人教版高中数学精讲精练必修二6.3 平面向量基本定理及坐标表示（精练）（解析版）

6.3平面向量基本定理及坐标表示（精练）1．（2022·河南）如果用，分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且，则可以表示为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设平面直角坐标系为O，由题得，.则.故选：C2．（2022·福建）已知平行四边形中，，，则点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设点的坐标为，则，即，解得，即.故选：C.3．（2022·上海）已知点、，且，则点的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设为坐标原点，,整理得.故选：A4．（2022·全国·高一专题练习）已知向量，且，则的值为（

）A．5 B．10 C．15 D．20【答案】A【解析】因为，所以，解得，所以，则，所以，故选：A5．（2022·全国·高一课时练习）（多选）已知是平面内的一组基底，则下列向量中能作为一组基底的是（

）A．和 B．和 C．和 D．和【答案】ABD【解析】对于A，与不共线，故可作为一组基底，故A正确；对于B，和不共线，故可作为一组基底，故B正确；对于C，，故不能作为一组基底，故C错误；对于D，和不共线，故可作为一组基底，故D正确.故选:ABD.6．（2022·江苏·苏州外国语学校高一期末）（多选）如图所示，四边形为梯形，其中，，，分别为的中点，则结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AB【解析】对于A，四边形为梯形，，，为中点，即有，则四边形为平行四边形，，A正确；对于B，为中点，，B正确；对于C，为的中点，，C不正确；对于D，由选项A知，，，D不正确.故选：AB7．（2022·河北）（多选）已知向量，若，则以下结论正确的是（

）A．时与同向 B．时与同向C．时与反向 D．时与反向【答案】AD【解析】，则即或，当时，与的方向相同，故A成立；当时，与的方向相反，故D成立.故选:AD.8．（2022·太原市）如图四边形ABCD为平行四边形，，若，则的值为A． B． C． D．1【答案】D【解析】选取为基底，则，又，将以上两式比较系数可得．故选D．9．（2022广东）在平行四边形ABCD中，点E，F分别满足，．若，则实数＋的值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意，设，则在平行四边形ABCD中，因为，，所以点E为BC的中点，点F在线段DC上，且，所以，又因为，且，所以，所以，解得，所以。故选：B.10．（2022·安徽·合肥世界外国语学校高一期末）（多选）设向量，，则

（

）A． B．C． D．与的夹角为【答案】CD【解析】由题意，，，则

，

，故A错误；易知，由，所以与不平行，故B错误；又

，即，故C正确；因为

，又

，所以与的夹角为，故D正确．故选：CD．11．（2022·黑龙江）（多选）已知，则下列叙述正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．的最小值为5 D．若向量与向量的夹角为钝角，则【答案】AD【解析】对于A，若，则，解得：，A正确；对于B，若，则，解得：，B错误；对于C，因为，所以，则当时，，，C错误；对于D，若向量与向量的夹角为钝角，则，解得，由上可知，此时两向量不共线，D正确.故选：AD.12．（2022·全国·高一课时练习）如图，在中，是的中点，若，则实数的值是__________.【答案】【解析】因为，所以为的中点，因为是的中点，所以，所以,因为，所以，故答案为：13．（2022云南）已知点是所在平面内的一点，若，则__________．【答案】【解析】如图，设为的中点，为的中点，为的中点，因为，所以可得，整理得.又，所以，所以，又，所以．故答案为14．（2023·山西）点是所在平面内一点，若，则_______.【答案】【解析】如图所示,∵点是所在平面内一点,且满足,∴点在边上且.∴.故答案为：15．（2022·吉林·白城市通榆县毓才高级中学有限责任公司高一阶段练习）已知平面向量，，.(1)若，求；(2)若与的夹角为锐角，求x的取值范围.【答案】(1)2或；(2)【解析】（1）由题意得：，解得：或，当时，，所以；当时，，所以；（2）因为与的夹角为锐角，所以，且与不同向共线，即，解得：，且，综上：x的取值范围是.16．（2022·上海市第十中学高一期末）已知向量，，.(1)若，，三点共线，求实数的值；(2)若为锐角，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】（1）解：因为，，，所以，，因为，，三点共线，所以与共线，所以，解得.所以实数的值（2）解：因为向量，，，所以，，因为为锐角，所以且与不共线，即，解得且，所以，实数的取值范围是1．（2022·黑龙江·杜尔伯特蒙古族自治县第一中学高一阶段练习）向量，且向量与向量方向相同，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为向量与向量方向相同，则存在实数，使得即所以，因为，所以所以因为，所以故选:B.2．（2022·黑龙江）（多选）已知向量，其中m，n均为正数，且，下列说法正确的是（

