因式分解压轴题（20题）-【常考压轴题】2023-2024学年八年级数学下册压轴题攻略（原卷版）

第四章因式分解压轴题1．若，则关于的说法正确的是（

）．A．是正整数，而且是偶数 B．是正整数，而且是奇数C．不是正整数，而是无理数 D．无法确定2．如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“和方数”．例如：四位数2613，因为，所以2613是“和方数”；四位数2514，因为，所以2514不是“和方数”．若是“和方数”，则这个数是；若四位数M是“和方数”，将“和方数”M的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调，得到新数N，若能被33整除，则满足条件的M的最大值是．3．如果一个三位正整数可以表示为的形式，其中为正整数，则称为“幸运数”．例如：三位数，，∴是“幸运数”；又如：三位数，，∴不是“幸运数”、根据题意，最大的“幸运数”为；若与都是“幸运数”，且，则所有满足条件的的和为．4．一个四位正整数m，如果m满足各个数位上的数字均不为0，千位数字与个位数字相等，百位数字与十位数字相等，则称m为“对称数”，将m的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调得到一个新数，记．例如：对称数时，，则．已知s、t都是“对称数”，记s的千位数字与百位数字分别为a，b，t的千位数字与百位数字分别为x，y，其中，，，a，b，x，y均为整数．若能被8整除，则；同时，若、还满足，则所有可能值的和为．5．“回文诗”即正念倒念都有意思，均成文章的诗，如：“秋江楚雁宿沙洲，雁宿沙洲浅水流．流水浅洲沙宿雁，洲沙宿雁楚江秋．”其意境与韵味读起来都是一种美的享受．在数学中也有这样一类数有这样的特征，即正读倒读都一样的自然数，我们称之为“回文数”，例如，等．下列几个命题中：（1）是“回文数”；（2）所有两位数中，有个“回文数”；所有三位数中，有个“回文数”；（3）任意四位数的“回文数”是的倍数；（4）如果一个“回文数”是另外一个正整数的平方，则称为“平方回数”．若是一个千位数字为1的四位数的“回文数”，若，且s是一个“平方回数”，则．其中，真命题有．（填序号）6．定义：任意两个数a，b，按规则运算得到一个新数c，称所得的新数c为a，b的“和积数”．(1)若，，求a，b的“和积数”c；(2)若，，求a，b的“和积数”c；(3)已知，且a，b的“和积数”，求b（用含x的式子表示）并计算的最小值．7．若一个四位数的百位数字与千位数字的差恰好是个位数字与十位数字的差的倍，则将这个四位数称作“星耀重外数”．例如：，∵，∴是“星耀重外数”；又如，∵，∴不是“星耀重外数”．(1)判断，是否是“星耀重外数”，并说明理由；(2)一个“星耀重外数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，且满足，记，当是整数时，求出所有满足条件的．8．已知一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数，以它的百位数字作为十位，个位数字作为个位，组成一个新的两位数s，若s等于M的千位数字与十位数字的平方差，则称这个数M为“平方差数”，将它的百位数字和千位数字组成两位数，个位数字和十位数字组成两位数，并记．例如：6237是“平方差数”，因为，所以6237是“平方差数”；此时．又如：5135不是“平方差数”，因为，所以5135不是“平方差数”．(1)判断7425是否是“平方差数”？并说明理由；(2)若是“平方差数”，且比M的个位数字的9倍大30，求所有满足条件的“平方差数”M．9．一个两位数M，若将十位数字2倍的平方与个位数字的平方的差记为数N，当N＞0时，我们把N放在M的右边将所构成的新数叫做M的“叠加数”．例如：M＝47，∵N＝(2×4)2－72＝15>0，∴47的“叠加数”为4715；M＝26，∵N＝(2×2)2－62＝－20＜0，∴26没有“叠加数”．(1)请判断3420和5846是否为某个两位数的“叠加数”，并说明理由；(2)两位数M＝10a＋b（1≤a≤9,1≤b≤4，且a、b均为整数）有“叠加数”，且12a－M－N能被13整除，求所有满足条件的两位数M的“叠加数”．10．材料：把多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：．(1)分解因式：(2)若a，都是正整数且满足，求的值；(3)若a，b为实数且满足，，求S的最小值．11．八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解．【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：解法一：原式；解法二：原式．【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）【类比】（1）请用分组分解法将因式分解；【挑战】（2）请用分组分解法将因式分解；（3）若，，请用分组分解法先将因式分解，再求值．12．