八年级数学下册 期中-综合大题必刷（压轴13考点33题）（解析版）

专题08期中-综合大题必刷（压轴13考点33题）

一．分式的加减法（共2小题）1．深化理解：阅读下列材料，并解答问题：材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．解：由分母x+1，可设x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b；则x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b＝x2+ax+x+a+b＝x2+（a+1）x+a+b．∵对于任意x上述等式成立，∴解得：．∴＝x﹣2+．这样，分式就拆分成一个整式x﹣2与一个分式的和的形式．（1）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式为x+7+；（2）已知整数x使分式的值为整数，则满足条件的整数x的值．【答案】（1）x+7+；（2）4或16或2或﹣10．【解答】解：（1）由分母x﹣1，可设x2+6x﹣3＝（x﹣1）（x+a）+b，则x2+6x﹣3＝（x﹣1）（x+a）+b＝x2+ax﹣x﹣a+b＝x2+（a﹣1）x﹣a+b．∵对于任意x上述等式成立，∴，解得：．∴＝＝x+7+．故答案为：x+7+．（2）由分母x﹣3，可设2x2+5x﹣20＝（x﹣3）（2x+a）+b，则2x2+5x﹣20＝（x﹣3）（2x+a）+b＝2x2+ax﹣6x﹣3a+b＝2x2+（a﹣6）x﹣3a+b，∵对于任意x上述等式成立，∴，解得：．∴＝＝2x+11+．∵x为整数，分式的值为整数，∴为整数，∴x＝4或16或2或﹣10．2．阅读下面的材料，并解答后面的问题材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式．解：由分母为x+1，可设3x2+4x﹣1＝（x+1）（3x+a）+b．因为（x+1）（3x+a）+b＝3x2+ax+3x+a+b＝3x2+（a+3）x+a+b，所以3x2+4x﹣1＝3x2+（a+3）x+a+b．所以，解得．所以＝＝﹣＝3x+1﹣．这样，分式就被拆分成了一个整式3x+1与一个分式的差的形式．根据你的理解决下列问题：（1）请将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式；（2）若分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m﹣11+，求m2+n2+mn的最小值．【答案】（1）以＝2x+5+；（2）27．【解答】解：（1）由分母为x﹣1，可设2x2+3x+6＝（x﹣1）（2x+a）+b．因为（x﹣1）（2x+a）+b＝2x2+ax﹣2x﹣a+b＝2x2+（a﹣2）x﹣a+b，所以2x2+3x+6＝2x2+（a﹣2）x﹣a+b，因此有，解得，所以＝＝2x+5+；（2）由分母为x+2，可设5x2+9x﹣3＝（x+2）（5x+a）+b，因为（x+2）（5x+a）+b＝5x2+ax+10x+2a+b＝5x2+（a+10）x+2a+b，所以5x2+9x﹣3＝5x2+（a+10）x+2a+b，因此有，解得，所以＝＝5x﹣1﹣，所以5m﹣11+＝5x﹣1﹣，因此5m﹣11＝5x﹣1，n﹣6＝﹣x﹣2，所以m＝x+2，n＝﹣x+4，所以m2+n2+mn＝x2﹣2x+28＝（x﹣1）2+27，因为（x﹣1）2≥0，所以（x﹣1）2+27≥27，所以m2+n2+mn的最小值为27．二．分式的混合运算（共1小题）3．我们知道：分式和分数有着很多的相似点．如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质；类比分数的运算法则，我们得到了分式的运算法则，等等．小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数．类似地，我们把分子整式的次数小于分母整式的次数的分式称为真分式；反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如：＝＝+＝1+；＝＝+＝2+（﹣）．（1）下列分式中，属于真分式的是：③（填序号）；①②③④（2）将假分式化成整式与真分式的和的形式为：＝2+，若假分式的值为正整数，则整数a的值为﹣2、1或3；（3）将假分式化成整式与真分式的和的形式：＝a+1+．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）根据题意可得，、、都是假分式，是真分式，故答案为：③；（2）由题意可得，＝，若假分式的值为正整数，则或2a﹣1＝1或2a﹣1＝5，解得，a＝﹣2或a＝1或a＝3，故答案为：2、，﹣2、1或3；（3）＝，故答案为：a+1+．三．分式的化简求值（共2小题）4．阅读理解材料：为了研究分式与分母x的关系，小明制作了表格，并得到如下数据：x…﹣4﹣3﹣2﹣101234……﹣0.25﹣0.﹣0.5﹣1无意义10.50.0.25…从表格数据观察，当x＞0时，随着x的增大，的值随之减小，并无限接近0；当x＜0时，随着x的增大，的值也随之减小．材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式．