3.2.2函数的奇偶性-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册讲义

新教材必修第一册3.2.2：函数的奇偶性课标解读：函数的奇偶性的概念.（理解）函数奇偶性的几何意义.（了解）函数奇偶性的应用.（掌握）学习指导：学习时，应类比单数单调性，先由具体函数入手，对函数奇偶性有初步认识，然后由此抽象概括并用符号语言描述奇、偶性的定义.实际上，函数的奇偶性就是平面几何中心对称图形，轴对称图形的解析表示.知识导图：知识点1：函数的奇偶性1.定义定义偶函数一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数叫做偶函数.奇函数一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数叫做奇函数.非奇非偶函数既不是奇函数又不是偶函数的函数，称为非奇非偶函数.定义域特征定义域必须是关于原点对称的区间等价形式设函数的定义域为，则有是偶函数，都有，且；是奇函数如果，都有，且.特别地，若，还可以判断是否成立.2.常见函数的奇偶性函数奇偶性一次函数当时是奇函数；当时既不是奇函数也不是偶函数反比例函数奇函数二次函数当时是偶函数；当时既不是奇函数也不是偶函数3.奇、偶函数的运算性质及复合函数的奇偶性设的定义域分别是F、G，若F=G，则有下列结论：偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数不能确定奇偶性奇函数偶函数奇函数偶函数奇函数偶函数奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数例1-1：给出下列结论：①若的定义域关于原点对称，则是偶函数；②若是偶函数，则它的定义域关于原点对称；③若，则（）是偶函数；④若（）是偶函数，则；⑤若，则（）不是偶函数；⑥既是奇函数又是偶函数的函数一定是；⑦若是定义域为R的奇函数，则.其中正确的结论是.（填序号）答案：②④⑤⑦例1-2：若函数为奇函数，则必有（）A.B.C.D.答案：B知识点2：奇、偶函数的图像特征（几何意义）1.奇函数的图像特征若一个函数是奇函数，则这个函数的图像是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，若一个函数的图像是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.2.偶函数的图像特征若一个函数是偶函数，则这个函数的图像是以轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数.3.奇、偶函数的单调性根据奇、偶函数的图像特征，我们不难得出以下结论.（1）奇函数在关于端点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性.上述结论可简记为“奇同偶异”.（2）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大（小）值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数.例2-3：下列四个结论：①偶函数的图像一定与轴相交；②奇函数的图像一定经过原点；③偶函数的图像关于轴对称；④奇函数的图像必经过点表述正确的个数是（）1B.2C.3D.4答案：A例2-4：已知偶函数在区间上单调递增，则满足的取值范围是（）.A.B.C.D.答案：A重难拓展知识点3：函数图像的对称性1.图像关于点成中心对称图像结论1：函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.一般结论：在定义域内恒满足的条件的图像的对称中心点点点2.图像关于直线成轴对称图形结论2：函数的图像关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数.一般结论：在定义域内恒满足的条件的图像的对称轴直线直线直线例3-5：在定义在函数是偶函数，且.若在区间上单调递减，则（）.A.在区间上单调递增，在区间上单调递增B.在区间上单调递增，在区间上单调递减C.在区间上单调递减，在区间上单调递增D.在区间上单调递减，在区间上单调递减答案：B变式训练：若函数满足，且的最大值为4，则.答案：例3-6：函数的图像的对称中心是（）A.（1,2）B.（-1,-2）C.（1,-2）D.（-1,2）答案：C题型与方法题型1：函数奇偶性的判断1.一般函数的奇偶性的判断例7:判断下列函数的奇偶性；；.答案：（1）既不是奇函数也不是偶函数；（2）奇函数；（3）偶函数；（4）奇函数.变式训练：已知则下列结论正确的是（）是偶函数是奇函数是偶函数是奇函数答案：D2.分段函数奇偶性的判断例8：已知函数，则（）.是奇函数是偶函数既是奇函数又是偶函数既不是奇函数也不是偶函数答案：A例9：如果是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（）.A.B.C.D.