黑龙江省哈尔滨市第九中学校2024-2025学年高二上学期八月学业阶段性评价考试数学试卷（原卷版）

哈尔滨市第九中学2024—2025学年度上学期八月学业阶段性评价考试高二数学学科考试试卷（考试时间：120分钟满分：150分共2页）第Ⅰ卷（共58分）一、单选题（共8小题，每小题5分，每小题只有一个选项符合题意）1.已知是虚数单位，若和互为共轭复数，则复数模为（）A.2 B. C.10 D.2.已知一个圆锥的底面半径与母线长之比为，其高为，则圆锥的表面积为（）A. B. C. D.3.已知向量，则向量在向量上投影向量为（）A B. C. D.4.如图，在中，已知，P为上一点，且满足，则实数m的值为（）A. B. C. D.5.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示．为了了解该地区中小学生近视情况形成的原因，采用分层抽样的方法抽取部分学生进行调查，若抽取的小学生人数为70，则抽取的高中生中近视人数为（）A.10 B.20 C.25 D.406.圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，在它们之间的地面上距离约为的点（B，M，D三点共线）处测得楼顶A、教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则估算索菲亚教堂的高度CD约为（）A. B. C. D.7.抛掷一枚质地均匀的硬币次，记事件“次中既有正面朝上又有反面朝上”，“次中至多有一次正面朝上”，下列说法不正确的是（）A.当时， B.当时，事件与事件不独立C.当时， D.当时，事件与事件不独立8.与都是边长为2的正三角形，沿公共边折叠成的二面角，若点A，B，C，D在同一球的球面上，则球的表面积为（）A. B. C. D.二、多选题（共3小题，每小题有多个选项符合题意，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下列说法正确的是（）A.，B.若（a，），则C.若，，则的最小值为1D.若是关于x的方程（p，）的根，则10.在中，设角所对的边分别为a,b,c，则下列命题一定成立的是（）A.若，则是锐角三角形B.若，，，则有唯一解C.若是锐角三角形，，，设的面积为S，则D.若是锐角三角形，则11.如图所示，正方体的棱长为2，分别为的中点，点是正方形内的动点，下列说法正确的是（）A.B.与平面所成角的正弦值为C.存点使得⊥平面D.若平面，则点的轨迹长度为第Ⅱ卷（共92分）三、填空题（共3小题，每小题5分）12.平均数､中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关.在下图分布形态中，分别对应这组数据的中位数､平均数和众数，则的大小关系为__________.13.已知平面向量，，，正实数，满足，与的夹角为，且，则的最小值为_________________.14.若一组样本数据的平均数为10，另一组样本数据的方差为8，则两组样本数据合并为一组样本数据后的平均数是__________，方差是__________.四、解答题（共5小题，总计77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.如图，四棱锥的底面是菱形，，底面，，分别是，的中点，为上一点，且．（1）证明：平面；（2）若，三棱锥的体积为，求.16.甲、乙、丙三人组成一个小组代表学校参加一个“诗词大会”闯关活动团体赛.三人各自独立闯关，在第一轮比赛中甲闯关成功的概率为，甲、乙都闯关成功的概率为，甲、丙都闯关成功的概率为，每人闯关成功记分，三人得分之和记为小组团体总分.（1）求乙、丙各自闯关成功的概率；（2）求在第一轮比赛中团体总分为分概率；（3）若团体总分不小于分，则小组可参加下一轮比赛，求该小组参加下一轮比赛的概率.17.记的角的对边分别为，已知.（1）求；（2）若点是边上一点，且，求的值.18.某工厂生产某种电子产品配件，关键环节是需要焊接“接线盒”，焊接是否成功直接导致产品“合格”与“不合格”，公司检验组经过大量后期出厂检测发现“不合格”产品和“合格”产品的性能指标有明显差异，在两类产品中各随机抽取50件产品的性能指标作为样本，得到如下的“不合格”产品和“合格”产品该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值，将该指标大于的产品判定为“不合格”，小于或等于的产品判定为“合格”.此检测标准的漏检率是将“不合格”产品判定为“合格”产品的概率，记为；错检率是将“合格”产品判定为“不合格”产品的概率，记为.假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.（1）从指标在区间样本中随机抽取2件产品，求恰好一件是不合格一件是合格的概率.（2）当漏检率时，求临界值和错检率；（3）设函数，当时，求的解析式，并求在区间的最小值.19.如下图，在中，，，D