2.1.2 一元二次方程的解集及根与系数的关系“四基”测试题-2021-2022学年高一上学期数学沪教版(2020)必修第一册

四基：基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验【建议用时：40分钟】《第2章等式与不等式》【2.1.2一元二次方程的解集及根与系数的关系】一、选择题（每小题6分，共12分）1、若关于x的方程mx2＋(2m＋1)x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）2、已知x1，x2是关于x的方程x2＋bx－3＝0的两根，且满足x1＋x2－3x1x2＝5，那么b的值为（）A．4B．－4C．3D．－3二、填充题（每小题10分，共60分）3、关于x的一元二次方程(m－2)x2＋x＋m2－4＝0有一个根为0，则m的值应为________．4、已知关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋eq\f(m,4)＝0有两个不相等的实数根x1，x2.若eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)＝4m，则m的值是5、设x1，x2是一元二次方程x2－mx－6＝0的两个根(x1<x2)，且x1＋x2＝1，则x1＝______，x2＝________.6、已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－5x＋a＝0的两个实数根，且xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2)＝10，则a＝________.7、若实数a，b满足(4a＋4b)(4a＋4b－2)－8＝0，则a＋b＝8、若△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2－8x＋15＝0的根，则△ABC的周长是________．三、解答题（第9题12分，第10题16分）9、若x1，x2是方程x2＋2x－2007＝0的两个根，试求下列各式的值：（1）xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)；（2）eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)；（3）(x1－5)(x2－5)；（4）|x1－x2|.10、阅读材料，解答问题．为解方程(x2－1)2－3(x2－1)＝0，我们可以将x2－1视为一个整体，然后设x2－1＝y，则(x2－1)2＝y2，原方程化为y2－3y＝0，解得y1＝0，y2＝3.当y＝0时，x2－1＝0，所以x2＝1，x＝±1；当y＝3时，x2－1＝3，所以x2＝4，x＝±2；所以原方程的解为x1＝1，x2＝－1，x3＝2，x4＝－2；[问题]解方程：(x2＋3)2－4(x2＋3)＝0；【附录】相关考点考点一一元二次方程的根考点二韦达定理若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根，则x1＋x2＝－eq\f(b,a)，x1x2＝eq\f(c,a)；【教师版】《第2章等式与不等式》【2.1.2一元二次方程的解集及根与系数的关系】一、选择题（每小题6分，共12分）1、若关于x的方程mx2＋(2m＋1)x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A．m<eq\f(1,4)B．m>－eq\f(1,4)C．m<eq\f(1,4)，且m≠0 D．m>－eq\f(1,4)，且m≠0【提示】注意审题“两个不相等的实数根”；【答案】D；【解析】由题意，则需m≠0，且Δ＝(2m＋1)2－4m2＝4m2＋4m＋1－4m2＝4m＋1>0，解得m>－eq\f(1,4)，且m≠0；【考点】一元二次方程的根；注意：本题主要考查，一元二次方程的定义：形如ax2＋bx＋c＝0的方程为一元二次方程，其中a，b，c是常数，且a≠0。2、已知x1，x2是关于x的方程x2＋bx－3＝0的两根，且满足x1＋x2－3x1x2＝5，那么b的值为（）A．4B．－4C．3D．－3【答案】A；【解析】由题知，x1＋x2＝－b，x1x2＝－3，则x1＋x2－3x1x2＝－b－3×(－3)＝5，解得b＝4；【考点】韦达定理；本题主要考查一元二次方程根与系数的关系；二、填充题（每小题10分，共60分）3、关于x的一元二次方程(m－2)x2＋x＋m2－4＝0有一个根为0，则m的值应为________．【答案】－2；【解析】因为关于x的一元二次方程(m－2)x2＋x＋m2－4＝0有一个根为0，所以m2－4＝0且m－2≠0，解得m＝－2；【考点】方程的根与一元二次方程根的解法；本题将方程的根与解方程进行了交汇；4、已知关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋eq\f(m,4)＝0有两个不相等的实数根x1，x2.若eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)＝4m，则m的值是【答案】2；【解析】由题知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≠0，,Δ＝m＋22－4m·\f(m,4)>0，))解得m>－1且m≠0；因为，x1＋x2＝eq\f(m＋2,m)，x1x2＝eq\f(1,4)，所以，eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)＝eq\f(x1＋x2,x1x2)＝eq\f(\f(m＋2,m),\f(1,4))＝4m，所以，m＝2或－1，又因为m>－1且m≠0，所以，m＝2；【考点】一元二次方程的解法与韦达定理；本题主要考查一元二次方程根与系数的关系；5、设x1，x2是一元二次方程x2－mx－6＝0的两个根(x1<x2)，且x1＋x2＝1，则x1＝______，x2＝________.【答案】－2；3；【解析】由题知，x1＋x2＝m＝1，则原方程为x2－x－6＝0，解得x1＝－2，x2＝3.【考点】韦达定理；本题主要考查一元二次方程根与系数的关系；6、已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－5x＋a＝0的两个实数根，且xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2)＝10，则a＝________.【提示】注意根据题设，结合根与系数关系建立有关参数的等式；【答案】eq\f(21,4)【解析】由题知，x1＋x2＝5，x1x2＝a；因为，xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2)＝(x1＋x2)(x1－x2)＝10，所以，x1－x2＝2，所以，(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝25－4a＝4，则a＝eq\f(21,4)；【考点】一元二次方程的解法与韦达定理；4．7、若实数a，b满足(4a＋4b)(4a＋4b－2)－8＝0，则a＋b＝【提示】注意通过仔细审题进行转化；【答案】－eq\f(1,2)或1；【解析】解得x1＝－eq\f(1,2)，x2＝1；则a＋b＝－eq\f(1,2)或1；【考点】一元二次方程的解法与换元法；8、若△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2－8x＋15＝0的根，则△ABC的周长是________．【答案】8；【解析】x2－8x＋15＝0，即(x－5)(x－3)＝0，所以，x1＝3，x2＝5.又因为△ABC的两边长分别为2，3，所以，x≠5，即x＝3；所以，△ABC的周长为2＋3＋3＝8；【考点】一元二次方程的解法与三角形性质的交汇；三、解答题（第9题12分，第10题16分）9、若x1，x2是方程x2＋2x－2007＝0的两个根，试求下列各式的值：（1）xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)；（2）eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)；（3）(x1－5)(x2－5)；（4）|x1－x2|.【解析】x1＋x2＝－2，x1x2＝－2007，（1）xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－2)2－2×(－2007)＝4018.（2）eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)＝eq\f(x1＋x2,x1x2)＝eq\f(－2,－2007)＝eq\f(2,2007).（3）(x1－5)(x2－5)＝x1x2－5(x1＋x2)＋25＝－2007－5×(－2)＋25＝－1972.（4）|x1－x2|＝eq\r(x1－x22)＝eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(4＋4×2007)＝eq\r(8032)＝4eq\r(502).【考点】韦达定理；与等式性质、代数变换的整合；10、阅读材料，解答问题．为解方程(x2－1)2－3(x2－1)＝0，我们可以将x2－1视为一个整体，然后设x2－1＝y，则(x2－1)2＝y2，原方程化为y2－3y＝0，解得y1＝0，y2＝3.当y＝0时，x2－1＝0，所以x2＝1，x＝±1；当y＝3时，x2－1＝3，所以x2＝4，x＝±2；所以原方程的解为x1＝1，x2＝－1，x3＝2，x4＝－2；[问题]解方程：(x2＋3)2－4(x2＋3)＝0；【提示】注意通过阅读理解，知道解决问题的过程；【答案】{－1，1}；【解析】设x2＋3＝y，原方程可化为y2－4y＝0，即y(y－