如：．根据上述材料完成下列问题：（1）当x＞0时，随着x的增大，的值减小（增大或减小）；当x＜0时，随着x的增大，的值减小（增大或减小）；（2）当x＞1时，随着x的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数；（3）当0≤x≤2时，求代数式值的范围．【答案】（1）减小，减小；（2）2；（3）﹣8≤≤．【解答】解：（1）∵当x＞0时随着x的增大而减小，∴随着x的增大，1+的值减小；∵当x＜0时随着x的增大而减小，∵＝1+，∴随着x的增大，的值减小，故答案为：减小，减小．（2）∵＝＝2+，∵当x＞1时，的值无限接近0，∴的值无限接近2．（3）∵＝＝5+，又∵0≤x≤2，∴﹣13≤≤﹣，∴﹣8≤≤．5．已知（x+a）（x+b）＝x2+mx+n．（1）若a＝﹣3，b＝2，则m＝﹣1，n＝﹣6；（2）若m＝﹣2，，求的值；（3）若n＝﹣1，当＝0时，求m的值．【答案】（1）﹣1，﹣6；（2）﹣4；（3）m1＝﹣2，m2＝1．【解答】解：（1）将a＝﹣3，b＝2代入（x+a）（x+b）得：（x+a）（x+b）＝（x﹣3）（x+2）＝x2﹣x﹣6＝x2+mx+n，∴m＝﹣1，n＝﹣6．故答案为：﹣1，﹣6．（2）∵（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab＝x2+mx+n．∴，∴+＝＝＝＝﹣4．（3）∵a+b＝m，ab＝n＝﹣1，∴（+）+4（a+b）﹣16＝0，+4m﹣16＝0，4[（a+b）2﹣2ab]+4m﹣16＝0，4（m2+2）+4m﹣16＝0∴4m2+4m﹣8＝0，（m+2）（m﹣1）＝0，m1＝﹣2，m2＝1．四．分式方程的应用（共4小题）6．某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作20天可完成，甲工程队单独施工完成的天数是乙工程队单独施工完天数的2倍．（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？（2）甲工程队独做a天后，再由甲、乙两工程队合作（20﹣）天（用含a的代数式表示）可完成此项工程；（3）如果甲工程队施工每天需付施工费1万元，乙工程队施工每天需付施工费2.5万元，甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设乙单独完成此项工程需要x天，则甲单独完成需要2x天，+＝1，解得：x＝30，经检验x＝30是原方程的解．∴x+30＝60，答：甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要60天，30天；（2）（1﹣）÷（+）＝（20﹣）天；故答案为：（20﹣）；（3）设甲单独做了y天，y+（20﹣）×（1+2.5）≤64，解得：y≥36答：甲工程队至少要单独施工36天．7．甲、乙两同学的家与学校的距离均为3000米．甲同学先步行600米，然后乘公交车去学校，乙同学骑自行车去学校．已知甲步行速度是乙骑自行车速度的，公交车的速度是乙骑自行车速度的2倍．甲、乙两同学同时从家里出发去学校，结果甲同学比乙同学早到2分钟．（1）求乙骑自行车的速度；（2）当甲到达学校时，乙同学离学校还有多远？【答案】（1）300米/分钟；（2）600米．【解答】解：（1）设乙骑自行车的速度为x米/分钟，则甲步行速度是x米/分钟，公交车的速度是2x米/分钟，根据题意得+＝﹣2，解得：x＝300米/分钟，经检验x＝300是方程的根，答：乙骑自行车的速度为300米/分钟；（2）∵300×2＝600米，答：当甲到达学校时，乙同学离学校还有600米．8．育才文具店第一次用4000元购进某款书包，很快卖完，临近开学，又用3600元购进该款书包，但这次每个书包的进价是第一次进价的1.2倍，数量比第一次少了20个．（1）求第一次每个书包的进价是多少元？（2）若第二次进货后按80元/个的价格销售，恰好销售完一半时，根据市场情况，文具店决定对剩余的书包按同一标准一次性打折销售，但要求第二批书包的利润不少于960元，问最低可打几折？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设第一次每个书包的进价是x元，根据题意得：﹣20＝，解得x＝50．经检验，x＝50是原分式方程的解，且符合题意，答：第一次书包的进价是50元．（2）设可以打y折，则3600÷（50×1.2）＝60（个）．由80×30+80××30﹣3600≥960，解得y≥9，答：最低可打9折．9．列方程解应用题某水果批发市场苹果的价格如表：购买苹果（千克）不超过20千克20千克以上但不超过40千克40千克以上每千克的价格6元5元4元（1）小明分两次共购买40千克，第二次购买的数量多于第一次购买的数量，共付出216元，小明第一次和第二次各购买多少千克苹果？（2）小强分两次共购买100千克，第二次购买的数量多于第一次购买的数量，且两次购买每千克苹果的单价不相同，共付出432元，请问小强第一次，第二次分别购买苹果多少千克？【答案】（1）第一次买16千克，第二次买24千克；（2）第一次购买16千克苹果，第二次购买84千克苹果或第一次购买32千克苹果，第二次购买68千克苹果．