4.1 数列的概念（精讲）（解析版）-人教版高中数学精讲精练选择性必修二

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】4.1数列的概念（精讲）考点一数列的概念及辨析【例1】（2022·全国·高二课时练习）现有下列说法：①元素有三个以上的数集就是一个数列；②数列1，1，1，1，…是无穷数列；③每个数列都有通项公式；④根据一个数列的前若干项，只能写出唯一的通项公式；⑤数列可以看着是一个定义在正整数集上的函数．其中正确的有（

）．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】B【解析】对于①，数列是按一定次序排成的一列数，而数集的元素无顺序性，①不正确；对于②，由无穷数列的意义知，数列1，1，1，1，…是无穷数列，②正确；对于③，不是每个数列都有通项，如按精确度为得到的不足近似值，依次排成一列得到的数列没有通项公式，③不正确；对于④，前4项为1，1，1，1的数列通项公式可以为，等，即根据一个数列的前若干项，写出的通项公式可以不唯一，④不正确；对于⑤，有些数列是有穷数列，不可以看着是一个定义在正整数集上的函数，⑤不正确，所以说法正确的个数是1.故选：B【一隅三反】1．（2022·云南·罗平县第一中学高二开学考试）下列有关数列的说法正确的是（

）A．同一数列的任意两项均不可能相同 B．数列，0，2与数列2，0，是同一个数列C．数列2，4，6，8可表示为 D．数列中的每一项都与它的序号有关【答案】D【解析】对于A中，常数列中任意两项都是相等的，所以A不正确；对于B中，数列，0，2与2，0，中数字的排列顺序不同，不是同一个数列，所以B不正确；对于C中，表示一个集合，不是数列，所以C不正确；对于D中，根据数列的定义知，数列中的每一项与它的序号是有关的，所以D正确.故选：D.2．（2022·全国·高二课时练习）下列有关数列的说法正确的是（

）A．同一数列的任意两项均不可能相同B．数列，，与数列，，是同一个数列C．数列1，3，5，7可表示为D．数列2，5，2，5，…，2，5，…是无穷数列【答案】D【解析】例如无穷个3构成的常数列3，3，3，…的各项都是3，故A错误；数列，0，1与数列0，1，中项的顺序不同，即表示不同的数列，故B错误；是一个集合，故C错误；根据数列的分类，数列2，5，2，5，…，2，5，…中的项有无穷多个，所以是无穷数列，D正确.故选：D.3．（2022·广东）下列有关数列的说法正确的是（

）A．同一数列的任意两项均不可能相同B．数列，，与数列，，是同一个数列C．数列1，3，5，7可表示为D．数列2，5，2，5，…，2，5，…是无穷数列【答案】D【解析】例如无穷个3构成的常数列3，3，3，…的各项都是3，故A错误；数列，0，1与数列0，1，中项的顺序不同，即表示不同的数列，故B错误；是一个集合，故C错误；根据数列的分类，数列2，5，2，5，…，2，5，…中的项有无穷多个，所以是无穷数列，D正确.故选：D.考点二数列的通项与项互求【例2-1】（2022·河南）已知一组数据2，5，10，17，26，…，按此规律可以得到第100个数为（

）A．9802 B．9991 C．10001 D．10202【答案】C【解析】因为2，5，10，17，26，…的一个通项公式为，所以第100个数为，故选：C【例2-2】（2023·全国·高三专题练习）一定数目的点在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，这样的数被称为三角形数.如图，根据前三个点阵图形的规律，第四个点阵表示的三角形数是（

）A．1 B．6 C．10 D．20【答案】C【解析】根据规律可知，第四个点阵表示的三角形数为：.故选：C【例2-3】（2022·山东烟台·高二期末）数列2，0，2，0，…的通项公式可以为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】A.当时，，不符；B.当时，，不符；C.当时，，不符；D.当时，，当时，，符合.故选：D.【一隅三反】1．（2022·江苏）已知数列的通项公式为，则该数列的前项依次为（

）A．，，， B．，，， C．，，， D．，，，【答案】A【解析】由通项公式可知：，故选：A2．（2022·广西）若一数列为1，，，，…，则是这个数列的（

）．A．不在此数列中 B．第13项 C．第14项 D．第15项【答案】D【解析】因，因此符合题意的一个通项公式为，由解得：，所以是这个数列的第15项.故选：D3．（2022·河南）数列满足，则数列的前12项和为（

）A．64 B．150 C．108 D．240【答案】C【解析】，再分别代入可得，，，.由周期为2，同理可得，.∴.故选：C.4．（2022云南）在数列中，，，则等于（

）．A． B． C． D．2【答案】C【解析】由，可得：，故数列为周期性数列，每3项为一循环，而，故，故选：C考点三数列的单调性【例3-1】（2022·全国·高二课时练习）（多选）下列是递增数列的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】A．令，则，是递增数列，正确；B．令，则，，不合题意，错；C．令，则，符合题意．正确；D．令，则，，不合题意．错．故选：AC．【例3-2】（2022·甘肃省临洮中学高二阶段练习）已知数列满足：，且数列是递增数列，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】当时，有，即；当时，有，又，即，综上，有，故选：C．【一隅三反】1．（2022·全国·高二课时练习）已知数列的通项公式是，则（

）A．不是单调数列 B．是递减数列 C．是递增数列 D．是常数列【答案】C【解析】因为，所以是递增数列.故选：C.2．（2022·北京）已知数列的通项公式是，则（

）A．不是单调数列 B．是递减数列 C．是递增数列 D．是常数列【答案】C【解析】因为，所以是递增数列.故选：C.3．（2022·北京八中高三阶段练习）已知数列是递增数列，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】数列是递增数列，且，则，解得，故的取值范围是故选：D4．（2022·全国·高二课时练习）已知数列的通项公式为，则“”是“为递增数列”的（

）A．必要不充分条件 B．充要条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若为递增数列，则，即，得，又，所以，所以，所以“”是“为递增数列”的必要不充分条件．故选：A.考点四数列的最值【例4-1】（2022·山东）（多选）已知数列的前项和为，若，则当取得最小值时，的值可能是（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】BC【解析】因为的解集为，所以，对于数列，当时，；时，；时，，所以，数列的前项和为取得最小值时，或.故选：BC【例4-2】（2022·上海嘉定·高三阶段练习）已知数列的通项公式为，则取最大值时，___________.【答案】或.【解析】由可得当时，，当时，，当时，，故取最大值时，一定有，设为数列的最大项，则，即，解得，则或，此时，故答案为：或.【一隅三反】1．（2022·福建省福安市第一中学高二阶段练习）已知数列满足，则数列的最大项为（

）．A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项【答案】D【解析】假设第n项最大（），有，又，所以，即数列的最大项为第7项.故选：D.2．（2022·宁夏·平罗中学高三阶段练习（理））已知数列满足，，则的最小值为（

）A．0 B． C． D．3【答案】C【解析】由数列满足，且，可得，则，因为函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，；当时，；当时，，所以的最小值为.故选：C.3．（2022·浙江省淳安中学高二期中）数列(

)A．既有最大项，又有最小项 B．有最大项，无最小项C．无最大项，有最小项 D．既无最大项，又无最小项【答案】A【解析】∵，，∴根据指数函数单