4.4 数学归纳法（七大题型）（解析版）

4．4数学归纳法课程标准学习目标1、能通过具体实例的分析，抽象出数学归纳法的两个步骤，得到数学归纳法原理，发展数学抽象素养．2、能用逻辑语言表达数学归纳法，能描述两个步骤之间的关系，明晣第一步归纳奠基是基础，第二步是要证明一个具有递推关系的命题，明确两个步骤缺一不可．3、能用数学归纳法证明特殊数列的通项公式等问题，能规范表述用数学归纳法证明数学命题的基本过程，提升逻辑推理素养．1、了解数学归纳法的原理．2、能用数学归纳法证明一些简单的命题．知识点01数学归纳法的原理1、数学归纳法定义：对于某些与自然数有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当取第一个值时命题成立；然后假设当（，）时命题成立，证明当时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法知识点诠释：即先验证使结论有意义的最小的正整数，如果当时，命题成立，再假设当（，）时，命题成立．（这时命题是否成立不是确定的），根据这个假设，如能推出当时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于的正整数，，…，命题都成立．2、数学归纳法的原理：数学归纳法是专门证明与正整数集有关的命题的一种方法，它是一种完全归纳法．它的证明共分两步：①证明了第一步，就获得了递推的基础．但仅靠这一步还不能说明结论的普遍性．在第一步中，考察结论成立的最小正整数就足够了，没有必要再考察几个正整数，即使命题对这几个正整数都成立，也不能保证命题对其他正整数也成立；②证明了第二步，就获得了递推的依据．但没有第一步就失去了递推的基础．只有把第一步和第二步结合在一起，才能获得普遍性的结论．其中第一步是命题成立的基础，称为“归纳基础”（或称特殊性），第二步是递推的证据，解决的是延续性问题（又称传递性问题）．3、数学归纳法的功能和适用范围（1）数学归纳法具有证明的功能，它将无穷的归纳过程根据归纳公理转化为有限的特殊演绎（直接验证和演绎推理相结合）过程．（2）数学归纳法一般被用于证明某些与正整数（取无限多个值）有关的数学命题．但是，并不能简单地说所有与正整数有关的数学命题都可使用数学归纳法证明．【即学即练1】（2023·陕西西安·高二期中）用数学归纳法证明“”时，第二步应假设（

）A．当时，成立B．当时，成立C．当时，成立D．当时，成立【答案】C【解析】根据题意，证明的结论为“”，所以第二步的假设应写出：假设时命题成立，即成立.故选：C.知识点02运用数学归纳法的步骤与技巧1、用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：（1）证明：当取第一个值结论正确；（2）假设当（，）时结论正确，证明当时结论也正确由（1），（2）可知，命题对于从开始的所有正整数都正确2、用数学归纳法证题的注意事项（1）弄错起始．不一定恒为1，也可能或3（即起点问题）．（2）对项数估算错误．特别是当寻找与的关系时，项数的变化易出现错误（即跨度问题）．（3）没有利用归纳假设．归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就过不去了，整个证明过程也就不正确了（即伪证问题）．（4）关键步骤含糊不清．“假设时结论成立，利用此假设证明时结论也成立”是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，推导的过程中要把步骤写完整，另外要注意证明过程的严谨性、规范性（即规范问题）．3、用数学归纳法证题的关键：运用数学归纳法由到的证明是证明的难点，突破难点的关键是掌握由到的推证方法．在运用归纳假设时，应分析由到的差异与联系，利用拆、添、并、放、缩等手段，或从归纳假设出发，或从时分离出时的式子，再进行局部调整；也可以考虑二者的结合点，以便顺利过渡．【即学即练2】（2023·高二课时练习）用数学归纳法证明，“当为正奇数时，能被整除”时，第二步归纳假设应写成（