）A．与的夹角为钝角 B．向量在方向上的投影为C． D．的最大值为2【答案】CD【解析】对于A，因为所以，则与的夹角为锐角，故A错误；对于B，因为所以向量在方向上的投影为，故B错误；对于C，因为所以.因为，，所以，即，故C正确；对于D，因为，，所以，当且仅当,即时取等号，故的最大值为2，故D正确.故选:CD.3．（2022·河南·商水县实验高级中学高一阶段练习）（多选）已知向量=（2，1），，则（

）A．若，则 B．向量在向量上的投影向量为C．与的夹角余弦值为 D．【答案】ABC【解析】对于A选项，若，则，所以，A正确；对于B选项，设向量在向量上的投影向量为，则，即，解得，故向量在向量上的投影向量为，B选项正确；对于C选项，，，C选项正确；对于D选项，，，所以与不共线，D选项错误.故选：ABC.4．（2021·山东·高一阶段练习）（多选）已知平行四边形的三个顶点坐标分别为，则第四个顶点的坐标可以是（

）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】由题意，设，，，第四个顶点，当，时，或，由，，，则或，解得或；当，时，或，由，，，则或，解得或；故点的坐标为，，.故选：ABC.5．（2022·重庆·高一学业考试）（多选）已知向量，则下列命题正确的是（

）A． B．若，则C．存在唯一的使得 D．的最大值为【答案】ABC【解析】对于A，，故正确；对于B，由，则，即，，故正确.对于C，由，则，，，，，解得，因为，所以，故正确.对于D，，由，则，即当时，，故错误.故选：ABC.6．（2022·河南濮阳·高一期中）如图所示，在中，点是的中点，且与相交于点，若，则满足（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由得因为点是的中点，所以由三点共线知，存在实数，满足，由三点共线知，存在实数，满足，所以，又因为为不共线的非零向量，所以，解得，所以，即，所以，故A不正确；，故B正确；D不正确；，故C不正确.故选：B.7．（2022·安徽省岳西县汤池中学高一阶段练习）（多选）在中，D，E，F分别是边的中点，点G为的重心，则下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】如图：对于选项A，，即选项A错误；对于选项B，点为的重心，则，即选项B正确；对于选项C，，即选项C正确；对于选项D，，即，即选项D正确，故选：BCD．8．（2022·山东省临沂第一中学高一阶段练习）（多选）已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是的重心，动点P满足，则点P一定不是（

）A．边中线的中点B．边中线的三等分点（非重心）C．的重心D．边的中点【答案】ACD【解析】因为O是的重心，所以，所以,所以点P为OC的中点，即为边中线的三等分点（非重心）故选：ACD9．（2021·湖南·高一期末）（多选）已知的重心为，过点的直线与边，的交点分别为，，若，且与的面积之比为，则的可能取值为（

）A． B． C． D．3【答案】BD【解析】如图，，，即，设，则，三点共线，，，所以，与的面积之比为，，即，化简得，解得或3.故选：BD10．（2022·安徽省淮南第五中学高一阶段练习）（多选）在△ABC中，下列结论错误的是（

）A．B．C．若，则是等腰三角形D．若则是锐角三角形【答案】ABD【解析】由向量减法法则可得，故A项错误；，故B项错误；设中点为，，则，因为,所以由三线合一得，所以是等腰三角形，故C项正确；可以得到是锐角，不能得到是锐角三角形，故D项错误；故选：ABD.11．（2021·上海·高一课时练习）已知向量＝(1，1)，＝(1，－1)，＝(cosα，sinα)(α∈R)，实数m，n满足m＋n＝，则(m－3)2＋n2的最大值为________．【答案】16【解析】方法一：由m＋n＝，可得，故(m＋n)2＋(m－n)2＝2，即m2＋n2＝1，故点M(m，n)在以原点为圆心，1为半径的圆上，则点P(3，0)到点M的距离的最大值为|OP|＋1＝3＋1＝4，故(m－3)2＋n2的最大值为42＝16．方法二：∵m＋n＝，∴(m＋n，m－n)＝(cosα，sinα)(α∈R)．∴m＋n＝cosα，m－n＝sinα．∴m＝sin，n＝cos．∴(m－3)2＋n2＝m2＋n2－6m＋9＝10－6sin．∵sin∈[－1，1]，∴(m－3)2＋n2的最大值为16．故答案为：16.12．（2022·上海·复旦附中高一期末）已知向量，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围是_____．【答案】【解析】，因为与的夹角为钝角，所以所以，解得：，且与不反向共线，即，解得：，综上：，故答案为：.13．（2