黑龙江省齐齐哈尔市多校2024-2025学年高三第一次联考（月考）数学试题（解析）

2024～2025学年高三第一次联考（月考）试卷数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：集合、常用逻辑用语、不等式、函数、导数及其应用.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则集合的真子集的个数为（）A.7 B.8 C.31 D.32【答案】A【解析】【分析】计算出然后计算真子集个数即可.【详解】由题得所以，有是三个元素，所以真子集个数为.故选：A2.已知，，则“，”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】【分析】由，，可得，而得不出，，可得结论.【详解】因为，，则“，，所以，所以“，”是“”的充分条件；当，可满足，所以“，”是“”的不必要条件.故选：A.3.国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量与时间（小时）的关系为（为最初污染物数量，且）.如果前4个小时消除了的污染物，那么污染物消除至最初的还需要（）A.3.8小时 B.4小时 C.4.4小时 D.5小时【答案】B【解析】【分析】由题意可得，再令，解出可得，即可得解.【详解】由题意可知，即有，令，则有，解得，，故还需要4小时才能消除至最初的.故选：B.4.若函数的值域为，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据的值域为，可得函数的值域应包含，利用即可得解.【详解】函数的值域为，则函数的值域应包含，则有，解得或，所以的取值范围是.故选：D.5.已知点在幂函数的图象上，设，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】点在幂函数的图象上，求出解析式，判断单调性，通过比较指数式与对数式的大小，由单调性判断函数值的大小.【详解】点在幂函数的图象上，则有，解得，有，则在R上单调递增.由，，则，所以，即.故选：C.6.已知函数，若关于的不等式的解集为，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可得：当时，，当，，当，，再借助导数研究函数单调性与二次函数的性质计算即可得解.详解】由题意知，当时，恒成立，即恒成立，即有在上恒成立，令，则，故当时，，当，，即在上单调递减，在上单调递增，即，即有；当时，，由题意可得，当，，当，，则有当，，当，，分别解得，，即；综上所述：.故选：D.7.设函数,的零点分别为、,则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意可得是函数的图象和的图象的交点的横坐标，是的图象和函数的图象的交点的横坐标，根据，求得，从而得出结论．【详解】由题意可得是函数的图象和的图象的交点的横坐标，是的图象和函数的图象的交点的横坐标，且，都是正实数，如图所示：故有，故，，，，故选：B．【点睛】本题考查对数函数、指数函数的图象和性质应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．8.已知，，，且，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意可得，利用换元法可将原式变形再利用基本不等式即可求得结果.【详解】由可得，且因此，令，则；又；当且仅当时，即时，等号成立；此时的最小值为.故选：C【点睛】关键点点睛：本题关键在于将未知数个数减少，并合理变形利用基本不等式求解.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.函数与是相同的函数B.函数的最小值为6C.若函数在定义域上为奇函数，则D.已知函数的定义域为，则函数的定义域为【答案】ACD【解析】【分析】根据定义域以及对应关系即可判断A，由基本不等式即可求解B，根据奇函数的性质即可求解C，由抽象函数定义域的性质即可求解D.【详解】对于A，由题意可得，解得，所以的定义域为，．由得，所以的定义域为,．又因为，故函数与是相同的函数，故A正确．对于B,，当且仅当时取等号．由于方程无解，故等号不成立，故B错误．对于C,若为定义域上为奇函数，故定义域需要满足，则，否则，定义域不关于原点对称，进而可得定义域为,故，解得，经检验符合题意，故C正确，对于D，对于已知函数f2x+1的定义域为，则，故，则函数的定义域为，D正确，故选：ACD．10.若，且，则下列说法正确的是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】根据不等式的性质判断ABC，利用特例判断D.【详解】因为，且，所以，所以，即，故A正确；因为，，所以，故B错误；因为，所以，故C正确；当时满足题设条件，但不成立，故D错误.故选：AC11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.若在上单调递增，则的取值范围是B.点为曲线的对称中心C.若过点可作出曲线的三条切线，则的取值范围是D.若存在极值点，且，其中，则【答案】BCD【解析】【分析】对于A，求导可得对恒成立，可求以的取值范围判断A；对于B，通过平移可得，令，可得为奇函数可判断B；对于C，将代入得到的解析式，根据过某点处导数的几何意义的求法求解即可判断C；对于D，利用导数在函数单调性中的应用，先分和讨论函数的单调性，得到且，此时可得的表达式，令，结合，再化简即可得到答案可判断D.