）A．假设时正确，再推证正确B．假设时正确，再推证正确C．假设时正确，再推证正确D．假设时正确，再推证正确【答案】B【解析】因为命题为“当为正奇数时，能被整除”，所以第二步归纳假设应写成：假设时正确，再推证正确.故选：B.知识点03用数学归纳法证题的类型：1、用数学归纳法证明与正整数有关的恒等式；对于证明恒等的问题，在由证等式也成立时，应及时把结论和推导过程对比，也就是我们通常所说的两边凑的方法，以减小计算的复杂程度，从而发现所要证明的式子，使问题的证明有目的性．2、用数学归纳法证明与正整数有关的整除性问题；用数学归纳法证明整除问题时，由到时，首先要从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式（数）整除，这是数学归纳法证明问题的一大技巧．3、用数学归纳法证明与正整数有关的几何问题；数学归纳法在高考试题中常与数列、平面几何、解析几何等知识相结合来考查，对于此类问题解决的关键往往在于抓住对问题的所划分标准，例如在平面几何中要抓住线段、平面、空间的个数与交点、交线间的关系等．4、用数学归纳法证明与正整数有关的不等式．用数学归纳法证明一些与有关的不等式时，推导“”时成立，有时要进行一些简单的放缩，有时还要用到一些其他的证明不等式的方法，如比较法、综合法、分析法、反证法等等．5、用数学归纳法证明与数列有关的命题．由有限个特殊事例进行归纳、猜想，从而得出一般性的结论，然后加以证明是科学研究的重要思想方法．在研究与正整数有关的数学命题中，此思想方法尤其重要．【即学即练3】（2023·高二课时练习）如图，类似于中国结的一种刺绣图案，这些图案由小正方形构成，其数目越多，图案越美丽，若按照前4个图中小正方形的摆放规律，设第个图案所包含的小正方形个数记为．（1）利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出与的关系，并通过你所得到的关系式，求出的表达式；（2）计算：，，的值，猜想的结果，并用数学归纳法证明．【解析】（1）由图知，，，，，，，归纳猜想：，，，，以上各式相加得，所以.（2），，，猜想，证明，当时，，，所以时猜想成立，当时猜想成立，即，则时，，所以当时，猜想成立，由①②可知，对任意，都有.题型一：对数学归纳法的理解例1．（2023·高二课前预习）用数学归纳法证明“对任意的，都有，第一步应该验证的等式是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】在等式中，当时，，故等式的左边为，右边为.所以第一步应该验证的等式是.故选：D例2．（2023·北京丰台·高二统考期中）用数学归纳法证明“对任意的，”，第一步应该验证的等式是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因，则第一步应验证当时，是否成立.故选：B例3．（2023·陕西商洛·高二镇安中学校考期中）用数学归纳法证明不等式的过程中，由递推到时，不等式左边（

）A．增加了 B．增加了C．增加了 D．增加了【答案】C【解析】当时，，当时，，故增加了，但减少了.故选：C.变式1．（2023·高二课时练习）用数学归纳法证明“”，验证成立时等式左边计算所得项是（

