4.3.2 对数的运算-2020-2021学年高一数学新教材配套学案（人教A版必修第一册）

4.3.1对数的概念【学习目标】课程标准学科素养1．掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件．2．掌握换底公式及其推论．3．能熟练运用对数的运算性质进行化简求值．1、直观想象2、数学运算3、数学抽象【自主学习】1.对数的运算性质若a>0且a≠1，M>0，N>0，则有：(1)loga(M·N)＝.(2)logaeq\f(M,N)＝.(3)logaMn＝(n∈R).注意：对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立．例如，log2[(－3)·(－5)]＝log2(－3)＋log2(－5)是错误的．2.换底公式logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0).3．由换底公式推导的重要结论(1)loganbn＝logab.(2)loganbm＝eq\f(m,n)logab.(3)logab·logba＝1.(4)logab·logbc·logcd＝logad.【小试牛刀】判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)积、商的对数可以化为对数的和、差.()(2)loga(xy)＝logax·logay.()(3)loga(－2)3＝3loga(－2).()(4)由换底公式可得logab＝eq\f(log－2b,log－2a).()【经典例题】题型一对数运算性质的应用注意：利用对数运算性质化简与求值的原则和方法(1)基本原则：①正用或逆用公式，对真数进行处理，②选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行.(2)两种常用的方法：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差).例1求下列各式的值：(1)log345－log35；(2)lg25＋eq\f(2,3)lg8＋lg5×lg20＋(lg2)2.(3)lg14－2lgeq\f(7,3)＋lg7－lg18；[跟踪训练]1计算(1)2log63＋log64；(2)(lg25－lgeq\f(1,4))÷；(3)log2.56.25＋lneq\r(e)－.题型二对数换底公式的应用注意：(1)化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用．(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式．例2计算：①log29·log34；②eq\f(log5\r(2)×log79,log5\f(1,3)×log7\r(3,4)).[跟踪训练]2（1）log2eq\f(1,25)·log3eq\f(1,8)·log5eq\f(1,9)＝________.(2)计算(log2125＋log425＋log85)(log52＋log254＋log1258)的值.题型三利用对数式与指数式的互化解题注意：(1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化.(2)对于连等式可令其等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解.例3(1)设3a＝4b＝36，求eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)的值；(2)已知2x＝3y＝5z，且eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋eq\f(1,z)＝1，求x，y，z.[跟踪训练]3已知3a＝5b＝M，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2，则M＝________.【当堂达标】1．下列式子中成立的是(假定各式均有意义)()A．logax·logay＝loga(x＋y)B．(logax)n＝nlogaxC.eq\f(logax,n)＝logaeq\r(n,x)D.eq\f(logax,logay)＝logax－logay2.已知a＝log32，那么log38－2log36用a表示是()A.a－2 B.5a－2C.3a－(1＋a)2 D.3a－a23.若logab·log3a＝4，则b的值为________.4.lg0.01＋log216的值是________.5.计算lg52＋eq\f(2,3)lg8＋lg5·lg20＋(lg2)26.证明“logab·logbc·logcd＝logad”.7.设3x＝4y＝6z＝t>1，求证：eq\f(1,z)－eq\f(1,x)＝eq\f(1,2y).【参考答案】【自主学习】logaM＋logaNlogaM－logaNnlogaM【小试牛刀】(1)√根据对数的运算性质可知(1)正确；(2)×根据对数的运算性质可知loga(xy)＝logax＋logay；(3)×公式logaMn＝nlogaM(n∈R)中的M应为大于0的数.(4)×【经典例题】例1[解](1)log345－log35＝log3eq\f(45,5)＝log39＝log332＝2.(2)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝2lg10＋(lg5＋lg2)2＝2＋(lg10)2＝2＋1＝3.(3)原式＝lg2＋lg7－2(lg7－lg3)＋lg7－(lg2＋lg9)＝lg2＋lg7－2lg7＋2lg3＋lg7－lg2－2lg3＝0.[跟踪训练]1解(1)原式＝log632＋log64＝log6(32×4)＝log6(62)＝2log66＝2.