高考总复习理数（北师大版）课时作业提升54抛物线及其性质

eq\a\vs4\al(课时作业提升五十四)抛物线及其性质A组夯实基础1．(2018·巴彥淖尔一模)平面上的动点M到点F(0,3)的距离等于M到直线y＝－3的距离，则动点M满足的方程为()A．y2＝6x B．y2＝12xC．x2＝6y D．x2＝12y解析：选D由抛物线的定义知，过点F(0,3)且和直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹是以点F(0,3)为焦点，直线y＝－3为准线的抛物线，故其方程为x2＝12y.2．(2018·青海一模)若直线AB与抛物线y2＝4x交于A，B两点，且AB⊥x轴，|AB|＝4eq\r(2)，则抛物线的焦点到直线AB的距离为()A．1 B．2C．3 D．5解析：选A由|AB|＝4eq\r(2)及AB⊥x轴，不妨设点A的纵坐标为2eq\r(2)，代入y2＝4x得点A的横坐标为2，从而直线AB的方程为x＝2.又y2＝4x的焦点为(1,0)，所以抛物线的焦点到直线AB的距离为2－1＝1，故选A．3．(2018·开封模拟)已知点A(2,0)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，直线FA与抛物线在第一象限交于点M，与其准线l相交于点N，则|FM|∶|MN|＝()A．2∶eq\r(5) B．3∶eq\r(5)C．1∶eq\r(5) D．1∶2eq\r(5)解析：选C如图所示，过M作MH⊥l，垂足为H，由抛物线的定义知|MF|＝|MH|，所以|FM|∶|MN|＝|MH|∶|MN|.由于△MHN∽△FOA，则eq\f(|MH|,|HN|)＝eq\f(|OF|,|OA|)＝eq\f(1,2)，则|MH|∶|MN|＝1∶eq\r(5)，即|FM|∶|MN|＝1∶eq\r(5).4．(2018·天水一模)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，若|AF|＝3，则△AOB的面积为()A．eq\f(\r(2),2) B．eq\r(2)C．eq\f(3\r(2),2) D．2eq\r(2)解析：选C由题意得xA＞xB＞0.设∠AFx＝θ(0＜θ＜π)，|BF|＝m，则由点A到准线l：x＝－1的距离为3，得3＝2＋3cosθ⇔cosθ＝eq\f(1,3).又m＝2＋mcos(π－θ)，得m＝eq\f(2,1＋cosθ)＝eq\f(3,2)，所以△AOB的面积S＝eq\f(1,2)×|OF|×|AB|×sinθ＝eq\f(1,2)×1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋\f(3,2)))×eq\f(2\r(2),3)＝eq\f(3\r(2),2).5．(2018·汕头一模)过抛物线C：x2＝2y的焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点，若抛物线C在点B处的切线的斜率为1，则|AF|＝()A．1 B．2C．3 D．4解析：选A由x2＝2y，得y＝eq\f(1,2)x2，求导得y′＝x，又∵B处切线斜率为1，∴x＝1，∴点B的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))，又∵Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).∴AB⊥y轴，∴|AF|＝|BF|＝1.6．(2018·赣州一模)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A是抛物线C上一点，若A到F的距离是A到y轴距离的2倍，且△OAF的面积为2(O为坐标原点)，则p的值为________.解析：设A(a，b)，则b2＝2pa，eq\f(1,2)×eq\f(p,2)×|b|＝2，a＋eq\f(p,2)＝2a，得p＝2eq\r(2).答案：2eq\r(2)7．(2018·揭阳一模)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，－2)到焦点的距离为4，则m的值为________.解析：由题意可设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p＞0)．由定义知P到准线的距离为4，故eq\f(p,2)＋2＝4，得p＝4，所以抛物线的方程为x2＝－8y，代入点P的坐标得m＝±4.答案：±48．已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过该抛物线的焦点F且与x轴不垂直的直线AB交抛物线于A，B两点，过点A，B分别作AM，BN垂直于抛物线的准线，分别交准线于M，N两点，则∠MFN必为________.(填“锐角”、“直角”或“钝角”)解析：由抛物线的定义可知|BN|＝|BF|，△BNF为等腰三角形，∠BNF＝∠BFN.因为BN∥OF，所以∠BNF＝∠NFO，从而∠BFN＝∠NFO，所以NF平分∠OFB．