）A．1 B．C． D．【答案】D【解析】表达式的左边是从开始加到结束，所以验证成立时等式左边计算所得项是.故选：D变式2．（2023·高二课前预习）已知为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设（，且为偶数）时等式成立，则还需利用假设再证（）A．时不等式成立 B．时不等式成立C．时不等式成立 D．时不等式成立【答案】B【解析】若已假设（，k为偶数）时命题为真，因为n只能取偶数，所以还需要证明成立．故选：B．【方法技巧与总结】即先验证使结论有意义的最小的正整数，如果当时，命题成立，再假设当（，）时，命题成立．（这时命题是否成立不是确定的），根据这个假设，如能推出当时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于的正整数，，…，命题都成立．题型二：数学归纳法中的增项问题例4．（2023·上海浦东新·高二上海市进才中学校考阶段练习）用数学归纳法证明：时，从推证时，左边增加的代数式是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】根据数学归纳法的推导可得，当时，当时.左边增加的代数式是.故选：A例5．（2023·河南驻马店·高二统考期中）用数学归纳法证明不等式：，从到时，不等式左边需要增加的项为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】根据数学归纳法可知：当时，当时，相比从到，可知多增加的项为故选：D例6．（2023·上海·高二期末）用数学归纳法证明，从到，左边需要增乘的代数式为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】当时，左端＝，当时，左端＝，故左边要增乘的代数式为.故选：B．变式3．（2023·北京房山·高二统考期末）用数学归纳法证明，从到，左边需要增加的因式是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】当时，左边，当时，左边，所以左边应添加因式为故选：B.变式4．（2023·四川成都·高二四川省成都列五中学校考阶段练习）用数学归纳法证明（，为正整数）的过程中，从递推到时，不等式左边需添加的项为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】依题意当时左边，当时左边，所以，故从递推到时，不等式左边需添加的项为.故选：C变式5．（2023·北京丰台·高二统考期中）用数学归纳法证明“对任意的，”，由到时，等式左边应当增加的项为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意可得，当时，等式左边等于，共项求和；当时，等式左边等于，共项求和；所以由的假设到证明时,等式左边应添加的式子是.故选：B.变式6．（2023·辽宁大连·高二校联考期中）用数学归纳法证明“”的过程中，从到时，左边增加的项数为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】时，可得：时，可得：，故增加了项.故选：A【方法技巧与总结】在利用归纳假设论证时等式也成立时，应注意分析和时两个等式的差别．题型三：证明恒等式例7．（2023·全国·高二随堂练习）用数学归纳法证明：．【解析】当时，左式，右式，显然等式成立，假设当时，等式成立，即，则当时，，故当时，等式也成立，所以成立.例8．（2023·全国·高二随堂练习）用数学归纳法证明以下恒等式：(1)；(2).【解析】（1）①当时，左边，右边，左边与右边相等，即时等式成立；②假设当时，等式成立，即，则当时，左边右边，即当时，等式也成立；综上所述，由①②可知，对于任意正整数，成立.（2）①当时，左边，右边，左边与右边相等，即时等式成立；②假设当时，等式成立，即，则当时，左边右边，即当时，等式也成立；综上所述，由①②可知，对于任意正整数，成立.例9．（2023·全国·高二随堂练习）用数学归纳法证明：(1)；(2)．【解析】（1）证明：记，当时，则有，等式成立，假设当，等式成立，即，则，这说明当时，等式成立，故对任意的，.（2）证明：设，当时，，等式成立，假设当时，等式成立，即，所以，，这说明当时，等式成立，所以，对任意的，.变式7．（2023·全国·高二课堂例题）用数学归纳法证明：当时，．【解析】第一步：当时，等式左边，等式右边，等式成立．第二步：假设当时等式成立，即，那么，当时，有．这就是说，当时等式也成立．综上所述，对任何，等式都成立．变式8．（2023·高二课时练习）用数学归纳法证明（为正整数）．【解析】设．①当时，左边，右边，等式成立；②设当时等式成立，即，则当时，．由①②可知当时等式都成立．变式9．（2023·高二课时练习）是否存在常数、、，使等式对任何正整数都成立？【解析】若存在常数、、，使上述等式对任何正整数都成立，则当时，由等式成立，有，即；①当时，等式也成立，有，即；②当时，等式也成立，有，即；③联立①②③，解关于、、的三元一次方程组得，，．故猜想等式对一切正整数都成立.下面用数学归纳法证明：1）当时，由上面的探求可知等式成立．2）假设时猜想成立，即．当时，．所以当时，等式也成立．由1）2）知猜想成立，即存在，，使命题成立．【方法技巧与总结】用数学归纳法证明等式的策略应用数学归纳法证明等式时需要确定两个式子的结构，即：（1）时，等式的结构．（2）到时，两个式子的结构：时的代数式比时的代数式增加（或减少）的项．这时一定要弄清三点：①代数式从哪一项（哪一个数）开始，即第一项．②代数式相邻两项之间的变化规律．③代数式中最后一项（最后一个数）与的关系．题型四：证明不等式例10．（2023·高二课时练习）观察下列不等式：，，，，……．(1)根据这些不等式，归纳出一个关于正整数n的命题；(2)用数学归纳法证明（1）中得到的命题．【解析】（1）不等式可写为：，，，，所以归纳得到命题：（n为正整数）．（2）证明：①当n＝1时，易知命题成立；②假设当时，命题成立，即．则当时，，即时，命题也成立．由①②可知，．例11．（2023·广西玉林·高二校联考期中）（1）请用分析法证明：；（2）用数学归纳法证明不等式：．【解析】证明：（1）要证：，只需证：，只需证：，即证：，即证：，也就是证：42>40，而42>40显然成立，故原不等式得证．（2）证明：①当时，左边，时成立②假设当时成立，即那么当时，左边∴时也成立根据①②可得不等式对所有的n>1都成立．例12．（2023·全国·高二专题练习）数学归纳法证明：．【解析】（ⅰ）当时，左边=，右边=，左边<右边，即不等式成立；（ⅱ）假设时，不等式成立，即，则当时，左边=，问题可通过证明来实现.要证，只需证，只需证只需证，只需证，只需证，∵显然成立，∴，即当是不等式也成立.由（ⅰ）（ⅱ）可得，对于一切的，不等式恒成立.变式10．（2023·高二校考课时练习）已知n为正整数，试比较与的大小.【解析】当时，，，；当时，，，；当时，，，；当时，，，；当时，，，；当时，，，；猜想：当时，下面下面用数学归纳法证明：（1）当时，由上面的探求可知猜想成立（2）假设时猜想成立，即，则，当时，则，从而，即成立，所以当时，猜想也成立综合（1）（2），对，都成立变式11．（2023·江苏淮安·高二统考期中）已知，.（1）当时，分别比较与的大小（直接给出结论）；（2）由（1）猜想与的大小关系，并证明你的结论.【解析】（1）当时，，则；当时，，，则；当时，，，则.（2）猜想：，即下面用数学归纳法证明：①当时，，则；②假设当时，猜想成立，即则当时，而下面转化为证明：只要证：只需证：，即证：，此式显然成立.所以，当时猜想也成立.综上可知：对，猜想都成立，即成立，即【方法技巧与总结】用数学归纳法证明不等式的四个关键（1）验证第一个的值时，要注意不一定为1，若（k为正整数），则．（2）证明不等式的第二步中，从到的推导过程中，一定要用归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设．（3）用数学归纳法证明与有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小．对第二类形式往往要先对取前个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明．（4）用数学归纳法证明不等式的关键是由时成立，得时成立，主要方法有比较法、放缩法等．题型五：归纳—猜想—证明例13．（2023·浙江嘉兴·高二校联考期中）设数列满足，，(1)求，的值，并猜想数列的通项公式；(2)利用数学归纳法证明上述猜想．【解析】（1）因为数列满足，，，所以当时，，

