浙教版八年级数学下册期中期末挑战满分冲刺卷专题11反比例函数(难点)(原卷版+解析)

专题11反比例函数（难点）一、单选题1．已知反比例函数的解析式为，则的取值范围是A． B． C． D．2．已知函数，当函数值为3时，自变量x的值为（）A．﹣2 B．﹣ C．﹣2或﹣ D．﹣2或﹣3．为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，加强生态文明建设，某工厂自今年1月份开始限产进行治污改造，其月利润（万元）与月份之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的一部分，下列选项错误的是（

）A．治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元B．治污改造完成前后共有5个月的利润不超过100万元C．10月份该厂利润达到190万元D．4月份的利润为50万元4．如图，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点A（﹣2，2），过点A作AB⊥y轴，垂足为B，在y轴的正半轴上取一点P（0，t），过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，点B经轴对称变换得到的点B'在此反比例函数的图象上，则t的值是（）A．1+ B．4+ C．4 D．-1+5．设函数y1＝，y2＝﹣（k＞0）．当﹣3≤x≤﹣2时，y1的最大值为a，y2的最小值为a+2，则实数a与k的值为（）A．a＝3，k＝1 B．a＝﹣1，k＝﹣1 C．a＝3，k＝3 D．a＝﹣1，k＝36．如图，点A在直线y＝x上，AB⊥x轴于点B，点C在线段AB上，以AC为边做正方形ACDE，点D恰好在反比例函数的图像上，连接AD，若，则k的值为（

）A．10 B．8 C．9 D．7．定义新运算：a※b＝，例如：4※5＝，4※（﹣5）＝．那么函数y＝2※x（x≠0）的图象大致是（

）A． B． C． D．8．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A点，D点分别在x轴、y轴上，对角线BD∥x轴，反比例函数的图象经过矩形对角线的交点E，若点A(2，0)，D(0，4)，则k的值为（

）A．16 B．20 C．32 D．409．如图，A、B是函数上两点，为一动点，作轴，轴，下列说法正确的是(

)①；②；③若，则平分；④若，则A．①③ B．②③ C．②④ D．③④10．如图，点，分别在轴正半轴、轴正半轴上，以为边构造正方形，点，恰好都落在反比例函数的图象上，点在延长线上，，，交轴于点，边交反比例函数的图象于点，记的面积为，若，则的面积是（

）A． B． C． D．二、填空题11．已知点在双曲线上，则的最小值为____．12．如图，正方形的顶点分别在反比例函数（）和（）的图象上，若轴，点D的横坐标为4，则＝_______．13．如图，等腰中，，，点B在y轴上，轴，反比例函数的图像经过点A，交于点D，若，则k的值为_________.14．如图是某种电子理疗设备工作原理的示意图,其开始工作时的温度是，然后按照一次函数关系一直增加到，这样有利于打通病灶部位的血液循环，在此温度下再沿反比例函数关系缓慢下降至，然后在此基础上又沿着一次函数关系一直将温度升至，再在此温度下沿着反比例函数关系缓慢下降至，如此循环下去．（1）的值为________；（2）如果在分钟内温度大于或等于时，治疗效果最好，则维持这个温度范围的持续时间为________分钟．15．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是_____（填序号即可）．①方程是倍根方程；②方程是倍根方程；③若是倍根方程，则；④若点（p，q）在反比例函数的图象上，则关于x方程是倍根方程．16．如图，直线与双曲线交于、两点，连接、，轴于，轴于，设，的解析式分别为，，现有以下结论：①；②；③若，则；④有最小值．其中正确的是_____．(写出所有正确结论的序号)17．如图，在平面直角坐标系中，C，A分别为轴、轴正半轴上的点，以为边，在第一象限内作矩形，且，将矩形翻折，使点与原点重合，折痕为，点的对应点落在第四象限，过点的反比例函数的图像恰好过的中点，则的长为______．

