湖南省平江县颐华高级中学2024-2025学年高二上学期入学考试数学试题

颐华学校2023级高二入学检测——数学试卷姓名：___________班级：___________考号：___________时量：120分钟满分：150分一、单选题（本大题共8小题，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1．已知，则（）A． B． C． D．2．设向量，则（）A． B． C． D．3．若，则是的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．如图所示，在长方体中，，点分别是，的中点，则异面直线与所成的角是（）A． B． C． D．5．已知按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：27，30，37，a，40，50；乙组：24，b，33，44，48，52．若这两组数据的第30百分位数对应相等，第50百分位数也对应相等，则（）A．75 B．70 C．65 D．606．1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式：（是自然对数的底，是虚数单位），这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被称为“数学中的天桥”，下列说法正确的是（）A． B． C． D．7．若一个圆柱的内切球（与圆柱的两底面以及每条母线均相切）的表面积为，则这个圆柱的体积为（）A． B．2 C． D．8．已知直角梯形中，是腰上的动点，则的最小值为（）A． B． C．4 D．5二、多选题（本大题共3小题，共18分．在每小题有多项符合题目要求）9．对于，有如下判断，其中正确的是（）A．若，则B．若，则为等腰三角形C．若，则是针角三角形D．若，则符合条件的有两个10．已知函数的图象过点，若函数的从小到大的四个不同的零点依次为，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．11．如图，正方体的棱长为是侧面上的一个动点（含边界），点在棱上，且，则下列结论正确的有（）A．沿正方体的表面从点到点的最短距离为B．保持与垂直时，点的运动轨迹长度为C．若保持，则点的运动轨迹长度为D．平面被正方体截得截面为等腰梯形三、填空题（本大题共3小题，共15分）12．已知集合，集合，若，则实数的取值范围是____________．13．已知二次函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是____________．14．如图，在四棱锥中，底面为矩形，为的中点．若，当四棱锥的体积取到最大值时，点到平面的距离为____________．四、解答题（本大题共5个小题，，13+15+15+17+17=77分．解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）15．已知平面向量，且函数．（1）求函数的最小正周期及单调递减区间；（2）求函数在区间上的最大值和最小值．16．已知中，分别为角的对边，，且．（1）求角的大小；（2）求的取值范围．17．定义在上的函数满足，且当时，．（1）求的值；（2）证明：在上单调递减；（3）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．18．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧棱底面，是的中点，作交于点．（1）求三棱锥的体积；（2）求证：平面；（3）求平面与平面所成夹角的大小．19．某校象棋社团组织了一场象棋对抗赛，参与比赛的40名同学分为10组，每组共4名同学进行单循环比赛．已知甲、乙、丙、丁4名同学所在小组的赛程如表．规定：每场比赛获胜的同学得3分，输的同学不得分，平局的2名同学均得1分，三轮比赛结束后以总分排名，每组总分排名前两位的同学可以获得奖励．若出现总分相同的情况，则以抽签的方式确定排名（抽签的胜者排在负者前面），且抽签时每人胜利的概率均为．假设甲、乙、丙3名同学水平相当，彼此间胜、负、平的概率均为．丁同学的水平较弱，面对任意一名同学时自己胜、负、平的概率都分别为．每场比赛结果相互独立．第一轮甲—乙丙—丁第二轮甲—丙乙—丁第三轮甲—丁乙—丙（1）求丁同学的总分为5分的概率；（2）已知三轮比赛中丁同学获得两胜一平，且第一轮比赛中丙、丁2名同学是平局，求甲同学能获得奖励的概率．