答案：B例10.（1）已知函数，若，都有，求证：为奇函数.（2）已知函数，，都有，求证：为偶函数.（3）设函数是定义在上，证明：是偶函数，是奇函数.答案：略题型2：奇、偶函数图像特征的应用例11：已知是偶函数，是奇函数，它们的定义域都是，且它们在上的图像如图所示，则不等式的解集是.答案：例12：（1）奇函数的局部图像如图所示，则与的大小关系为.（2）已知是定义在上的奇函数，当时，的图像如图所示，那么的值域是.答案：（1）（2）题型3：函数奇偶性的应用1.利用奇偶性求参数的值例13：（1）若函数是偶函数，定义域为，则=；.（2）若为偶函数，则实数=.（3）已知函数为奇函数，则=.答案：（1）0（2）4（3）-1变式训练：若函数是偶函数，且它的值域为，则该函数的解析式=.答案：2.利用奇偶性求函数的值例14：（1）已知，且，则（）.A.-26B.-18C.-10D.10（2）已知为奇函数，，则（）.A.-1B.0C.1D.2（3）设函数的最大值为M，最小值为，则M+n=.答案:（1）A（2）A（3）2例15：设是R上的奇函数，，且当时，，则等于（）A.0.5B.-0.5C.1.5D.-1.5答案：B3.利用奇偶性求分段函数形式的解析式例16：（1）已知函数为R上的偶函数，且当时，，则当时，.（2）为R上的奇函数，当时，则的解析式为.（3）已知为奇函数，则=.答案：（1）（2）（3）0变式训练：若函数是偶函数，是奇函数，，则=.答案：4.函数奇偶性的综合应用1.函数奇偶性与单调性综合例17：已知定义在R上的奇函数满足，且在区间[0,2]上单调递增，则（）A.B.C.D.答案：D例18:：（1）已知函数在定义域[-1,1]上既是奇函数，又是减函数，若，则实数的取值范围为.

（2）定义在[-2,2]上的偶函数在区间[0,2]上单调递减，若，则实数m的取值范围为.答案：（1）[0,1)（2）[-1,)2.函数奇偶性与对称性的综合例19:（1）定义在R上的函数在上单调递增，且为偶函数，则（）A.B.C.D.（2）设是定义在R上的奇函数，且的图像关于直线对称，则+.答案：（1）A（2）0易错提醒易错1：没有搞清分段函数的概念致错例20：判断函数的奇偶性.答案：既不是奇函数也不是偶函数易错2：判断含参函数的奇偶性时忽略对参数的讨论致错.例21：已知函数，为实数，判断函数的奇偶性.答案：时，是偶函数；时，既不是奇函数也不是偶函数高考链接考向1：函数奇偶性的直接考察例23：设函数，的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（）A.是偶函数B.是奇函数C.是奇函数D.是奇函数答案：B例24：设函数，是奇函数，则.答案：1例25：已知函数是定义在R上的奇函数，当时，则.答案：12例26：函数在上单调递减，且为奇函数.若，则满足的的取值范围是（）A.[-2,2]B.[-1,1]C.[0,4]D.[1,3]答案：D基础巩固1.已知一个奇函数的定义域为{-1,2,a,b}，则a+b=（）.A.-1B.1C.0D.22.下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（）.A.B.C.D.3.如图奇函数在区间[3,7]上单调递减且最小值为5，那么在区间[-7，-3]上（）.A.单调递增且最小值为-5B.单调递增且最大值为-5C.单调递减且最小值为-5D.单调递减且最大值为-54.已知偶函数在区间[-3，-1]上单调递减，则的大小关系为.5.若定义在(-1,1)上的奇函数，则常数m，n的值分别为.6.已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，.（1）现已画出在y轴及y轴左侧的图像，如图所示，请把函数的图像补充完整，并根据图像写出的单调递增区间；（2）写出函数的值域.能力提升：7.设函数和分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（）.A.是奇函数B.是偶函数C.是奇函数B.是偶函数8.若定义在R上的函数满足：，有+1，则下列说法一定正确的是（）.A.是奇函数B.是偶函数C.是奇函数D.是偶函数9.已知函数是定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于的不等式的解集为（）A.B.C.D.无法确定，随a的变化而变化10.已知函数是偶函数，其图像与轴有9个交点，则方程的所有实数根之和是（）A.0B.3C.6D.911.已知定义在R上的函数在上单调递减，且为偶函数，则的大小关系为（）A.B.C.D.12.若定义：，例如，则函数（）是偶函数B.是奇函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数13.已知是奇函数，当时，，则的值是.14.函数是奇函数，且在[-1,1]上单调递增，.（1）则在[-1,1]上的最大值为