(2)原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg\f(25,\f(1,4))))÷＝lg102÷10－1＝2×10＝20.(3)原式＝log2.5(2.5)2＋eq\f(1,2)－＝2＋eq\f(1,2)－eq\f(4,10)＝eq\f(21,10).例2[解]①原式＝eq\f(lg9,lg2)·eq\f(lg4,lg3)＝eq\f(lg32·lg22,lg2·lg3)＝eq\f(2lg3·2lg2,lg2·lg3)＝4.②原式＝eq\f(log5\r(2),log5\f(1,3))·eq\f(log79,log7\r(3,4))＝logeq\f(1,3)eq\r(2)·logeq\r(3,4)9＝eq\f(lg\r(2),lg\f(1,3))·eq\f(lg9,lg\r(3,4))＝eq\f(\f(1,2)lg2·2lg3,－lg3·\f(2,3)lg2)＝－eq\f(3,2).[跟踪训练]2（1）－12[解析]原式＝eq\f(lg\f(1,25),lg2)·eq\f(lg\f(1,8),lg3)·eq\f(lg\f(1,9),lg5)＝eq\f(－2lg5·－3lg2·－2lg3,lg2lg3lg5)＝－12.(2)法一原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log253＋\f(log225,log24)＋\f(log25,log28)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log52＋\f(log54,log525)＋\f(log58,log5125)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3log25＋\f(2log25,2log22)＋\f(log25,3log22)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log52＋\f(2log52,2log55)＋\f(3log52,3log55)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋1＋\f(1,3)))log25·(3log52)＝13log25·eq\f(log22,log25)＝13.法二原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg125,lg2)＋\f(lg25,lg4)＋\f(lg5,lg8)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg2,lg5)＋\f(lg4,lg25)＋\f(lg8,lg125)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3lg5,lg2)＋\f(2lg5,2lg2)＋\f(lg5,3lg2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg2,lg5)＋\f(2lg2,2lg5)＋\f(3lg2,3lg5)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13lg5,3lg2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\f(lg2,lg5)))＝13.例3解(1)由3a＝4b＝36，得a＝log336，b＝log436，由换底公式得eq\f(1,a)＝log363，eq\f(1,b)＝log364，∴eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝2log363＋log364＝log3636＝1.(2)令2x＝3y＝5z＝k(k>0)，∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k，∴eq\f(1,x)＝logk2，eq\f(1,y)＝logk3，eq\f(1,z)＝logk5，由eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋eq\f(1,z)＝1，得logk2＋logk3＋logk5＝logk30＝1，∴k＝30，∴x＝log230＝1＋log215，y＝log330＝1＋log310，z＝log530＝1＋log56.[跟踪训练]3eq\r(15)解析由3a＝5b＝M，得a＝log3M，b＝log5M，故eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝logM3＋logM5＝logM15＝2，∴M＝eq\r(15).【当堂达标】1.C[解析]根据对数的运算性质知，C正确．2.A解析原式＝log323－2log32－2log33＝log32－2＝a－2.3.81解析logab·log3a＝eq\f(lgb,lga)·eq\f(lga,lg3)＝eq\f(lgb,lg3)＝4，所以lgb＝4lg3＝lg34，所以b＝34＝81.4.2解析lg0.01＋log216＝－2＋4＝2.5.解原式＝2lg5＋eq\f(2,3)lg23＋lg5·lg(22×5)＋(lg2)2＝2lg5＋2lg2＋lg5·(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝2(lg5＋lg2)＋2lg5·lg2＋(lg5)2＋(lg2)2＝2lg10＋(lg5)2＋2lg5·lg2＋(lg2)2＝2＋(lg5＋lg2)2＝2＋(lg10)2＝2＋1＝3.6.[证明]logab·logbc·logcd＝eq\f(lgb,lga)·eq\f(lgc,lgb)·eq\f(l