【解答】解：（1）设第一次购买x千克苹果，则第二次购买（40﹣x）千克苹果，由题意可得6x+5（40﹣x）＝216，解得：x＝16，40﹣x＝24．答：第一次买16千克，第二次买24千克．（2）设第一次购买x千克苹果，则第二次购买（100﹣x）千克苹果．分三种情况考虑：①第一次购买苹果少于20千克，第二次苹果20千克以上但不超过40千克；两次购买的质量不到100千克，不成立；②第一次购买苹果少于20千克，第二次苹果超过40千克．根据题意，得：6x+4（100﹣x）＝432，解得：x＝16．100﹣16＝84（千克）；③第一次购买苹果20千克以上但不超过40千克，第二次苹果超过40千克根据题意，得：5x+4（100﹣x）＝432，解得：x＝32．100﹣32＝68千克；答：第一次购买16千克苹果，第二次购买84千克苹果或第一次购买32千克苹果，第二次购买68千克苹果．五．菱形的判定与性质（共3小题）10．如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止．点P、Q的速度的速度都是1cm/s，连接PQ，AQ，CP，设点P、Q运动的时间为t（s）．（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形？（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形？（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）当四边形ABQP是矩形时，BQ＝AP，即：t＝8﹣t，解得t＝4．答：当t＝4时，四边形ABQP是矩形；（2）设t秒后，四边形AQCP是菱形当AQ＝CQ，即＝8﹣t时，四边形AQCP为菱形．解得：t＝3．答：当t＝3时，四边形AQCP是菱形；（3）当t＝3时，CQ＝5，则周长为：4CQ＝20cm，面积为：4×8﹣2××3×4＝20（cm2）．11．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．（1）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：能．理由如下：在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝4t，∴DF＝2t，又∵AE＝2t，∴AE＝DF，∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF，又∵AE＝DF，∴四边形AEFD为平行四边形，当AE＝AD时，四边形AEFD为菱形，即60﹣4t＝2t，解得t＝10．∴当t＝10秒时，四边形AEFD为菱形．（2）①当∠DEF＝90°时，由（1）知四边形AEFD为平行四边形，∴EF∥AD，∴∠ADE＝∠DEF＝90°，∵∠A＝60°，∴∠AED＝30°，∴AD＝AE＝t，又AD＝60﹣4t，即60﹣4t＝t，解得t＝12；②当∠EDF＝90°时，四边形EBFD为矩形，在Rt△AED中∠A＝60°，则∠ADE＝30°，∴AD＝2AE，即60﹣4t＝4t，解得t＝．③若∠EFD＝90°，则E与B重合，D与A重合，此种情况不存在．综上所述，当t＝或12秒时，△DEF为直角三角形．12．如图所示，在等边三角形ABC中，BC＝8cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）①当t为何值时，四边形ACFE是菱形；②当t为何值时，△ACE的面积是△ACF的面积的2倍．【答案】（1）证明见解析；（2）①8；②或．【解答】（1）证明：如图1，∵AG∥BC，∴∠EAC＝∠FCA，∠AED＝∠CFD，∵EF经过AC边的中点D，∴AD＝CD，∴△ADE≌△CDF（AAS），∴AE＝CF，∵AE∥FC，∴四边形AFCE是平行四边形；（2）解：①如图2，∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC＝8cm，∵四边形ACFE是菱形，∴AE＝CF＝AC＝BC＝8cm，且点F在BC延长线上，由运动知，AE＝tcm，BF＝2tcm，∴CF＝（2t﹣8）cm，∴2t﹣8＝8，解得：t＝8，将t＝8代入CF＝2t﹣8中，得CF＝8＝AC＝AE，符合题意，即当t＝8时，四边形ACFE是菱形；②设平行线AG与BC的距离为hcm，∴△ACE边AE上的高为hcm，△ACF的边CF上的高为hcm，∵△ACE的面积是△ACF的面积的2倍，∴AE＝2CF，当点F在线段BC上时（0＜t＜4），CF＝（8﹣2t），AE＝tcm，∴t＝2（8﹣2t），解得：t＝；当点F在BC的延长线上时（t＞4），CF＝（2t﹣8）cm，AE＝tcm，∴t＝2（2t﹣8），解得：t＝，即当t为或时，△ACE的面积是△ACF的面积的2倍．六．矩形的性质（共1小题）13．如图，长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，A点的坐标为（4，0），C点的坐标为（0，6），点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O→C→B→A→O的路线移动（移动一周）．