广东省揭阳市两校2024-2025学年高三上学期8月联考数学试题（解析版）

2024—2025学年度8月底高三两校联考数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用交集的定义，将两个集合的条件联立即可得到结果.【详解】由，或，知.故选：C.2.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据分式不等式和一元二次不等式的解法，结合充分条件和必要条件的定义即可得解.【详解】由得，解得，由得，所以，解得，所以“”是“”成立的必要不充分条件.故选：B3.已知函数的值域为R，那么实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出函数的值域，而的值域为，进而得，由此可求出的取值范围.【详解】解：因为函数的值域为，而的值域为，所以函数的值域包含,所以，解得，故选：B4.如图，已知，，点C在函数的图象上，点D在函数的图象上，若四边形为正方形，则（）A. B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，求出及，进而求出点的坐标即可得解.【详解】依题意，，由四边形为正方形，得，则点，而点在函数的图象上，即，解得，经验证符合题意，所以.故选：B5.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将所给三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值.【详解】由题意可得：，则：，，从而有：，即.故选：B.【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题.6.神舟十二号载人飞船搭载3名宇航员进入太空，在中国空间站完成了为期三个月的太空驻留任务，期间进行了很多空间实验，目前已经顺利返回地球．在太空中水资源有限，要通过回收水的方法制造可用水．回收水是将宇航员的尿液、汗液和太空中的水收集起来经过特殊的净水器处理成饮用水，循环使用．净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需要过滤的次数为（）（参考数据）A.10 B.12 C.14 D.16【答案】C【解析】【分析】由指数、对数的运算性质求解即可【详解】设过滤次数为，原来水中杂质为1，则，即，所以，所以，所以，因为，所以的最小值为14，则至少要过滤14次．故选：C.7.设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于A，B两点，且，，则椭圆E的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设，根据椭圆定义结合勾股定理解得，进而可得，在△中，利用勾股定理列式求解即可.【详解】设，因为，则，，由椭圆的定义可得，，因为，即，在中，则，即，解得，可得，在△中，可得，整理得，所以椭圆E的离心率为.故选：B．8.已知数列满足，前n项和为，，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，求出，再利用等比数列前n项和公式计算即得.【详解】数列中，，由，得，，则有，因此数列是以1为首项，2为公比的等比数列，数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以.故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列大小关系正确的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】A、B选项画出和的图象，数形结合进行比较，C选项构造函数，借助单调性进行判断，D选项作减法，借助对数运算及基本不等式进行比较.【详解】作出和的图象，如图所示，由图象可得，当时，，当时，，，，故A，B正确.令，则，在上单调递减，所以，故C错误.，所以，故D正确.故选：ABD10.已知函数，则（）A.的最小正周期为B.函数的图象不可能关于点对称C.当时，函数在上单调递增D.若函数在上存在零点，则实数a的取值范围是【答案】BCD【解析】【分析】利用周期的定义判断A；利用对称性的概念判断B；利用复合函数的单调性判断C；设，得在上有解，结合函数的单调性可判断D.【详解】对于A，，则当时，，A错误；对于B，，则函数的图象不关于点对称，B正确；对于C，当时，，设，当时，单调递增且，又函数在上单调递增，因此函数在上单调递增，C正确；对于D，由，设，则当时，，又在上有解，即方程在上有解，得在上有解，而在上单调递减，则，D正确.故选：BCD11.已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数t的可能取值为（）A.1 B. C.3 D.4【答案】CD【解析】【分析】令，则，可判断是奇函数且单调递增，不等式可变形得，所以，令，换元法求出的最大值，即可．【详解】令，则，的定义域为，，所以，所以是奇函数，不等式等价于，即，当时单调递增，可得单调递增，单调递增，单调递减，所以在(0,+∞)单调递增，又因为为奇函数且定义域为，所以在上单调递增，所以，即，令，只需，令，则，，所以，对称轴为，所以时，，所以，可得实数的可能取值为3或4.故选：CD．【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是构造函数，且是奇函数且是增函数，去掉外层函数，将原不等式转化为函数恒成立问题．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.定义运算则不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】由题意可得：对任意恒成立，分和两种情况，结合一元二次不等式恒成立问题分析求解.