同理MF平分∠OFA，又∠BFO＋∠AFO＝180°，所以∠NFO＋∠MFO＝90°，即∠MFN为直角．答案：直角9．(2018·洛阳模拟)已知抛物线C：x2＝2py(y＞0)，过焦点F的直线交C于A，B两点，D是抛物线的准线l与y轴的交点．(1)若AB∥l，且△ABD的面积为1，求抛物线C的方程；(2)设M为AB的中点，过M作l的垂线，垂足为N，证明：直线AN与抛物线相切．(1)解：∵AB∥l，∴|FD|＝p，|AB|＝2p.∴S△ABD＝p2＝1.∴p＝1.∴抛物线C的方程为x2＝2y.(2)证明：设直线AB的方程为y＝kx＋eq\f(p,2)，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋\f(p,2)，,x2＝2py，))得x2－2kpx－p2＝0.①设方程①的两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝2kp，x1x2＝－p2.设Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1，\f(x\o\al(2,1),2p)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2，\f(x\o\al(2,2),2p))).则Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kp，k2p＋\f(p,2)))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kp，－\f(p,2))).∴kAN＝eq\f(\f(x\o\al(2,1),2p)＋\f(p,2),x1－kp)＝eq\f(\f(x\o\al(2,1),2p)＋\f(p,2),x1－\f(x1＋x2,2))＝eq\f(\f(x\o\al(2,1)＋p2,2p),\f(x1－x2,2))＝eq\f(\f(x\o\al(2,1)－x1x2,2p),\f(x1－x2,2))＝eq\f(x1,p).又∵x2＝2py，∴y′＝eq\f(x,p).∴抛物线x2＝2py在点A处的切线斜率k＝eq\f(x1,p).∴直线AN与抛物线相切．B组能力提升1．已知点P为抛物线y2＝2px(p＞0)上一点，F为抛物线的焦点，直线l过P且与x轴平行，若同时与直线l、直线PF、x轴相切且位于直线PF左侧的圆与x轴切于点Q，则()A．Q点位于原点的左侧 B．Q点与原点重合C．Q点位于原点的右侧 D．以上均有可能解析：选B如图，设抛物线的准线为l′，l′与x轴交于点B，直线l与l′交于点A，圆心为C，由题意可知，点C到PA，PF和x轴的距离相等，则点C是∠APF的平分线和∠BFP的平分线的交点，因为∠APF＋∠BFP＝180°，所以∠PCF＝90°，由抛物线的定义知|PA|＝|PF|，所以C为AF的中点．又O为BF的中点，所以OC∥AB，又AB垂直于x轴，所以圆心C在y轴上，所以圆C与x轴相切于点O，即O，Q重合．2．已知点F为抛物线y2＝－8x的焦点，O为坐标原点，点P是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上，且|AF|＝4，则|PA|＋|PO|的最小值为()A．6 B．2＋4eq\r(2)C．2eq\r(13) D．4eq\r(3)解析：选C由已知可得抛物线y2＝－8x的焦点为F(－2，0)，准线方程为x＝2.设点A的坐标为(x0，y0)，根据抛物线的定义可得2－x0＝4，所以x0＝－2，y0＝±4.O点关于准线的对称点为O′(4,0)，则当点P为AO′与准线x＝2的交点时，|PA|＋|PO|有最小值，且最小值为|AO′|＝2eq\r(13).3．抛物线y2＝2px的焦点为F，点A、B、C在此抛物线上，点A坐标为(1,2)．若点F恰为△ABC的重心，则直线BC的方程为()A．x＋y＝0 B．x－y＝0C．2x＋y－1＝0 D．2x－y－1＝0解析：选C∵点A在抛物线上，∴4＝2p，p＝2，抛物线方程为y2＝4x，焦点F(1,0)，设点B(x1，y1)，点C(x2，y2)，则有yeq\o\al(2,1)＝4x1，①yeq\o\al(2,2)＝4x2，②由①－②得(y1－y2)(y1＋y2)＝4(x1－x2)，得kBC＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(4,y1＋y2).又∵eq\f(y1＋y2＋2,3)＝0，∴y1＋y2＝－2，∴kBC＝－2.又∵eq\f(x1＋x2＋1,3)＝1，∴x1＋x2＝2，∴BC中点为(1，－1)，则BC所在直线方程为y＋1＝－2(x－1)，即2x＋y－1＝0.4．已知点A(1,0)，B(b,0)，若抛物线y2＝4x上存在点C，使△ABC为等边三角形，则b＝________.解析：不妨设C(x0，y0)(y0＞0)，因为△ABC为等边三角形，所以由抛物线的定义有eq\f(y0,x0＋1)＝eq\f(\r(3),2)，解得x0＝3或x0＝eq\f(1,3)，当点B在点A的右边时，b＝3×2－1＝5.