（1）写出点B的坐标；（2）当点P移动了4秒时，求出点P的坐标；（3）在移动过程中，当△OBP的面积是10时，直接写出点P的坐标．【答案】（1）B（4，6）；（2）P（2，6）；（3）（0，5）或（，6）或（4，1）或（，0）．【解答】解：（1）∵A点的坐标为（4，0），C点的坐标为（0，6），∴OA＝4，OC＝6，∴点B（4，6）；（2）∵点P移动了4秒时的距离是2×4＝8，∴点P的坐标为（2，6）；（3）如图，①当点P在OC上时，S△OBP＝×OP1×4＝10，∴OP1＝5，∴点P（0，5）；②当点P在BC上，S△OBP＝×BP2×6＝10，∴BP2＝，∴CP2＝4﹣＝，∴点P（，6）；③当点P在AB上，S△OBP＝×BP3×4＝10，∴BP3＝5，∴AP3＝6﹣5＝1，∴点P（4，1）；④当点P在AO上，S△OBP＝×OP4×6＝10，∴OP4＝，∴点P（，0）．综上，点P的坐标为（0，5）或（，6）或（4，1）或（，0）．七．矩形的判定（共1小题）14．如图，在△ABC中，点O是AC边上的一动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）求证：EO＝FO；（2）当CE＝12，CF＝10时，求CO的长；（3）当O点运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）证明：∵MN∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠BCE＝∠ACE＝∠OEC，∠OCF＝∠FCD＝∠OFC，∴OE＝OC，OC＝OF，∴OE＝OF；（2）∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ECF＝∠ACB+∠ACD＝×180°＝90°，∴Rt△CEF中，EF＝＝＝2，又∵OE＝OF，∴CO＝EF＝；（3）当O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形，证明：∵AO＝CO，OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形，由（2）可得∠ECF＝90°，∴四边形AECF是矩形．八．正方形的性质（共8小题）15．如图，已知正方形ABCD的边长是2，∠EAF＝m°，将∠EAF绕点A顺时针旋转，它的两边分别交BC、CD于点E、F，G是CB延长线上一点，且始终保持BG＝DF．（1）求证：△ABG≌△ADF；（2）求证：AG⊥AF；（3）当EF＝BE+DF时：①求m的值；②若F是CD的中点，求BE的长．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝AD＝BC＝CD＝2，∠BAD＝∠C＝∠D＝∠ABC＝∠ABG＝90°．∵BG＝DF，在△ABG和△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS）；（2）证明：∵△ABG≌△ADF，∴∠GAB＝∠FAD，∴∠GAF＝∠GAB+∠BAF＝∠FAD+∠BAF＝∠BAD＝90°，∴AG⊥AF；（3）①解：△ABG≌△ADF，∴AG＝AF，BG＝DF．∵EF＝BE+DF，∴EF＝BE+BG＝EG．∵AE＝AE，在△AEG和△AEF中．，∴△AEG≌△AEF（SSS）．∴∠EAG＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF＝45°，即m＝45；②若F是CD的中点，则DF＝CF＝BG＝1．设BE＝x，则CE＝2﹣x，EF＝EG＝1+x．在Rt△CEF中，CE2+CF2＝EF2，即（2﹣x）2+12＝（1+x）2，得x＝．∴BE的长为．16．如图①，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．（1）连接MN，△BMN是等边三角形吗？为什么？（2）求证：△AMB≌△ENB；（3）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；②如图②，当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，请你画出图形，并说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】（1）解：△BMN是等边三角形．理由如下：如图①，∵BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，∴BM＝BN，∠MBN＝60°，∴△BMN是等边三角形；（2）证明：∵△ABE和△BMN都是等边三角形，∴AB＝EB，BM＝BN，∠ABE＝∠MBN＝60°，∴∠ABE﹣∠ABN＝∠MBN﹣∠ABN，即∠ABM＝∠EBN，在△AMB和△ENB中，，∴△AMB≌△ENB（SAS）；（3）①由两点之间线段最短可知A、M、C三点共线时，AM+CM的值最小，∵四边形ABCD是正方形，∴点M为BD的中点；②当点M在CE与BD的交点时，AM+BM+CM的值最小，理由如下：如图②，∵△AMB≌△ENB，∴AM＝EN，∵△BMN是等边三角形，∴BM＝MN，∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM，由两点之间线段最短可知，点E、N、M、C在同一直线上时，EN+MN+CM，故，点M在CE与BD的交点时，AM+BM+CM的值最小．