【详解】对于A，由，可得，若在上单调递增，则对恒成立，所以对恒成立，所以对恒成立，所以，所以的取值范围是，故A错误；对于B，由，可得，又，所以，令，又，所以关于原点对称，所以点为曲线的对称中心，故B正确；对于C，因为，，所以，所以，设切点为，则切线的斜率，化简得，由条件可知该方程有三个实根，所以有三个实根，记，所以，令，解得或，当，，所以在上单调递增，当，，所以在上单调递减，当，，所以在上单调递增，当时取得极大值，当时，取得极小值，因为过点可作出曲线的三条切线，所以，解得，故选项C正确；对于D，因为，所以，当，在上单调递增；当，由，解得或，由，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；因为存在极值点，所以，得，令，所以，因为，于是，所以，化简得：，因为，所以，于是，.所以，故选项D正确.故选：BCD.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的恒成立问题的求解策略:形如的恒成立的求解策略：1、构造函数法：令，利用导数求得函数的单调性与最小值，只需恒成立即可；2、参数分离法：转化为或恒成立，即或恒成立，只需利用导数求得函数的单调性与最值即可；3，数形结合法：结合函数的图象在的图象的上方（或下方），进而得到不等式恒成立.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12._________.【答案】##【解析】【分析】直接根据指数、对数的运算性质计算即可．【详解】．故答案为：．13.已知函数y=x称为高斯函数，表示不超过的最大整数，如，，则不等式的解集为______；当时，的最大值为______.【答案】①.②.【解析】【分析】解分式不等式可得，再结合x定义可得空一；分x∈0,1及，结合基本不等式计算可得空二.【详解】由，即，解得，又x表示不超过的最大整数，故；当x∈0,1时，，则，当时，，当且仅当，即时，等号成立，即当时，的最大值为.故答案为：；.14.设函数，若，则的最小值为_________.【答案】##【解析】【分析】根据恒成立得出条件等式，即可构造函数，再借助导数研究其最小值即可得.【详解】当时，，则，即，当时，，则，即，即有，即，则，令，，，则当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，故，即的最小值为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题、共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知全集，集合，.（1）若，求和；（2）若，求的取值范围.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）分别计算出集合及集合后，结合集合交集定义与补集定义即可得；（2）由可得，分与计算即可得解.【小问1详解】若，则，，则，；【小问2详解】由，则，当时，即恒成立，即；当时，即时，，由，则有或，分别解得，无解，故；综上所述：.16.已知关于的不等式的解集为.（1）求，的值；（2）若，，且，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）结合二次不等式与二次方程的关系可求；（2）利用乘1法，结合基本不等式可求．【小问1详解】不等式的解集为，和是方程的两个实数根，且，，解得；【小问2详解】（2）由（1）知，于是有，，，所以当且仅当且，即等号成立，故的最小值为17.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若对任意的恒成立，求的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）求导后，分、、及进行讨论即可得；（2）可将原问题转化为对任意的恒成立，构造函数，借助导数分及计算其最小值即可得.【小问1详解】，当时，恒成立，故当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增；当时，令，解得或，则当，即时，恒成立，即在上单调递增；当，即时，当时，，当时，，故在、上单调递增，在上单调递减；当，即时，当时，，当时，，故在、上单调递增，在上单调递减；综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在、上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在、上单调递增，在上单调递减；【小问2详解】由题意可得对任意的恒成立，即对任意的恒成立，即对任意的恒成立，令，，则，当时，恒成立，故在上单调递增，则，符合要求；当时，令，解得，即当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增，即，则有，令，即，令，，则，即在上单调递减，即，即当时，恒成立，不符合要求；综上所述，.18.已知函数是定义在上的奇函数.（1）求的值，并证明：在上单调递增；（2）求不等式的解集；（3）若在区间上的最小值为，求的值.【答案】（1）（2）或；（3）或．【解析】【分析】（1）由奇函数性质得，解出；由单调性的定义即可求解，（2）由函数单调性、奇偶性可把不等式转化为具体不等式，解出即可；（3），令，可化为关于的二次函数，分情况讨论其最小值，令最小值为，解出即可；【小问1详解】是定义域为上的奇函数，，，，，此时，经检验，符合题意；函数的定义域为，在上任取，，且，函数在上单调递增，【小问2详解】由（1）可知，且在上单调递增的奇函数，由可得，，即，或，不等式的解集为或；小问3详解】，．令，，，，当时，当时，，则（舍去）；当时，当时，，解得，符合要求，综上可知或．19.已知函数.（1）若，求图象在处的切线方程；（2）若恰有两个极值点，（i）求的取值范围；（ii）证明：.【答案】（1）（2）（i）；（ii）证明见解析【解析】【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得；（2）（i）求导后结合二次函数的性质与极值点定义计算即可得；（ii）结合韦达定理可将证明转化为证明函数在上恒成立，借助导数结合零点