当时，．

由此猜想数列的通项公式为．（2）证明：用数学归纳法证明如下：①当时，，成立；②假设当时，成立，即，则当时，，成立，由①②，得：．例14．（2023·高二课时练习）设数列的各项均为正整数，且．记．如果对于所有的正整数均有．(1)求，，，，；(2)猜想的通项公式，并加以证明．【解析】（1）因为数列的各项均为正整数，所以数列是递增数列，因为，，所以舍去，同理可得：舍去，舍去，舍去，所以，，，，；（2）猜想：，证明过程如下：当时，显然成立，假设当时成立，即，当时，，解得：，或，因为数列的各项均为正整数，所以数列是递增数列，显然，所以，舍去，所以当时，成立，综上所述：例15．（2023·高二课时练习）已知数列满足，，试用数学归纳法证明．【解析】①当时，左边，右边，左边右边，原等式成立；②假设当时等式成立，即有，那么，当时，，，，，，所以当时，等式也成立，由①②知，对任意，都有.变式12．（2023·高二课时练习）已知数列满足尝试通过计算数列的前四项，猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明．【解析】已知，利用递推公式计算得，，，由此猜想，对任何正整数，都有．下面用数学归纳法证明这一猜想．（1）当时，，所以猜想成立；（2）假设（，为正整数）时，猜想成立，即有．那么当时，就有，猜想也成立．根据（1）和（2），由数学归纳法就可以断定对任何正整数都成立，这就是该数列的通项公式．变式13．（2023·河南洛阳·高二校考阶段练习）设数列满足，．(1)计算，猜想的通项公式并加以证明；(2)求数列，求的前项和．【解析】（1）由，得：；；；由此可猜想，证明如下：当时，，即成立；假设当时，成立，那么当时，，即成立；综上所述：当时，.（2）由（1）得：，，，两式作差得：，.变式14．（2023·北京房山·高二统考期末）已知数列的通项公式为，记该数列的前n项和为．(1)计算，，，的值；(2)根据计算结果，猜想的表达式，并进行证明．【解析】（1）因为，所以，，，.（2）猜想，下面用数学归纳法进行证明：当时，，猜想正确，假设当时，猜想也正确，则有，当时，，所以时，猜想也正确，综上所述，.变式15．（2023·高二课时练习）函数对任意实数x，y都有．(1)求的值；(2)若，求，，的值，猜想时的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．【解析】（1）在中，令，得，得.（2）若，在中，令，得，令，，得，令，得，猜想：当时，，证明：当时，，等式成立，假设当时，，那么当时，，即时，等式也成立，根据数学归纳法原理可知，当时，.【方法技巧与总结】（1）利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”．（2）“归纳—猜想—证明”的基本步骤是“试验—归纳—猜想—证明”．高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题．这种方法更适用于已知数列的递推公式求通项公式．题型六：用数学归纳法证明整除性问题例16．（2023·全国·高二随堂练习）用数学归纳法证明：能被整除（）【解析】当时，，故能被整除，假设当时，结论成立，即能被整除，则当时，，由于和均能被整除，故能被整除，综上：能被整除（）.例17．（2023·全国·高二随堂练习）设，用数学归纳法证明：是64的倍数．【解析】（1）当时，能被64整除，命题成立．（2）假设当时，能够被64整除．当时，能够被64整除，能够被64整除．即当时，命题也成立．由（1）（2）可知，能被64整除，即是64的倍数．例18．（2023·高二课时练习）求证：对任何正整数n，数都能被8整除【解析】证明:1°当n=1时，，命题成立．2°假设n=k时，能被8整除，则当n=k+1时，,因为是8的倍数，而也是8的倍数，所以Ak+1也是8的倍数，即n=k+1时，命题也成立由以上1°、2°可知，对一切正整数n，能被8整除．变式16．（2023·高二校考课时练习）用数学归纳法证明：可以被7整除.【解析】证明：（1）时，，能被7整除，（2）假设时，命题成立，即能被7整除，设（是正整数），则时，，是正整数，所以能被7整除，所以时，命题成立，综上，原命题成立，（是正整数）可以被7整除．变式17．（2023·高二课时练习）证明：当时，能被64整除．【解析】（1）当时，能被64整除．（2）假设当时，能被64整除，则当时，．故也能被64整除．综合（1）（2）可知当时，能被64整除．变式18．（2023·全国·高二专题练习）先猜想，再用数学归纳法证明你的猜想：能被哪些自然数整除？