17．阅读下面材料：我遇到这样一个问题：如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为DC、BC边上的点，∠EAF＝45°，连接EF，求证：DE+BF＝EF．我是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG（如图2），此时GF即是DE+BF．请回答：在图2中，∠GAF的度数是45°．参考我得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题：（1）如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（AD＞BC），∠D＝90°，AD＝CD＝10，E是CD上一点，若∠BAE＝45°，DE＝4，求BE的长度．（2）如图4，△ABC中，AC＝4，BC＝6，以AB为边作正方形ADEB，连接CD．当∠ACB＝135°时，线段CD有最大值，并求出CD的最大值．【答案】阅读材料：45°；（1）BE＝；（2）135°．【解答】解：阅读材料：根据旋转△ABG≌△QDE，∴∠GAB＝∠EAD，AG＝AE，∵∠BAD＝∠BAE+∠EAF+∠DAE＝90°，∠EAF＝45°，∴∠BAF+∠GAB＝45°，即∠GAF＝45°；（1）过点A作AF⊥CB交CB的延长线于点F，∵AD∥BC，∠D＝90°，∴∠B＝180°﹣∠D＝90°，∵AD＝CD＝10，∴四边形AFCD是正方形，∴CF＝10，根据上面结论，可知BE＝DE+BF，设BE＝x，∵DE＝4，∴BF＝BE﹣DE＝x﹣4，∴CB＝CF﹣BF＝10﹣x+4＝14﹣x，CE＝CD﹣DE＝10﹣4＝6，∵∠C＝90°，∴CE2+CB2＝BE2，∴36+（14﹣x）2＝x2，解得：x＝，故BE＝；（3）过点A作AF⊥CA，取AF＝AC，连接BF，CF，∵∠BAF＝∠BAC+∠CAF＝90°+∠BAC，∠DAC＝∠BAD+∠BAC＝90°+∠BAC，∴∠BAF＝∠DAC，又∵AC＝AF，AB＝AD，∴△FAB≌△CAD（SAS），∴BF＝CD，∴线段CD有最大值时，只需BF最大即可，在△BCF中，BF≤BC+CF，当B、C、F三点共线时，BF取最大值，此时BF＝BC+CF，在等腰直角三角形ACF中AC＝AF＝4，∠ACF＝45°，∴CF＝AC＝4，∵CB＝6，BF最大为：4+6，此时∠BCA＝180°﹣∠ACF＝135°．故答案为：135°．18．已知边长为2的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（与点A，C不重合），过点P作PE⊥PB，PE交DC于点E，过点E作EF⊥AC，垂足为点F．（1）求证：PB＝PE；（2）在点P的运动过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，求出这个不变的值；若变化，试说明理由．【答案】（1）证明见解答；（2）点P在运动过程中，PF的长度不变，值为．【解答】（1）证明：过点P作PG⊥BC于G，过点P作PH⊥DC于H，如图1．∵四边形ABCD是正方形，PG⊥BC，PH⊥DC，∴∠GPC＝∠ACB＝∠ACD＝∠HPC＝45°．∴PG＝PH，∠GPH＝∠PGB＝∠PHE＝90°．∵PE⊥PB，即∠BPE＝90°，∴∠BPG＝90°﹣∠GPE＝∠EPH．在△PGB和△PHE中，，∴△PGB≌△PHE（ASA），∴PB＝PE．（2）解：PF的长度不变．连接BD，如图2．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOP＝90°，∵PE⊥PB，即∠BPE＝90°，∴∠PBO＝90°﹣∠BPO＝∠EPF，∵EF⊥PC，即∠PFE＝90°，∴∠BOP＝∠PFE，在△BOP和△PFE中，，∴△BOP≌△PFE（AAS），∴BO＝PF．∵四边形ABCD是正方形，∴OB＝OC，∠BOC＝90°，∴BC＝OB．∵BC＝2，∴OB＝，∴PF＝OB＝．∴点P在运动过程中，PF的长度不变，值为．19．如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q．（1）如图1，当点Q在DC边上时，探究PB与PQ所满足的数量关系；小明同学探究此问题的方法是：过P点作PE⊥DC于E点，PF⊥BC于F点，根据正方形的性质和角平分线的性质，得出PE＝PF，再证明△PEQ≌△PFB，可得出结论，他的结论应是PB＝PQ；（2）如图2，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，并证明你的猜想．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）结论：PB＝PQ，理由：过P作PF⊥BC，PE⊥CD，∵P，C为正方形对角线AC上的点，∴PC平分∠DCB，∠DCB＝90°，∴PF＝PE，∴四边形PECF为正方形，∵∠BPF+∠QPF＝90°，∠QPF+∠QPE＝90°，∴∠BPF＝∠QPE，在△PEQ和△PFB中，，∴Rt△PQE≌Rt△PBF，∴PB＝PQ；故答案为PB＝PQ．