18．如图，在平面直角坐标系中，有六个台阶（各拐角均为），每个台阶的高、宽都是1，台阶的拐点分别为．直线：与双曲线：的图象交于拐点．（1）a的值为______．（2）已知点（不与点重合）为直线上一动点，过点作轴，轴的垂线，分别交双曲线的图象于B，C两点．将线段，和双曲线的图象在点B，C之间的部分所围成的区域（不含边界）记为．当的取值范围是______时，区域内恰有2个拐点．三、解答题19．如图，在平行四边形中，点，在轴上，与轴交于点，，交轴于点，顶点在第二象限内的反比例函数的图象上，的延长线交轴于点，若，且．(1)求反比例函数的解析式．(2)求平行四边形的面积．20．通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间x（分）变化的函数图像如图所示，当和时，图像是线段；当时，图像是双曲线的一部分，根据函数图像回答下列问题：(1)点A的注意力指标数是________．(2)当时，求注意力指标数y随时间x（分）的函数解析式；(3)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要21分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于36？请说明理由．21．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点A、B，点C在x轴正半轴上，点，连接、、、，四边形为菱形．（1）求k和m的值；（2）根据图象写出反比例函数的值小于2时x的取值范围；（3）设点P是y轴上一动点，且，求点P的坐标．22．如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上．(1)求反比例函数解析式；(2)证明：点A关于原点的对称点B也在反比例函数的图象上；(3)已知点C在反比例函数的图象上，其横坐标为4，且点C、点D关于原点中心对称，求证四边形是矩形．23．如图1，在平面直角坐标系中，正方形ABCD顶点C（3，0），顶点D（0，4），过点A作AF⊥y轴于F点，过点B作x轴的垂线交过A点的反比例函数y＝（k＞0）的图象于E点，交x轴于G点．（1）求证：△CDO≌△DAF．（2）求反比例函数解析式及点E的坐标；（3）如图2，过点C作直线l∥AE，在直线l上是否存在一点P使△PAC是等腰三角形？若存在，求P点坐标，不存在说明理由．24．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+b与坐标轴交于C，D两点，直线AB与坐标轴交于A，B两点，线段OA，OC的长是方程x2﹣3x+2＝0的两个根（OA＞OC）．(1)求点A，C的坐标；(2)直线AB与直线CD交于点E，若点E是线段AB的中点，反比例函数y＝（k≠0）的图象的一个分支经过点E，求k的值；(3)在（2）的条件下，点M在直线CD上，坐标平面内是否存在点N，使以点B，E，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．25．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有经验，请画出函数的图象，并探究该函数性质．(1)绘制函数图象①列表：下列是x与y的几组对应值，其中___________，____________．……-5-4-3-2-112345…………-3.8-2.5-1155-1-3.8……②描点：请根据表中所给的数值在图中描点；③连线：请结合反比例函数图象的特征，画出函数图象；(2)探究函数性质①当时，函数值y随着自变量x的增大而______________；（填“减小”或“增大”）②函数的图象关于___________对称；(3)运用函数图象及性质①点，，在函数图象上，请比较，，的大小（

）A．

B．

C．

D．②点，在函数图象上，请比较，的大小（

）A．

B．

C．

D．不确定③写出方程的解_____________；④写出不等式的解集___________．26．如图1，已知点，，且、满足处于平行四边形的边与轴交于点，且为中点，双曲线经过、两点．（1）_________，________；（2）求点的坐标；（3）点在双曲线上，点在轴上（如图2），若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标；（4）以线段为对角线作正方形（如图3），点是边上一动点，是的中点，，交于，当在上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并给出你的证明．专题11反比例函数（难点）一、单选题1．已知反比例函数的解析式为，则的取值范围是A． B． C． D．【答案】C【分析】根据反比例函数的定义可得|a|-2≠0,可解得.【解析】根据反比例函数的定义可得|a|-2≠0,可解得a≠±2.故选C.【点睛】本题考核知识点：反比例函数定义.解题关键点：理解反比例函数定义.2．已知函数，当函数值为3时，自变量x的值为（）A．﹣2 B．﹣ C．﹣2或﹣ D．﹣2或﹣【答案】A【分析】根据分段函数的解析式分别计算，即可得出结论．【解析】解：若x＜2，当y=3时，﹣x+1=3，解得：x=﹣2；若x≥2，当y=3时，﹣=3，解得：x=﹣，不合题意舍去；∴x=﹣2，故选：A．【点睛】本题考查了反比例函数的性质、一次函数的图象上点的坐标特征；根据分段函数进行分段求解是解题的关键．3．为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，加强生态文明建设，某工厂自今年1月份开始限产进行治污改造，其月利润（万元）与月份之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的一部分，下列选项错误的是（