参考答案一、单选题（本大题共8小题，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1．C2．D3．A4．D5．B6．B7．A8．D二、多选题（本大题共3小题，共18分．在每小题有多项符合题目要求）9．ABC10．AB因为，的图象过点，所以，解得，所以因为函数从小到大的四个不同的零点依次为，所以关于的方程从小到大的四个不同的实根依次为，即函数的图象与直线有四个交点，四个交点的横坐标从小到大依次为．作出函数的图象，如图中实线所示，由图易知．易知，所以，所以，所以，故A正确．易知，即，故B正确．因为，所以，设，则函数在上单调递减，所以，所以，故C不正确．，设，则函数在上单调递减，所以，所以，故D不正确．综上，结论正确的为AB．11．BCD对于A，将正方体的下面和侧面展开可得如图图形，连接，则，故A错误；对于B，如图：平面平面，，又，平面，平面平面．，同理可得，平面．平面．过点作交交于，过作交交于，由，可得平面，平面，平面，同理可得平面．则平面平面．设平面交平面于，则的运动轨迹为线段，由点在棱上，且，可得，，故B正确；对于C，如图：若，则在以为球心，为半径的球面上，过点作平面，则，此时．点在以为圆心，2为半径的圆弧上，此时圆心角为．点的运动轨迹长度，故C正确；对于D，如图：延长交于点，连接交于，连接，平面被正方体截得的截面为．，．，，，且，截面为梯形，截面为等腰梯形，故D正确．故选：BCD．三、填空题（本大题共3小题，共15分）12．13．的对称轴是，时，开口向下，，在递减，符合题意，时，若在单调，只需或，解得：或，综上，14．【解析】由题可得，当底面时，四棱锥的体积取到最大值，如图，取中点，取中点，连接，因为底面为的中点，为的中点，所以，所以底面，则，又由底面底面，所以，因为矩形，则，又平面，所以平面，又为的中点．为的中点，所以，则平面，则，又，所以，又，因为平面，，所以平面，又平面，所以，设点到平面的距离为，所以，则．故点到平面的距离为．四、解答题（本大题共5个小题，13+15+15+17+17=77分．解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）15．（1），的最小正周期．由，得，的单调递减区间为．（2），，当，即时，函数取得最小值，为；当，即时，函数取得最大值，为．故函数在区间上的最大值为最小值为0．16．解：（1）（法一）因为，由余弦定理，为钝角．因为，又，所以，解之，得．（法二）因为而，由余弦定理，为钝角，所以，又，所以．（2）（法一）由（1），得．根据正弦定理，又，所以，从而的取值范围为．（法二）由（1），，根据余弦定理，所以，．又．所以的取值范围为．17．（1），令，则（1），证明：（2）由可得，设，，即，所以在上单调递减；（3）因为，所以，由（2）得恒成立，令，则可化为对任意恒成立，且，．18．解：（1）取中点，连接．在中，分别为的中点，为的中位线．，且．又，．底面，底面．；（2）证明：底面，且平面，．底面是正方形，．又平面，平面．又平面．，且，是等腰直角三角形．又是的中点，．又平面，平面．平面，．，又平面，平面；（3）由（2）可知，故是平面与平面所成的二面角的平面角．，．在中，，又平面平面，在中，，．故平面与平面所成的二面角的大小为．解：（Ⅰ）证明：以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如图所示，则，，由已知平面，平面，平面；（Ⅱ）设平面的一个法向量为，，则有令，则；设平面的一个法向量为，，则有，令，则，设平面与平面的夹角的大小为，，平面与平面的夹角的大小为；19．【解题思路】（1）丁同学总分为5分，则丁同学三轮比赛结果为一胜两平，记第轮比赛丁同学胜、平的事件分别为，，丁同学三轮比赛结果为一胜两平的事件为，则，即丁同学的总分为5分的概率为．（2）由于丁同学获得两胜一平，且第一轮比赛中丙、丁2名同学是平局，则在第二、三轮比赛中，丁同学对战乙、甲同学均获胜，故丁同学的总分为7分，且同丁同学比赛后，甲、乙、丙三人分别获得0分、0分、1分，若甲同学获得奖励，则甲最终排名为第二名．①若第一、二轮比赛中甲同学均获胜，则第三轮比赛中无论乙、丙两位同学比赛结果如何，甲同学的总分为6分，排第二名，可以获得奖励，此时的概率．②若第一轮比赛中甲同学获胜，第二轮比赛中甲、丙2名同学平局，第三轮比赛中乙、丙2名同学平局或乙同学获胜，甲同学的总分为4分，排第二名，可以获得