（2）PB＝PQ，证明：过P作PE⊥BC，PF⊥CD，∵P，C为正方形对角线AC上的点，∴PC平分∠DCB，∠DCB＝90°，∴PF＝PE，∴四边形PECF为正方形，∵∠BPF+∠QPF＝90°，∠BPF+∠BPE＝90°，∴∠BPE＝∠QPF，∴Rt△PQF≌Rt△PBE，∴PB＝PQ．20．如图，四边形ABCD是正方形，点E是平面内异于点A的任意一点，以线段AE为边作正方形AEFG，连接EB，GD．（1）如图1，判断EB与GD位置关系，并证明你的结论；（2）如图2，若点E在线段DG上，∠DAE＝15°，AG＝4，求BE的长．【答案】（1）BE⊥DG，理由见解答；（2）2+2．【解答】解：（1）BE⊥DG；如图1，延长BE交DG于H，∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，∴AE＝AG，AB＝AD，∠BAD＝∠EAG＝90°，∴△ABE≌△DAG（SAS），∴BE＝DG，∠ABE＝∠ADG，∵∠ADG+∠DGA＝90°，∴∠ABE+∠DGA＝90°，∴∠GHB＝90°，∴BE⊥DG；（2）作AH⊥DG于H，∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，∴∠AGE＝45°，∴GH＝HA＝＝＝2，∵∠AGE＝45°，∴∠GAH＝45°，∴∠HAE＝45°，∵∠DAE＝15°，∴∠HAD＝∠HAE+∠DAE＝60°，∴HD＝AH•tan∠HAD＝2＝2，∴BE＝DG＝DH+GH＝2+2．21．已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N．（1）当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时（如图1），求证：BM+DN＝MN；（2）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），则线段BM，DN和MN之间数量关系是BM+DN＝MN；（3）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，猜想线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系呢？并对你的猜想加以说明．【答案】（1）答案见证明；（2）BM+DN＝MN；（3）DN﹣BM＝MN．【解答】（1）证明：如图1，过A作AE⊥MN于E，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠D＝∠ABC＝90°，∠BAD＝90°，∵∠MAN＝45°，∴∠BAM+∠DAN＝90°﹣45°＝45°，在△ABM和△ADN中，∴△ABM≌△ADN（SAS），∴AM＝AN，∠BAM＝∠DAN＝45°＝22.5°，∵AE⊥MN，∴∠NAE＝MAN＝22.5°，MN＝2EN，∴∠DAN＝∠NAE，∵AE⊥MN，∠D＝90°，∴DN＝NE，即BM＝DN＝NE，∴BM+DN＝MN；（2）解：线段BM，DN和MN之间数量关系是BM+DN＝MN，理由如下：延长CB至E，使得BE＝DN，连接AE，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠D＝∠ABC＝90°＝∠ABE，在△ADN和△ABE中，∵，∴△ABE≌△ADN（SAS），∴∠BAE＝∠DAN，AE＝AN，∴∠EAN＝∠BAE+∠BAN＝∠DAN+∠BAN＝90°，∵∠MAN＝45°，∴∠EAM＝∠MAN，∵在△EAM和△NAM中，∴△EAM≌△NAM，∴MN＝ME，∵ME＝BM+BE＝BM+DN，∴BM+DN＝MN，故答案为：BM+DN＝MN；（3）DN﹣BM＝MN，理由如下：如图3，在DC上截取DE＝BM，连接AE，由（1）知△ADE≌△ABM（SAS），∴∠DAE＝∠BAM，AE＝AM，∴∠EAM＝∠BAM+∠BAE＝∠DAE+∠BAE＝90°，∵∠MAN＝45°，∴∠EAN＝∠MAN．∵在△MAN和△EAN中，，∴△MAN≌△EAN（SAS），∴EN＝MN，即DN﹣DE＝MN，∴DN﹣BM＝MN．22．（1）如图1，正方形ABCD中，点P为线段BC上一个动点，若线段MN垂直AP于点E，交线段AB于点M，交线段CD于点N，证明：AP＝MN；（2）如图2，正方形ABCD中，点P为线段BC上一动点，若线段MN垂直平分线段AP，分别交AB，AP，BD，DC于点M，E，F，N．求证：EF＝ME+FN．【答案】（1）见解答；（2）见解答．【解答】解：（1）如图1，过B点作BH∥MN交CD于H，则AP⊥BH，∵BM∥NH，∴四边形MBHN为平行四边形，∴MN＝BH，∵四边形ABCD是正方形．∴AB＝BC，∠ABP＝90°＝∠C，∴∠CBH+∠ABH＝∠BAP+∠ABH＝90°，∴∠BAP＝∠CBH，∴△ABP≌△BCH（ASA），∴BH＝AP，∴MN＝AP；（2）如图2，连接FA，FP，FC∵正方形ABCD是轴对称图形，F为对角线BD上一点，∴FA＝FC，又∵FE垂直平分AP，∴FA＝FP，∴FP＝FC，∴∠FPC＝∠FCP，∵∠FAB＝∠FCP，∴∠FAB＝∠FPC，∴∠FAB+∠FPB＝180°，∴∠ABC+∠AFP＝180°，∴∠AFP＝90°，∴FE＝AP，由（1）知，AP＝MN，∴MN＝ME+EF+FN＝AP＝2EF，∴EF＝ME+FN．