4.2.1 等差数列的概念-2021-2022学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019选择性必修第二册）

高二数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版选择性必修第二册)第四章：数列4.2.1等差数列的概念【考点梳理】考点一等差数列的概念一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，公差可正可负可为零．考点二等差中项的概念由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项且2A＝a＋b.考点三等差数列的通项公式首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d.考点四从函数角度认识等差数列{an}若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．(1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上，这条直线的斜率为d，在y轴上的截距为a1－d

；(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d.等差数列的性质考点一等差数列通项公式的变形及推广设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则①an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)，②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)，③d＝eq\f(an－am,n－m)(m，n∈N*，且m≠n)．其中，①的几何意义是点(n，an)均在直线y＝dx＋(a1－d)上．②可以用来利用任一项及公差直接得到通项公式，不必求a1.③可用来由等差数列任两项求公差．考点二等差数列的性质1．若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有数列结论{c＋an}公差为d的等差数列(c为任一常数){c·an}公差为cd的等差数列(c为任一常数){an＋an＋k}公差为kd的等差数列(k为常数，k∈N*){pan＋qbn}公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)2.下标性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则有am＋an＝2ap.3．在等差数列中每隔相同的项选出一项，按原来的顺序排成一列，仍然是一个等差数列．4．等差数列{an}的公差为d，则d>0⇔{an}为递增数列；d<0⇔{an}为递减数列；d＝0⇔{an}为常数列．【题型归纳】题型一：利用定义法求等差数列的通项公式1．（2021·广西·桂林中学高二开学考试）已知数列满足，，则（）A． B． C． D．2．（2021·江苏·高二单元测试）在数列中，，.若为等差数列，则（）A． B． C． D．3．（2021·广西师范大学附属外国语学校高二月考（理））已知数列满足，，则（）A． B． C． D．题型二：等差数列的通项公式及其应用4．（2021·陕西·千阳县中学高二月考）记为等差数列的前项和．若，，则的公差为（）A．1 B．2C．4 D．85．（2021·全国·高二课时练习）已知{an}是首项为1，公差为3的等差数列，如果an＝2023，则序号n等于（）A．667 B．668C．669 D．6756．（2021·全国·高二单元测试）在数列中，，，若，则（）A．671 B．672 C．673 D．674题型三：等差中项及应用7．（2021·河南·高二月考）已知是等差数列，且是和的等差中项，则的公差为（）A． B． C．1 D．28．（2021·全国·高二单元测试）在等差数列中，，则（）A．8 B．12 C．16 D．209．（2021·全国·高二专题练习）在等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝58，a2＋a5＋a8＝44，则a3＋a6＋a9的值为（）A．30 B．27 C．24 D．21题型四：等差数列性质的应用10．（2021·河南·高二期中（理））在等差数列中，，，则等于（）A． B． C． D．11．（2021·贵州·凯里一中高二期中（理））在等差数列中，，则（）A． B． C． D．12．（2021·河南郑州·高二月考（理））已知正项等差数列，若，，则()A． B．C． D．题型五：等差数列的判定与证明13．（2021·全国·高二课时练习）在数列{an}中，a1＝1，3anan－1＋an－an－1＝0(n2，n∈N*).