江苏省2019年普通高中学业水平合格性考试数学试题 解析版

江苏省2019年普通高中学业水平合格性考试数学试题一、单选题（共28题，每题3分，共84分）1．若集合，，则（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据集合的并集运算可得答案.【详解】因为，，所以故选：D2．函数最小正周期为，则A．4 B．2 C．1 D．【答案】A【详解】函数最小正周期为，解得.故选A.3．下列函数中，定义域为的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出各选项中函数的定义域，即可得出合适的选项.【详解】函数的定义域为，函数的定义域为，函数的定义域为，函数的定义域为.故选：C.4．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有（）A．2条 B．4条C．6条 D．8条【答案】D【分析】根据线线之间的垂直关系判断即可.【详解】在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有BC，B1C1，A1D1，AD，AA1，BB1，CC1，DD1，共8条．故选：D.5．某地区为了解学生课余时间的读书情况，随机抽取了名学生进行调查，根据调查得到的学生日均课余读书时间绘制成如图所示的频率分布直方图，已知抽取的样本中日均课余读书时间低于10分钟的有10人，则图中的，的值分别为（）A．200，0.015 B．100，0.010 C．100，0.015 D．1000，0.010【答案】B【分析】根据频率分布直方图，由频率之和为1，列出方程即可求出；根据日均课余读书时间低于10分钟的人数，及其对应的频率，即可求出.【详解】利用频率之和为1可得，，解得，根据频率、频数、样本容量之间关系可得，，解得．故选：B．6．棱长为2的正方体内切球的表面积为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由正方体内切球的半径等于棱长的一半，所以求出球的半径后，直接求球的表面积即可【详解】解：因为正方体的棱长为2，所以正方体的内切球半径为，所以内切球的表面积为,故选：A7．设，，，则，，的大小关系为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据对数函数、指数函数的性质进行判断即可.【详解】依题意，，因此，故选：B.8．函数的一条对称轴可能是A． B． C． D．【答案】B【详解】由得，令得，故函数图象的一条对称轴为．选B．9．函数在上的单调递减区间是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】应用辅助角公式可得，应用余弦函数的性质求减区间，结合题设确定正确选项即可.【详解】由题设，，令，可得，，∴在上的单调递减区间是.故选：C.10．已知函数，（）A．2 B．0 C．1 D．【答案】B【分析】先求出，再求出即可.【详解】∵函数，∴，则.故选：.11．已知，则等于（）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接利用二倍角的余弦公式，代入，即可求出结果.【详解】解：由题可知，.故选：A.12．在中，，则（）A． B．25 C． D．16【答案】C【分析】根据平面向量的数量积及其几何意义，即可得解．【详解】解：．故选：C．13．掷一颗质地均匀的骰子一次，以下事件中，互斥而不对立的两个事件是（）A．出现点数为2与出现点数为5B．出现点数大于2与出现点数小于5C．出现点数大于2与出现点数大于5D．出现点数为奇数与出现点数为偶数【答案】A【分析】根据对立事件，互斥事件的定义判断计算；【详解】解：掷一颗质地均匀的骰子一次，所有可能出现的结果有：、、、、、，对于A：出现点数为与出现点数为，这两个事件不可能同时发生，也可能同时都不发生，故这两个事件为互斥而不对立的两个事件，故A正确；对于B：出现点数大于2，包含出现、、、点的四个基本事件；出现点数小于5，包含出现、、、点的四个基本事件，这两个事件可以同时发生，故B错误；对于C：出现点数大于2与出现点数大于5，也可以同时发生，故C错误；对于D：出现点数为奇数与出现点数为偶数，这两个事件不可能同时发生，且两个中一定会有一个发生，故这两个事件属于对立事件，故D错误；故选：A【点睛】本题考查对立事件、互斥事件的判断，属于基础题.14．在平行四边形中，等于（）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接利用向量加法法则和相等向量即可求出答案.【详解】画出图形，如图所示：.故选：A.15．已知平面向量，，若，则的值为（）A．2 B．C． D．【答案】B【分析】根据向量线性运算的坐标表示与向量垂直的坐标表示求解即可【详解】因为，，所以，又因为，所以，即，解得，故选：B16．已知函数的零点，则整数的值为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用函数零点的存在性定理分析求解即可．【详解】函数，因为，，又函数在R上为单调递增函数，所以存在唯一的零点，又零点，所以．故选：D．17．在中，内角所对的边分别为，，，则（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用正弦定理化边为角，求得角，再利用正弦定理求得角，即可得出答案.【详解】解：因为，由正弦定理得，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴.故选：D.18．已知在同一坐标系下，指数函数和的图象如图，则下列关系中正确的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查指数函数的图象与性质，作出函数的图象，然后比较可得．【详解】很显然均大于1；与的交点在与的交点上方，故，综上所述:.故选:C.【点睛】本题考查指数函数的图象与性质，掌握指数函数是解题关键．在同一坐标系中作出两个函数的图象，然后分析比较即可得．19．sin600°＋tan240°的值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据诱导公式及特殊角的三角函数值计算可得答案.【详解】解：sin600°＋tan240°＝sin(720°－120°)＋tan(180°＋60°)＝－sin120°＋tan60°＝－＋＝．故选：C.20．