如图①，在平面直角坐标系中，点A，点B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在第二象限，且，，点B的坐标为，点C的纵坐标为n，满足．(1)求点A的坐标；(2)如图②，点D是的中点，点E，F分别是边，上的动点，且，在点E，F移动过程中，四边形的面积是否为定值？请说明理由；(3)在平面直角坐标系中，是否存在点P，使得是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出满足条件的点P的坐标.13．在x轴正半轴上有一定点A，．(1)若多项式恰好是某个整式的平方，那么点A的坐标为__________；(2)如图1，点P为第三象限角平分线上一动点，连接，将射线绕点A逆时针旋转交y轴于点Q，连接，在点P运动的过程中，当时，求的度数；(3)如图2，已知点B、点C分别为y轴正半轴，x轴正半轴上的点，C在A右侧，在线段上取点，，且，过点A做轴，且，求的长．（结果用m，n表示）14．通过课堂的学习知道，我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．例如：分解因式；再例如求代数式的最小值，．可知当时，有最小值，最小值是，根据阅读材料用配方法解决下列问题：(1)代数式的最大值为：；(2)若与，判断的大小关系，并说明理由；(3)已知：，，求代数式的值．15．阅读材料，解决问题【材料】教材中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．例如：分解因式．原式．【材料】因式分解：解：把看成一个整体，令，则原式，再将重新代入，得：原式上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．请你解答下列问题：(1)根据材料，利用配方法进行因式分解：；(2)根据材料，利用“整体思想”进行因式分解：；(3)当，，分别为的三边时，且满足时，判断的形状并说明理由．16．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”．[解决问题](1)已知29是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式______；(2)若可配方成（m、n为常数），则______；[探究问题](3)已知，则______；(4)已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．[拓展结论](5)已知实数x、y满足，求的最值．17．阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值，最小值等．例分解因式：；又例如：求代数式的最小值：；又；当时，有最小值，最小值是．根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题：(1)分解因式：___________；(2)已知的三边长、、都是正整数，且满足求边长的最小值；(3)当、为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值．18．【实践探究】小青同学在学习“因式分解”时，用如图所示编号为的四种长方体各若干块，进行实践探究：(1)现取其中两个拼成如图所示的大长方体，请根据体积的不同表示方法，写出一个代数恒等式：；(2)【问题解决】若要用这四种长方体拼成一个棱长为的正方体，其中号长方体和号长方体各需要多少个?试通过计算说明理由；(3)【拓展延伸】如图3，在一个棱长为的正方体中挖出一个棱长为的正方体，请根据体积的不同表示方法，直接写出因式分解的结果，并利用此结果解决问题：已知与分别是两个大小不同正方体的棱长，且，当为整数时，求的值．19．材料：对一个图形通过两种不同的方法计算它的面积或体积，可以得到一个数学等式．(1)如图1，将一个边长为a的正方形纸片剪去-一个边长为b的小正方形，根据剩下部分的面积，可得一个关于a，b的等式：__________．请类比上述探究过程，解答下列问题：(2)如图2，将一个棱长为a的正方体木块挖去一个棱长为b的小正方体，根据剩下部分的体积，可以得到等式：__________，将等式右边因式分解，即__________；(3)根据以上探究的结果，①如图3所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数．．．，按此规律拼叠到正方形，其边长为19，求阴影部分的面积．②计算：20．(1)【阅读与思考】整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：．我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行．像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为．请同学们认真观察和思考，尝试在图3的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式：__________．(2)【理解与应用】请你仔细体会