九．正方形的判定与性质（共1小题）23．如图，正方形ABCD中，AB＝3，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）求AG+AE的值；（3）若F恰为AB的中点，求正方形DEFG的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）6；（3）．【解答】（1）证明：如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．∵四边形ABCD是正方形，∴∠EAD＝∠EAB，∵EM⊥AD于M，EN⊥AB于N，∴EM＝EN，∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°，∴四边形ANEM是矩形，∵EF⊥DE，∴∠MEN＝∠DEF＝90°，∴∠DEM＝∠FEN，∵∠EMD＝∠ENF＝90°，∴△EMD≌△ENF（ASA），∴ED＝EF，∵四边形DEFG是矩形，∴四边形DEFG是正方形；（2）解：∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形，∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝3，∠GDE＝∠ADC＝90°，∴∠ADG＝∠CDE，∴△ADG≌△CDE（SAS），∴AG＝CE，∴AE+AG＝AE+EC＝AC＝AD＝6；（3）解：连接DF，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝3，AB∥CD，∵F是AB中点，∴AF＝FB＝，∴DF＝＝＝，∴正方形DEFG的面积＝DF2＝（）2＝．一十．旋转的性质（共5小题）24．如图，已知△ABC为等边三角形．P为△ABC内一点，PA＝8，PB＝6，PC＝10，若将△PBC绕点B逆时针旋转后得到△P′BA．（1）求点P与点P′之间的距离；（2）求∠APB的度数．【答案】（1）6；（2）150°．【解答】解：（1）连接PP′由题意可知AP′＝PC＝10，BP′＝BP，∠PBC＝∠P′BA，而∠PBC+∠ABP＝60°，所以∠PBP′＝60度．故△BPP′为等边三角形，所以PP′＝BP＝BP′＝6；（2）利用勾股定理的逆定理可知：PP′2+AP2＝AP′2，所以△APP′为直角三角形，且∠APP′＝90°，可求∠APB＝90°+60°＝150°．25．如图1，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将△ABE绕点B顺时针方向旋转90°，得到△CBE'（点A的对应点为点C），延长AE交CE'于点F，连接DE．（1）试判断四边形BEFE'的形状，并说明理由；（2）若DA＝DE，如图2，请猜想线段CF与E'F的数量关系，并加以证明．【答案】（1）四边形BE′FE是正方形；（2）CF＝FE'．【解答】解：（1）四边形BE′FE是正方形．理由如下：由旋转得，∠E′＝∠AEB＝90°，∠EBE′＝90°，∵∠BEF＝180°﹣∠AEB＝90°，∴四边形BE′FE是矩形，由旋转得，BE′＝BE，∴四边形BE′FE是正方形．（2）CF＝FE'，证明如下：如图，过点D作DG⊥AE于点G，则∠DGA＝∠AEB＝90°，∵DA＝DE，∴AG＝AE，∵四边形ABCD是正方形，∴DA＝AB，∠DAB＝90°，∴∠BAE+∠DAG＝90°，∵∠ADG+∠DAG＝90°，∴∠ADG＝∠BAE，∴△ADG≌△BAE（AAS），∴AG＝BE；∵四边形BE′FE是正方形，∴BE＝FE′，∴AG＝FE′，由旋转得，AE＝CE′，∴AE＝CE′，∴FE′＝AE＝CE′，∴CF＝FE'．26．（1）如图1，O是等边△ABC内一点，连接OA、OB、OC，且OA＝3，OB＝4，OC＝5，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．求：①旋转角的度数60°；②线段OD的长4；③求∠BDC的度数．（2）如图2所示，O是等腰直角△ABC（∠ABC＝90°）内一点，连接OA、OB、OC，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．当OA、OB、OC满足什么条件时，∠ODC＝90°？请给出证明．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）①∵△ABC为等边三角形，∴BA＝BC，∠ABC＝60°，∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，∴∠OBD＝∠ABC＝60°，∴旋转角的度数为60°；②∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，∴BO＝BD，而∠OBD＝60°，∴△OBD为等边三角形；∴OD＝OB＝4；③∵△BOD为等边三角形，∴∠BDO＝60°，∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，∴CD＝AO＝3，在△OCD中，CD＝3，OD＝4，OC＝5，∵32+42＝52，∴CD2+OD2＝OC2，∴△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°，∴∠BDC＝∠BDO+∠ODC＝60°+90°＝150°；（2）OA2+2OB2＝OC2时，∠ODC＝90°．