袋中有大小相同的四个白球和三个黑球，从中任取两个球，两球同色的概率为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意可知，所选的两个球均为白球或黑球，利用组合计数原理与古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】由题意可知，所选的两个球均为白球或黑球，由古典概型的概率公式可知，所求事件的概率为.故选：B.【点睛】本题考查古典概型概率的计算，涉及组合计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题.21．若一组数据的平均数为5，方差为2，则，的平均数和方差分别为（）A．7，-1 B．7，1 C．7，2 D．7，8【答案】D【分析】根据平均数的性质,方差的性质直接运算可得结果.【详解】令,，（也可）故选：D【点睛】本题主要考查方差及平均值的性质的简单应用，属于中档题.22．已知直线和平面满足,则（）A． B．或C． D．或【答案】D【分析】作出示意图，进而根据点、线、面的位置关系及线面垂直的判定即可判断.【详解】如图所示，正方体中，记平面ABCD为，平面为，所在直线为m，若n为，满足，显然，所以A,C错误；若n为，满足，显然，所以B错误；对D，若或，显然满足题意，若n与交于点P，点Q为直线n上不同于点P的另外一点，连接PB，因为，，所以，又，而n与PB交于点P，所以平面PBQ，又因为，于是过点B存在两个不同的平面与m垂直，矛盾，所以D正确.故选：D.23．过点且与直线平行的直线方程为（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题意设线的方程为，再根据经过点，待定系数即可得答案.【详解】由题可得，设平行于直线的直线的方程为，因为直线过点，所以，解得，所以直线的方程为.故选：D.24．圆与圆的位置关系是（）A．外离 B．外切 C．相交 D．内切【答案】C【分析】利用圆心距与半径的关系确定正确选项.【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，圆心距为，，所以两圆相交.故选：C25．已知函数为偶函数，且在上单调递增，，则不等式的解集为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】由题可得函数在上单调递减，，且，再利用函数单调性即得.【详解】因为函数为偶函数且在上单调逆增，，所以函数在上单调递减，，且，所以，所以，解得或，即的取值范围是.故选：A.26．中国古代计时器的发明时间不晩于战国时代（公元前476年~公元前222年），其中沙漏就是古代利用机械原理设计的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道流到下部容器，如图，某沙漏由上､下两个圆锥容器组成，圆锥的底面圆的直径为和高为，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的（细管长度忽略不计）.若细沙全部漏人下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此圆锥形沙堆的高为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据圆锥的体积公式，利用等积法求解即可.【详解】由题意可知，开始时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高，底面圆的半径，故细沙的体积.当细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径为2，设高为，则，得.故此锥形沙堆的高为.故选：B27．设的内角的对边分别为的面积，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用三角形面积公式、二倍角正弦公式有，再由三角形内角的性质及余弦定理化简求即可.【详解】由，∴，在中，，∴，解得.故选：A.28．如果，是两个单位向量，则下列结论中正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据单位向量的定义，向量数量积的定义等即可判断各结论的真假．【详解】对于A，若向量，的方向不同时，，A不一定正确；对于B，若向量，不共线时，，B不一定正确；对于C，，C错误；对于D，，D正确．故选：D．二、解答题（共2题，每题8分，共16分）29．已知某校甲､乙､丙三个年级的学生志愿者人数分别为160，160，80，现采用分层抽样的方法从中抽取5名同学去某敬老院参加爱心活动.（1）应从甲､乙､丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（2）设抽出的5名同学分别用A､B､C､D､E表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率.【答案】（1）从志愿者中抽取甲2人，乙2人，丙1人；（2）①答案见解析；②0.2.【分析】（1）根据分层抽样的概念，可得各年级抽取的人数.（2）①由题意列出所有可能的结果即可；②根据①的条件，结合古典概型的概念直接计算即可.【详解】（1）甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为2∶2∶1所以从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取2人，2人，1人（2）①从抽出的5名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为：{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{C，D}，{C，E}，{D，E}共10种．②不妨设抽出的5名同学中，来自甲年级的是A，B，来自乙年级的是C，D，来自丙年级的是E，则从抽出的5名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为：{A，B}，{C，D}，共2种．所以，事件M发生的概率为P（M）=．【点睛】本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．30．已知函数.（1）若为偶函数，求的值；（2）若函数的最小值为8，求的值.【答案】（1）（2）【分析】（1）根据偶函数定义可得，由此构造方程可求得结果；（2）分类讨论可得分段函数的解析式；当和时，易知不满足题意；当、时，