【详解】由题意可得对任意恒成立，若，则，符合题意，即成立；若，则，解得；综上所述：实数的取值范围是.故答案为：.13.已知过原点O的直线与交于A，B两点（A点在B点左侧），过A作x轴的垂线与函数交于C点，过B点作x轴的垂线与函数交于D点，当平行于x轴时，点A的横坐标为__________.【答案】2【解析】【分析】设出点的坐标，表示出点的坐标，再由直线过原点及平行于x轴列式计算即得.【详解】设，则，而，由平行于x轴，得，解得，于是，整理，即，解得，所以点A的横坐标为2.故答案为：214.已知是定义在R上的单调函数，对x∈R恒成立，则的值为_______．【答案】9【解析】【分析】先根据函数的单调性与恒成立，求出函数的解析式即可．【详解】因为函数y=fx是定义在R上的单调函数，且对x所以存在常数，使得，则，即，又因为，则，注意到在上单调递增，且，可得，所以，即.故答案为：9.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，．（1）求角B的大小；（2）若的面积，设D是BC的中点，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)结合已知条件和正弦定理边化角，三角恒等变换即可求出B；(2)根据三角形面积公式求出a，根据余弦定理求出b.和分别由正弦定理表示出和，根据，即可得.【小问1详解】∵，∴由正弦定理得，，即，即，即，即，，，，∵B∈0,【小问2详解】，.在中，由正弦定理得，，在中，由正弦定理得，，，，∴.16.如图，在四棱台中，底面是菱形，，，平面.（1）证明：BDCC1；（2）棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，【解析】【分析】（1）连接,根据题意证得和，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得；（2）取中点，连接，以为原点，建立空间直角坐标系，假设点存在，设点，求得平面和的一个法向量和，结合向量的夹角公式，列出方程，求得，即可求解.【小问1详解】证明:如图所示，连接,因为为棱台，所以四点共面，又因为四边形为菱形，所以，因为平面，平面，所以，又因为且平面，所以平面，因为平面，所以.【小问2详解】解：取中点，连接，因为底面是菱形，且，所以是正三角形，所以，即，由于平面，以为原点，分别以为轴、轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则假设点存在，设点的坐标为，其中，可得设平面的法向量，则，取，可得，所以.又由平面的法向量为，所以，解得由于二面角为锐角，则点在线段上，所以，即故上存在点，当时，二面角的余弦值为.17.设函数，满足：①；②对任意，恒成立．（1）求函数的解析式．（2）设矩形的一边在轴上，顶点，在函数的图象上．设矩形的面积为，求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用待定系数法，结合题设条件即可得解；（2）先利用导数判断的图象性质，从而利用矩形面积公式得到关于的表达式，从而得证.【小问1详解】因为，由，得，则；由，得，恒成立，即恒成立，所以，所以，所以；【小问2详解】因为，令，得；令，得；所以在单调递增，单调递减．不妨设，，由知，那么，；故，因为，所以．18.已知函数是奇函数.（e是自然对数的底）（1）求实数k的值；（2）若时，关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围；（3）设，对任意实数，若以a，b，c为长度的线段可以构成三角形时，均有以，，为长度的线段也能构成三角形，求实数n的最大值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据求出，再检验的奇偶性；（2）若，将关于x的不等式恒成立，转化为恒成立，利用基本不等式得，从而可得；（3）化简，设，得，且，根据题意得恒成立，根据基本不等式得，由求出的最大值即为的最大值.【小问1详解】因为是奇函数，且定义域为R，所以，即，解得.经检验，此时是奇函数所以.【小问2详解】由（1）知，由时，恒成立，得，因为，所以，设，因为，当且仅当时，等号成立，又，所以，故，所以.【小问3详解】由题意得：不妨设，以a，b，c为长度的线段可以构成三角形，即，且，以，，为长度的线段也能构成三角形，则恒成立，得恒成立，因为，仅当a=b时前一个等号成立，所以，即，于是n的最大值为.19.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若不等式恒成立，求的取值范围；（3）当时，试判断函数的零点个数，并给出证明．【答案】（1）答案见解析（2）（3）有且仅有2个零点，证明见解析【解析】【分析】（1）对求导，再分与两种情况分类讨论的单调性即可求解；（2）根据条件，分离常量得到，构造，将问题转化成求的最大值，即可解决问题；（3）构造函数，利用导数研究函数的单调性，结合零点存在定理即可求解．【小问1详解】因为，所以，当时，恒成立，所以；当时，令，解得（舍去负根），令，得；令，得．综上所述，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增．【小问2详解】由恒成立，得上恒成立，所以在上恒成立．令，则．令，易知在上单调递减．又，所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，也是最大值，即，所以，即的取值范围为．【小问3详解】当时，，则，令，则，当时，，所以在上单调递减．又，所以在上存在唯一的零点．设在上的零点为，可得当时，，单调递增；当时，单调递减，解法一：，因为，所以，故．又，所以．又，所以在上有一个零点．又，所以在上有一个零点．当时，，所以在上没有零点．当时，令，则，所以在上单调递减，所以，所以，所以，而，所以，故在上没有零点．综上