【解析】时，原式，时，原式，时，原式，时，原式，这些数都可以被6整除，所以猜想：可以被6整除，那么也可被1，2,3整除；证明：（1）当时，，命题显然成立；（2）假设当时，能被6整除．当时，，其中两个连续自然数之积是偶数，它的3倍能被6整除，由假设知能被6整除,故，，6分别能被6整除，所以当时，命题也成立．据（1）（2），可知可以被6整除．故能被自然数6,，1，2，3整除.变式19．（2023·全国·高二随堂练习）求证：对任意正整数，都能被整除．【解析】证明：当时，，则能被整除，假设当时，能被整除，则当时，即,因为、都能被整除，故能被整除，即能被整除，所以，当时，命题也成立，因此，对任意正整数，都能被整除.【方法技巧与总结】用数学归纳法证明整除问题时，关键是把时的式子分成两部分，其中一部分应用归纳假设，另一部分经过变形处理，确定其能被某数（某式）整除．题型七：用数学归纳法证明几何问题例19．（2023·全国·高二随堂练习）证明：凸n边形的内角和等于．【解析】设，当时，三角形的内角和为，即，结论成立；假设当时，结论成立，即，假设凸边形，如下图所示：则凸边形边形可以在以为边的与凸边形拼接而成，所以，，这说明当时，结论成立，故凸边形的内角和.例20．（2023·全国·高二课堂例题）在平面上画n条直线，且任何2条直线都相交，其中任何3条直线不共点.问：这n条直线将平面分成多少个部分？【解析】记n条直线把平面分成个部分，我们通过，2，3，4，5，画出图形观察的情况（如图）从图中可以看出，，，，，.由此猜想.接下来用数学归纳法证明这个猜想.（1）当，2时，结论均成立.（2）假设当时结论成立，即.那么，当时，第k+1条直线与前面的k条直线都相交，有k个交点，这k个交点将这条直线分成k+1段，且每一段将原有的平面部分分成两个部分，所以，结论也成立.根据（1）和（2）可知，对，都有，即.例21．（2023·高二课时练习）平面内有个圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆都没有共同的交点，试证明这个圆把平面分成了个区域．【解析】当时，1个圆将平面分为2个区域，，显然命题成立，假设当时，个圆将平面分为个区域，当时，第个圆与前k个圆交于2k个点，这2k个点把这个圆分为2k段弧，每段弧把它所在的原有平面分成两部分，因此，这时平面被分割的总数在原来的基础上又增加了2k个部分，即，即当时，命题成立根据数学归纳法可得：平面内有个圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆都没有共同的交点，这个圆把平面分成了个区域.变式20．（2023·全国·高二随堂练习）平面内有条直线，其中任何2条不平行，任何3条不过同一点，求证：它们交点的个数.【解析】证明：（1）当时，两条直线的交点只有一个，又，当时，命题成立．（2）假设，且时，命题成立，即平面内满足题设的任何条直线交点个数，那么，当时，任取一条直线，除以外其他条直线交点个数为，与其他条直线交点个数为，从而条直线共有个交点，即，这表明，当时，命题成立．由（1）、（2）可知，对命题都成立．变式21．（2023·高二课时练习）平面内有n(n∈N*)个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成n2－n＋2部分.【解析】证明：(1)当n＝1时，n2－n＋2＝2，即一个圆把平面分成两部分，故结论成立.(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时命题成立，即k个圆把平面分成k2－k＋2部分.则当n＝k＋1时，这k＋1个圆中的k个圆把平面分成k2－k＋2个部分，第k＋1个圆被前k个圆分成2k条弧，这2k条弧中的每一条把它所在的平面部分都分成两部分，这样共增加2k个部分，故k＋1个圆把平面分成k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2部分，即n＝k＋1时命题也成立.综上所述，对一切n∈N*，命题都成立.【方法技巧与总结】用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从个变成（）个时，所证的几何量将增加多少．一般地，证明二步时，常用的方法是加1法，即在原来的基础上，再增加1个，当然我们也可以从（）个中分出1个来，剩下的个利用假设．几何问题的证明一要注意数形结合，二要注意要有必要的文字说明．一、单选题1．（2023·海南·高二统考期末）在正项数列中，，，则（