（1）证明：数列是等差数列；（2）求数列{an}的通项公式；（3）若λan＋λ对任意的n2恒成立，求实数λ的取值范围.14．（2021·全国·高二课时练习）已知数列{an}满足an＋1＝，且a1＝3(n∈N*).（1）证明：数列是等差数列；（2）求数列{an}的通项公式.15．（2021·江西·九江市第三中学高二期中（理））为数列的前项和，为数列的前项积，已知.（1）证明：数列是等差数列；（2）求数列的通项公式.【双基达标】一、单选题16．（2022·全国·高三专题练习）在等差数列{an}中，a1＝2，a5＝3a3，则a3等于（）A．－2 B．0 C．3 D．617．（2021·全国·高二课时练习）设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么数列{an＋bn}的第37项为（）A．0 B．37C．100 D．－3718．（2021·新疆喀什·模拟预测）等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a10的值是（）A．20 B．22 C．24 D．819．（2021·四川·眉山市彭山区第一中学高二开学考试）已知数列满足，，数列满足，，则（）A．64 B．81 C．80 D．8220．（2021·河南·高二期中（文））已知数列满足，，则（）A． B． C． D．21．（2021·全国·高二课时练习）等差数列{an}中，a5＋a6＝4，则log2(2a1·2a2·…·2a10)＝（）A．10 B．20 C．40 D．2＋log2522．（2021·北京·东直门中学高二月考）已知数列为等差数列，，，那么数列的通项公式为()A． B．C． D．23．（2021·河南新郑·高二月考（文））已知数列中，，，则数列的通项公式为（）A． B． C． D．24．（2021·全国·高二课时练习）设数列{an}满足a1＝1，a2＝3，且2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1，则a20的值是（）A．4 B．4C．4 D．425．（2021·全国·高二课时练习）已知a＝，b＝，则a，b的等差中项为（）A． B． C． D．26．（2021·宁夏·六盘山高级中学高二月考（文））已知数列的首项，且各项满足公式，则数列的通项公式为（）A． B． C． D．【高分突破】一：单选题27．（2021·全国·高二课时练习）下列选项中，为“数列是等差数列”的一个充分不必要条件的是（）A． B．C．数列的通项公式为 D．28．（2021·西藏·拉萨中学高二月考）在等差数列中，，则的值为（）A．6 B．12C．24 D．4829．（2021·全国·高二课时练习）设{an}是等差数列．下列结论中正确的是（）A．若a1＋a2＞0，则a2＋a3＞0 B．若a1＋a3＜0，则a1＋a2＜0C．若0＜a1＜a2，则a2＞ D．若a1＜0，则(a2－a1)(a2－a3)＞030．（2021·全国·高二专题练习）已知{an}，{bn}是两个等差数列，其中a1＝3，b1＝－3，且a20－b20＝6，那么a10－b10的值为（）A．－6 B．6 C．0 D．1031．（2021·全国·高二课时练习）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，全书收集了246个数学问题，其中一个问题为“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升.问中间二节欲均容各多少？”其中“欲均容”的意思是：使容量变化均匀，即由下往上均匀变细.该问题中由上往下数的第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为（）A．升 B．升 C．升 D．升32．（2021·福建省龙岩第一中学高二开学考试）用火柴棒按如图的方法搭三角形，按图示的规律搭下去，则第100个图形所用火柴棒数为（）A．199 B．201 C．203 D．205二、多选题33．（2021·全国·高二课时练习）关于等差数列，有下列四个命题，正确的是（）A．若数列中有两项是有理数，则其余各项都是有理数B．等差数列的通项公式是关于项数n的一次函数C．若数列是等差数列，则数列（k为常数）也是等差数列D．若数列是等差数列，则数列也是等差数列34．（2021·全国·高二课时练习）已知等差数列满足，且，则（）A． B．C． D．35．（2021·全国·高二课时练习）在数列中，若（，，为常数），则称为等方差数列，下列对等方差数列的判断正确的有（）A．若是等差数列，则是等方差数列B．数列是等方差数列C．若数列既是等方差数列，又是等差数列，则数列一定是常数列D．若数列是等方差数列，则数列（，为常数）也是等方差数列36．（2021·江苏·南京市第一中学高二期末）设是数列的前项和，，，则下列说法正确的有（）A．数列的前项和为B．数列为递增数列C．数列的通项公式为D．数列的最大项为37．（2021·江苏·高二专题练习）数列满足，对任意的都有，则（）A．