当B点在A点的左边时，b＝2×eq\f(1,3)－1＝－eq\f(1,3).答案：5或－eq\f(1,3)5．如图，在底面半径和高均为2的圆锥中，AB，CD是底面圆O的两条互相垂直的直径，E是母线PB的中点，已知过CD与E的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P的距离为________.解析：如图1所示，过点E作EH⊥AB，垂足为H，因为E是母线PB的中点，圆锥的底面半径和高均为2，所以|OH|＝|EH|＝1，|OE|＝eq\r(2).在平面CED内建立平面直角坐标系，如图2所示，设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，F为抛物线的焦点，C(eq\r(2)，2)，所以4＝2eq\r(2)p，p＝eq\r(2)，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，0))，即F为OE的中点，所以该抛物线的焦点到圆锥顶点P的距离为eq\r(|PE|2＋|EF|2)＝eq\r(\r(2)2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝eq\f(\r(10),2).答案：eq\f(\r(10),2)6．(2018·石家庄检测)在平面直角坐标系中，已知点F(1,0)，直线l：x＝－1，动直线l′垂直l于点H，线段HF的垂直平分线交l′于点P，设点P的轨迹为C．(1)求曲线C的方程；(2)以曲线C上的点Q(x0，y0)(y0＞0)为切点作曲线C的切线l1，设l1分别与x，y轴交于A，B两点，且l1恰与以定点M(a,0)(a＞2)为圆心的圆相切，当圆M的面积最小时，求△ABF与△QAM面积的比．解：(1)由题意得|PH|＝|PF|，∴点P到直线l：x＝－1的距离等于它到定点F(1,0)的距离，∴点P的轨迹是以l为准线，F为焦点的抛物线，∴点P的轨迹C的方程为y2＝4x.(2)由y2＝4x，当y＞0时，y＝2eq\r(x)，∴y′＝eq\f(1,\r(x))，∴以Q为切点的切线l1的斜率为k＝eq\f(1,\r(x0))，∴以Q(x0，y0)(y0＞0)为切点的切线方程为y－y0＝eq\f(1,\r(x0))(x－x0)，即y－y0＝eq\f(2,y0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(y\o\al(2,0),4)))，整理得4x－2y0y＋yeq\o\al(2,0)＝0.令x＝0，则y＝eq\f(y0,2)，∴Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(y0,2)))，令y＝0，则x＝－eq\f(y\o\al(2,0),4)＝－x0，∴A(－x0,0)，点M(a,0)到切线l1的距离d＝eq\f(y\o\al(2,0)＋4a,2\r(y\o\al(2,0)＋4))＝eq\f(\r(y\o\al(2,0)＋4),2)＋eq\f(2a－2,\r(y\o\al(2,0)＋4))≥2eq\r(a－1)(当且仅当y0＝2eq\r(a－2)时，取等号)．∴当点Q的坐标为(a－2,2eq\r(a－2))时，满足题意的圆M的面积最小．此时A(2－a,0)，B(0，eq\r(a－2))．S△ABF＝eq\f(1,2)|1－(2－a)||eq\r(a－2)|＝eq\f(1,2)(a－1)eq\r(a－2)，S△AQM＝eq\f(1,2)|a－(2－a)||2eq\r(a－2)|＝2(a－1)eq\r(a－2).∴eq\f(S△ABF,S△AQM)＝eq\f(1,4)，∴△ABF与△QAM面积之比为1∶4.7．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F与椭圆C′：eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,5)＝1的一个焦点重合，点A(x0,2)在抛物线上，过焦点F的直线交抛物线于M，N两点．(1)求抛物线C的方程以及|AF|的值；(2)记抛物线C的准线与x轴交于点B，若eq\o(MF,\s\up6(→))＝λeq\o(FN,\s\up6(→))，|BM|2＋|BN|2＝40，求实数λ的值．解：(1)在椭圆C′：eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,5)＝1中，a2＝6，b2＝5，故c2＝a2－b2＝1.依题意，在抛物线C中，F(1,0)，故eq\f(p,2)＝1，则2p＝4，故抛物线C的方程为y2＝4x.将点A(x0,2)代入y2＝4x，解得x0＝1，故|AF|＝1＋eq\f(p,2)＝2.(2)由(1)知F(1,0)，设过点F的直线方程为x＝my＋1.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,x＝my＋1，))消去x，得y2－4my－4＝0.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y