）A．为递减数列 B．为递增数列C．先递减后递增 D．先递增后递减【答案】A【解析】由，且，显然成立，假设，成立，当时，则，所以，故为递减数列.故选：A2．（2023·高二课时练习）我们学习了数学归纳法的相关知识，知道数学归纳法可以用来证明与正整数n相关的命题.下列三个证明方法中，可以证明某个命题对一切正整数n都成立的是（

）①成立，且对任意正整数k，“当时，均成立”可以推出“成立”②，均成立，且对任意正整数k，“成立”可以推出“成立”③成立，且对任意正整数，“成立”可以推出“成立且成立”A．②③ B．①③ C．①② D．①②③【答案】D【解析】对于①，对任意正整数k，“当时，均成立，则当时，成立，故①可证明某个命题对一切正整数n都成立；对于②，因为，均成立，成立，则当为奇数时，成立，当为偶数数时，成立，所以②可以证明某个命题对一切正整数n都成立；对于③，因为成立，对任意正整数，成立，所以也成立，又成立，成立，则也成立，所以③可以证明某个命题对一切正整数n都成立.故选：D.3．（2023·高二校考课时练习）已知经过同一点的个平面，任意三个平面不经过同一条直线，若这n个平面将空间分成个部分．现用数学归纳法证明这一命题，证明过程中由到时，应证明增加的空间个数为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】当时，这三个平面将空间分成了8部分，若时，平面将空间分成个部分，则再添加1个面时，与其他个面共有条交线，此条交线过同一个点，将该平面分成个部分，每一部分将所在的空间一分为二，故．故选：A4．（2023·全国·高二专题练习）k棱柱有f(k)个对角面，则(k＋1)棱柱的对角面个数f(k＋1)为(k≥3，k∈N*)（