数列为等差数列 B．C．an D．三、填空题38．（2021·江苏·扬州中学高二期中）在数列中，，，则数列的通项公式为________．39．（2021·全国·高二课时练习）在等差数列{an}中，a1＋a5＝2，a3＋a7＝8，则a11＋a15＝________.40．（2021·全国·高二课时练习）现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升.41．（2021·全国·高二课时练习）已知，，且，，成等差数列，则有最小值_____42．（2021·全国·高二课时练习）已知等差数列{an}的首项为a，公差为b，且不等式log2(ax2－3x＋6)>2的解集为{x|x<1或x>b}，则数列{an}的通项公式an＝_________.四、解答题43．（2021·全国·高二单元测试）已知数列满足，，数列满足关系式．（1）求，，；（2）求证：数列为等差数列．44．（2021·全国·高二课时练习）数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(λ－3)an＋2n(n∈N*).（1）当a2＝－1时，求λ及a3的值；（2）是否存在λ，使数列{an}为等差数列？若存在，求其通项公式；若不存在，说明理由.45．（2021·全国·高二课时练习）在等差数列{an}中，（1）已知a1＝2，d＝3，n＝10，求an；（2）已知a1＝3，an＝21，d＝2，求n；（3）已知a1＝12，a6＝27，求d；（4）已知d＝－，a7＝8，求a1和an.46．（2021·全国·高二单元测试）数列满足，已知．（1）求，；（2）若，则是否存在实数t，使为等差数列？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．47．（2021·全国·高二课时练习）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．（1）证明：数列是等差数列;（2）求的通项公式．【答案详解】1．D解：因为，则，又，则，所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，所以，所以，则．故选：D2．A解：，，且数列是等差数列，，，，.故选：A3．D解：因为，则，又，则，所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，所以，所以，则．故选：D.4．C【详解】设等差数列的公差为，则，，联立，解得.故选：C.5．D解：依题意由，解得.故选：D6．D【详解】∵，，∴∴数列是以1为首项，3为公差的等差数列，∴，解得.故选：D.7．A【详解】设等差数列的公差为.由已知条件，得即，解得.故选：A8．B【详解】由题意，数列为等差数列，结合等差数列的性质得，，

则，所以.

故选：B.9．A【详解】设b1＝a1＋a4＋a7＝58，b2＝a2＋a5＋a8＝44，b3＝a3＋a6＋a9.因为{an}是等差数列，所以b1，b2，b3也是等差数列，得b1＋b3＝2b2，所以b3＝2b2－b1＝2×44－58＝30，即a3＋a6＋a9＝30.故选：A10．D【详解】因为，所以公差，又因为，所以，所以，故选：D.11．C【详解】解：设数列的公差为，则，所以，所以.故选：C.12．C【详解】在等差数列中，依题意，，故，解得，，故和是的两根，解得，，，因为为正项等差数列，故公差，从而，，则，即，所以.故选：.13．（1）由3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2，n∈N*)，整理得(n≥2，n∈N*)，所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列.（2）由（1）可得.（3）由（2），问题等价于对对任意的n≥2恒成立，即对对任意的n≥2恒成立.记，则，则当n≥2时，，即是递增数列，.所以.14．证明由即－＝，n∈N*，故数列是等差数列.（2）由（1）知＝＋＝，所以，n∈N*.15．（1）当时，，即，解得.当时，，所以，所以，即是以，公差为2的等差数列.（2）因为的通项公式为，所以当时，当时，又因为，所以数列的通项公式为：.16．A【详解】a1＝2，a5＝3a3，得a1＋4d＝3(a1＋2d)，即d＝－a1＝－2，所以a3＝a1＋2d＝－2.故选：A.17．C设等差数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，则(an＋1＋bn＋1)－(an＋bn)＝(an＋1－an)＋(bn＋1－bn)＝d1＋d2，所以数列{an＋bn}仍然是等差数列，公差为d1＋d2.又d1＋d2＝(a2＋b2)－(a1＋b1)＝100－(25＋75)＝0，所以数列{an＋bn}为常数列，所以a37＋b37＝a1＋b1＝100.故选：C.18．