量都看作同一平面内的向量，它们的加法、减法当然都可以按照平面上的向量的加法和减法来进行，不需要补充任何新的知识，具体做法如下：让学生知道，数学中研究的向量是自由向量，与向量的起点无关，这是数学中向量与物理中矢量的最大区别。如图，可以从空间任意一点O出发作，并且从出发作，则.探索1：空间三个以上的非零向量能否平移至一个明面上？探索2：多个向量的加法能否由两个向量的加法推广？思考《选2-1》课本P85探究题归纳：向量加（减）法满足交换律和结合律。空间三个或更多的向量相加，不能同时将这些向量都用同一个平面上的有限线段来表示，但仍然可以用将它们依次用首尾相接的有向线段来表示，得到它们的和。比如：三个向量的和,一般地,空间中多个依次用首尾相接的有向线段相加的结果等于起点和终点相连的有向线段。我们常常把向量的这种性质简称为“封口向量”。四．练习巩固1．课本P86练习1-32．如图，在三棱柱中，M是的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：（1）;（2）;（3）解：（1）（2）（3）巩固知识，注意区别加减法的不同处.五．小结1．空间向量的概念：2．空间向量的加减运算反思归纳六．作业课本P97习题3.1，A组第1题（1）、（2）练习与测试：（基础题）1．举出一些实例，表示三个不在同一平面的向量。2．说明数字0与空间向量0的区别与联系。答：空间向量0有方向，而数字0没有方向；空间向量0的长度为0。3．三个向量a,b,c互相平行，标出a+b+c.‘解：分同向与反向讨论（略）。4．如图，在三棱柱中，M是的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：（1）;（2）;（3）解：（1）（2）（3）（中等题）5．如图，在长方体中，，点E,F分别是的中点，试用向量表示和解：。6．在上题图中，试用向量表示和解：==，=--=--

§3.1.2空间向量的数乘运算【学情分析】：本节，空间向量的数乘运算共有4个知识点：空间向量的数乘、共线向量或平行向量、方向向量与共面向量、空间向量的分解定理这一节是全章的重点，有了第一节空间向量加减法的基础，我们就很容易把平面向量及其运算推广到空间向量由于本教材学习空间向量的主要目的是，解决一些立体几何问题，所以例习题的编排也主要是立体几何问题当我们把平面向量推广到空间向量后，很自然地要认识空间向量的两个最基本的子空间：共线向量和共面向量把平行向量基本定理和平面向量基本定理推广到空间然后由这两个定理推出空间直线和平面的向量表达式有了这两个表达式，我们就可以很方便地使用向量工具解决空间的共线和共面问题【教学目标】：（1）知识与技能：掌握空间向量的数乘运算（2）过程与方法：进行类比学习，会用空间向量的运算意义和运算律解决立几问题（3）情感态度与价值观：会用平面的向量表达式解决共面问题【教学重点】：空间向量的数乘运算及运算律【教学难点】：用向量解决立几问题【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一．温故知新1、空间向量的数乘运算，其模长是的倍（1）当时，与同向（2）当时，与反向2、空间向量的数乘分配律和结合律（1）分配律：（2）结合律：3、共线向量或平形向量类似于平面向量共线，对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使以数乘向量及其运算律为突破口，与平面向量进行比较学习，为下面引出共面向量作铺垫。二．新课讲授1、方向向量如果为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，对于任意一点O，点P在直线上的充要条件是存在实数t满足等式．其中向量叫做直线的方向向量.在上取，则上式可化为证明：对于空间内任意一点O，三点共线由此可见，可以利用向量之间的关系判断空间任意三点共线，这与利用平面向量判断平面内三点共线是一样的。回顾平面向量的基本定理：共面向量定理如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在有序实数组，使得，这就是说，向量可以由不共线的两个向量线性表示。由此可以得到空间向量共面的证明方法2、空间平面ABC的向量表示式空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对x，y使得：，或对空间任意一点O有：。方向向量的引入是为了更好的说明三点共线的向量充要条件，作为特色班，可以根据实际情况补充证明过程。回顾平面向量的基本定理可以发现，平面中的基底理论成了空间向量关系的一种特殊情况——共面的证明方法，这正是由特殊到一般，由简单到复杂的一种推广，对今后理解空间向量的基底理论也是有一定辐射作用的。推论：已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，则点P与点A，B，C共面的充要条件是证明：略本探究可以在老师的启发下，给学生自己证明，不同层次可以酌情考虑是否证明。三．典例讲练例1．一直平行四边形ABCD，过平面AC外一点O做射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，且使，求证：E，F，G，H四点共面分析：欲证E，F，G，H四点共面，只需证明，，共面。下面我们利用，，共面来证明。证明：因为，所以，，，，由于四边形ABCD是平行四边形，所以，因此，由向量共面的充要条件知E，F，G，H四点共面进一步：请学生思考如何证明：面AC//面EG四．练习巩固1、如图，已知空间四边形ABCD，连结AC，BD，E，F分别是BC，CD的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果的向量。（1）（2）（3）巩固知识，注意向量运算律的使用.3、略解：（1）（2）2、课本P89练习2-33、已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，用向量方法证明（1）E、F、G、H四点共面（2）AC∥平面EFGH得EF∥AC，AC平面EFGH，则AC∥平面EFGH五．小结1．空间向量的数乘运算2．空间向量的运算意义和运算律解决立几问题3．平面的向量表达式解决共面问题归纳知识反思方法，特点。六．作业课本P97习题3.1，A组第1题（3）、（4），第2题练习与测试：（基础题）1．已知空间四边形，连结，设分别是的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：（1）；AD（2）；AG（3）．MG（中等题）2、在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量、、是（）A．有相同起点的向量 B．等长向量 C．共面向量 D．不共面向量3．直三棱柱ABC—A1B1C1中，若（） A．B．C．D．

§3.1.3空间向量的数量积运算【学情分析】：本小节首先