）A．f(k)+k-1 B．f(k)+k+1 C．f(k)+k D．f(k)+k-2【答案】A【解析】过棱柱不相邻两条侧棱的截面为棱柱的对角面，k棱柱有f(k)个对角面，(k＋1)棱柱可视为在原k棱柱基础上新增一条棱得到的，k棱柱的原对角面仍是对角面，与新增棱不相邻的原k棱柱的棱有k-2条，其中的每一条棱与新增棱构成一个对角面，这样就新增k-2个对角面，而与新增棱相邻的两条原k棱柱的棱构成的原侧面，现在也为对角面，则总共增加(k-2)+1=k-1个对角面，于是得f(k＋1)=f(k)+k-1，所以(k＋1)棱柱的对角面个数f(k＋1)为f(k)+k-1.故选：A5．（2023·高二校考课时练习）用数学归纳法证明对任意的自然数都成立，则的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】当时，左边，右边，不成立；当时，左边，右边，不成立；当时，左边，右边，成立；即左边大于右边，不等式成立，则对任意的自然数都成立，则的最小值为，故选：B．6．（2023·高二课时练习）用数学归纳法证明能被8整除时，当时，可变形为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】当时，，两个表达式都能被整除，故选：A．7．（2023·河北唐山·高二统考期中）用数学归纳法证明不等式：（，），在证明这一步时，需要证明的不等式是A．B．C．D．【答案】D【解析】当时，那不等式左边的式子中的都换成，得到．故选：D.8．（2023·四川成都·高二树德中学校考阶段练习）用数学归纳法证明等式的过程中，由n＝k递推到n＝k+1时不等式左边（）A．增加了项B．增加了项C．增加了项D．以上均不对【答案】C【解析】用数学归纳法证明等式的过程中，假设时不等式成立，左边，则当时，左边，所以由递推到时不等式左边增加了：．故选：C．二、多选题9．（2023·辽宁大连·高二大连八中校考阶段练习）用数学归纳法证明不等式的过程中，下列说法正确的是（）A．使不等式成立的第一个自然数B．使不等式成立的第一个自然数C．推导时，不等式的左边增加的式子是D．推导时，不等式的左边增加的式子是【答案】BC【解析】当时，可得；当时，可得；即使不等式成立的第一个自然数，故A错误，B正确；当时，可得；当时，可得；两式相减得：，所以推导时，不等式的左边增加的式子是，故C正确，D错误；故选：BC.10．（2023·高二课时练习）用数学归纳法证明对任意的自然数都成立，则以下满足条件的的值中正确的为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】CD【解析】当时，，不合要求，舍去当时，，不合要求，舍去；当时，，符合题意，当时，，符合题意，下证：当时，成立，当时，成立，假设当时，均有，解得：当时，有，因为，所以成立，由数学归纳法可知：对任意的自然数都成立，故选：CD11．（2023·高二课时练习）如果命题对成立，则它对也成立.则下列结论正确的是（

）A．若对成立，则对所有正整数都成立B．若对成立，则对所有正偶数都成立C．若对成立，则对所有正奇数都成立D．若对成立，则对所有自然数都成立【答案】BC【解析】由题意可知，若对成立，则对所有正奇数都成立；若对成立，则对所有正偶数都成立.故选：BC12．（2023·广东珠海·高二珠海市斗门区第一中学校考期中）以下四个命题，其中满足“假设当时命题成立，则当时命题也成立”，但不满足“当（是题中给定的n的初始值）时命题成立”的是（

）A．B．C．凸n边形的内角和为D．凸n边形的对角线条数【答案】AB【解析】A：假设当时命题成立，即，当时有，故当时命题也成立，当时有，故当n为给定的初始值时命题不成立；B：假设当时命题成立，即，当时有，故当时命题也成立，当时，等号左边为2，右边为，，所以当时命题不成立；C：假设当时命题成立，即，当时有，故当时命题也成立，当时内角和为命题成立；D：假设当时命题成立，即，当时有，故当时命题不成立.综上可知，满足条件的选项为AB故选：AB.三、填空题13．（2023·高二校考课时练习）观察下列数表：13

57

9

11

1315

17

19

21

23

25

27

29…

…

…设1025是该表第m行的第n个数，则.【答案】12【解析】根据上面数表的数的排列规律，1、3、5、7、9…都是连续奇数，第一行1个数，第二行2=21个数，且第1个数是3=22﹣1第三行4=22个数，且第1个数是7=23﹣1第四行8=23个数，且第1个数是15=24﹣1

…第10行有29个数，且第1个数是210﹣1=