理由如下：∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，∴∠OBD＝∠ABC＝90°，BO＝BD，CD＝AO，∴△OBD为等腰直角三角形，∴OD＝OB，∵当CD2+OD2＝OC2时，△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°，∴OA2+2OB2＝OC2，∴当OA、OB、OC满足OA2+2OB2＝OC2时，∠ODC＝90°．27．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，将CO绕点C顺时针方向旋转60°得到CD，连接AD，OD．（1）当α＝150°时，求证：△AOD为直角三角形；（2）求∠DAO的度数；（3）请你探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？【答案】（1）见解析；（2）50°；（3）140°或125°或110°．【解答】（1）证明：由旋转的性质得：OC＝CD，∠DCO＝60°，∴△COD是等边三角形，∴∠CDO＝60°，∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝60°，∴∠ACD＝∠BCO，∴△BOC≌△ADC（SAS），∴∠ADC＝∠BOC＝150°，∴∠ADO＝90°，即△AOD是直角三角形；（2）解：∵△COD是等边三角形，∴∠COD＝60°，∵∠AOB＝110°，∠BOC＝α，∴∠AOD＝360°﹣110°﹣60°﹣α＝190°﹣α，由（1）知：△ADC≌△BOC，∴∠ADC＝∠BOC＝α，∴∠ADO＝α﹣60°，△ADO中，∠DAO＝180°﹣∠ADO﹣∠AOD＝180°﹣（α﹣60°）﹣（190°﹣α）＝50°；（3）解：分三种情况：①当AO＝AD时，∠AOD＝∠ADO．∵∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠COD﹣α＝360°﹣110°﹣60°﹣α＝190°﹣α，∠ADO＝α﹣60°，∴190°﹣α＝α﹣60°，∴α＝125°；②当OA＝OD时，∠OAD＝∠ADO．∵∠AOD＝190°﹣α，∠ADO＝α﹣60°，∴∠OAD＝180°﹣（∠AOD+∠ADO）＝50°，∴α﹣60°＝50°，∴α＝110°；③当OD＝AD时，∠OAD＝∠AOD．∵190°﹣α＝50°，∴α＝140°，综上所述：当α的度数为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形．28．如图，四边形ABCD是正方形，点E在AB的延长线上，连接EC，EC绕点E逆时针旋转90°得到EF，连接CF、AF，CF与对角线BD交于点G．（1）若BE＝2，求AF的长度；（2）求证：AF+2BG＝AD．【答案】（1）；（2）证明过程见解答．【解答】（1）解：连接AC，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠EBC＝90°，AC2＝AB2+BC2＝2BC2，∴CE2＝BE2+BC2，∵EC绕点E逆时旋转90°得到EF，∴EF＝EC，∠FEC＝90°，∴∠EFC＝∠ECF＝45°，CF2＝EF2+CE2＝2CE2＝2BE2+2BC2，∴∠EFC＝∠EAC＝45°，∴∠FAE＝∠FCE＝45°，∴∠FAC＝90°，∴CF2＝AF2+AC2＝AF2+2BC2，∴AF2+2BC2＝2BE2+2BC2，即AF2＝2BE2，∵BE＝2，∴AF2＝2×22＝8，解得AF＝；（2）证明：连接AC，延长AF，CB交于点H，∵∠FAE＝∠ABD＝45°，∴AF∥BD，又∵AD∥BC，∴四边形ADBH是平行四边形，∴AD＝BH＝BC＝AB，∴AH＝AB＝CD，∵AH∥BG，∴CG＝FG，∴BG是△CHF的中位线，∴HF＝2BG，∵AH＝AF+FH，∴AD＝AF+2BG，即AF+2BG＝AD．一十一．频数（率）分布直方图（共1小题）29．某校为了了解本校1200名初中生对“防溺水”安全知识的掌握情况，随机抽取了60名初中生进行“防溺水”安全知识测试，并将测试成绩进行统计分析，绘制了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图：组别成绩x分频数第1组50≤x＜606第2组60≤x＜7010第3组70≤x＜80a第4组80≤x＜90b第5组90≤x＜10012请结合图表完成下列问题：（1）频数分布表中的a＝18，b＝14．（2）将频数分布直方图补充完整．（3）若测试成绩不低于80分定为“优秀”，则该校的初中生对“防溺水”安全知识的掌握情况为“优秀”的大约有多少人？【答案】（1）18，14；（2）见解答