C【详解】因为a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，所以a8＝24，所以2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝24.故选：C.19．A【详解】数列满足，可得，所以数列是等差数列，首项为1，公差为2，所以，数列满足，，，，则.故选：.20．C【详解】由题意，，，所以，所以是首项为，公差为的等差数列，.所以.故选：C.21．B解：因为，所以原式＝log2220＝20.故选：B.22．A【详解】设等差数列的公差为，由于，，故，即，从而.故选：A.23．D【详解】由题意，可得，即.又，所以数列是以为首项，公差为的等差数列，所以，所以.故选：.24．D【详解】因为2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1，所以nan－(n－1)an－1＝(n＋1)an＋1－nan故数列{nan－(n－1)an－1}为常数列，且，所以，即，因此数列是以1为首项，5为公差的等差数列，所以，因此所以a20＝.故选：D．25．A【详解】a，b的等差中项为.故选：A26．B【详解】因为数列的首项，且各项满足公式，则，，，以此类推，对任意的，，由可得，所以，，所以，数列是等差数列，且首项为，公差为，，因此，.故选：B.27．C【详解】对于A：数列是等差数列，∴A选项为“数列是等差数列”的一个充要条件，故A错误；对于B：易知B选项为“数列是等差数列”的一个既不充分也不必要条件，故B错误；对于C：∵，∴，∴，∴数列是等差数列，反之若为等差数列，则，此时不一定为2，所以必要性不成立，∴C选项为“数列是等差数列”的一个充分不必要条件，故C正确；对于D：若数列是等差数列，则，∴成立，反之当，，，时，满足，但不是等差数列，∴D选项为“数列是等差数列”的一个必要不充分条件，故D错误．故选：C．28．D【详解】在等差数列中，，所以，所以，故选：D.29．C【详解】先分析四个答案，A举一反例a1＝2，a2＝－1，则a3＝－4，a1＋a2>0，而a2＋a3<0，A错误；B举同样反例a1＝2，a2＝－1，a3＝－4，a1＋a3<0，而a1＋a2>0，B错误；下面针对C进行研究，{an}是等差数列，若0<a1<a2，则a1>0，设公差为d，则d>0，数列各项均为正，由于－a1a3＝(a1＋d)2－a1(a1＋2d)＝＋2a1d＋d2－－2a1d＝d2>0，则>a1a3⇒a2>，{an}是等差数列，若公差，则数列为常数数列，(a2－a1)(a2－a3)，D错.故选：C．30．B【详解】由于{an}，{bn}都是等差数列，所以{an－bn}也是等差数列，而a1－b1＝6，a20－b20＝6，所以{an－bn}是常数列，故a10－b10＝6.故选：B.31．A解：设自上而下依次设各节竹子的容积分别为升，升，…，升，则数列，，…，为等差数列.依题意有，又因为，，故.故选：A.32．B【详解】由图示可以看出，第一个图中用了三根火柴棒，从第二个图开始每一个图中所用的火柴棒数都比前一个图中所用的火柴棒数多两根，设第个图形所需要的火柴棒数量为，则，套用关系式可以算出，第个图形所用火柴棒数量为故选：B33．AC【详解】选项A正确.当时，选项B不成立.由等差数列的定义知选项C正确，证明如下：设的公差为d，则（常数），所以也是等差数列.选项D错误,比如数列为：-2，-1，0，1，2，则数列为：4，1，0，1，4故选：AC34．CD【详解】解：根据等差数列的性质，得，因为，所以，所以.又，所以，，故选：CD.35．BCD【详解】A.设等差数列的通项公式，则，不一定是常数，所以不是等方差数列，故错误；B.因为，所以数列是等方差数列，故正确；C.因为数列是等方差数列，则，又数列是等差数列，则，当时，数列是常数列，当时，，所以数列一定是常数列，故正确；D.数列是因为，则，所以，所以数列（，为常数）也是等方差数列，故正确；故选：BCD36．ABD解：由，得，，即，又，数列为以1为首项，以1为公差的等差数列，则，可得，故正确；当时，，，数列的最大项为，故错误，正确．故选：．37．CD【详解】由题意得：，根据累加法得：.对于选项A，因，故数列不为等差数列，因此A错；对于选项B，由，得，故B错；对于选项C，因根据题意求得，故C正确；对于选项D，由，得，故D正确.故选：CD.【详解】由得：，而，于是得数列是以为首项，为公差的等差数列，则有，所以数列的通项公式为：.故答案为：39．32【分析】由a1＋a5＝2，a3＋a7＝8，两式相减求得公差即可.【详解】因为a1＋a5＝2，a3＋a7＝8，所以(a3＋a7)－(a1＋a5)＝4d＝6，解得d＝，所以a11＋a15＝(a1＋a5)＋20d＝2＋20×＝32.故答案为：3240．##【详解】设此等差数列为{an}，公差为d，由题意，所以.故答案为：.41．【分析】根据等差中项的性质以及对数的运算性质可得，再由基本不等式即可求解.【详解】因为，，成等差数列，所以，即所以