）A．治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元B．治污改造完成前后共有5个月的利润不超过100万元C．10月份该厂利润达到190万元D．4月份的利润为50万元【答案】B【分析】直接利用已知点求出一次函数和反比例函数的解析式，进而分别分析得出答案即可．【解析】解：设反比例函数的解析式为：，把代入得：，解得：，反比例函数的解析式为，当时，，设一次函数的解析式为：，将，代入一次函数解析式为：，解得：，一次函数的解析式为：，A.改造完成后，从5月到7月，利润从40万增加到100万，故每月利润比前一个月增加30万元，故此选项正确，不符合题意；B.当时，，解得：，则只有3、4、5、6共4个月的利润低于100万元，故此选项错误，符合题意；C.当时，，因此10月份该厂利润达到190万元，故此选项正确，不符合题意；D.当时，，因此4月份的利润为50万元，故此选项正确，不符合题意；故选：B．【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的应用，正确得出函数解析式是解题的关键．4．如图，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点A（﹣2，2），过点A作AB⊥y轴，垂足为B，在y轴的正半轴上取一点P（0，t），过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，点B经轴对称变换得到的点B'在此反比例函数的图象上，则t的值是（）A．1+ B．4+ C．4 D．-1+【答案】A【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征由A点坐标为（-2，2）得到k=-4，即反比例函数解析式为y=-，且OB=AB=2，则可判断△OAB为等腰直角三角形，所以∠AOB=45°，再利用PQ⊥OA可得到∠OPQ=45°，然后轴对称的性质得PB=PB′，BB′⊥PQ，所以∠BPQ=∠B′PQ=45°，于是得到B′P⊥y轴，则点B的坐标可表示为（-，t），于是利用PB=PB′得t-2=|-|=，然后解方程可得到满足条件的t的值．【解析】如图，∵点A坐标为（-2，2），∴k=-2×2=-4，∴反比例函数解析式为y=-，∵OB=AB=2，∴△OAB为等腰直角三角形，∴∠AOB=45°，∵PQ⊥OA，∴∠OPQ=45°，∵点B和点B′关于直线l对称，∴PB=PB′，BB′⊥PQ，∴∠B′PQ=∠OPQ=45°，∠B′PB=90°，∴B′P⊥y轴，∴点B′的坐标为（-，t），∵PB=PB′，∴t-2=|-|=，整理得t2-2t-4=0，解得t1=，t2=1-（不符合题意，舍去），∴t的值为．故选A．【点睛】本题是反比例函数的综合题，解决本题要掌握反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质和轴对称的性质及会用求根公式法解一元二次方程．5．设函数y1＝，y2＝﹣（k＞0）．当﹣3≤x≤﹣2时，y1的最大值为a，y2的最小值为a+2，则实数a与k的值为（）A．a＝3，k＝1 B．a＝﹣1，k＝﹣1 C．a＝3，k＝3 D．a＝﹣1，k＝3【答案】D【分析】先利用反比例函数的增减性分别用含k的代数式表示y1的最大值，y2的最小值，再解方程组即可.【解析】解：函数y1＝（k＞0），当﹣3≤x≤﹣2时，y1的最大值为a，当时，最大，此时y2＝﹣（k＞0），y2的最小值为a+2，当时，最小，此时解得：故选D【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，掌握反比例函数的增减性是解本题的关键.6．如图，点A在直线y＝x上，AB⊥x轴于点B，点C在线段AB上，以AC为边做正方形ACDE，点D恰好在反比例函数的图像上，连接AD，若，则k的值为（

）A．10 B．8 C．9 D．【答案】A【分析】设正方形的边长为a，A（t，t），则OB=AB=t，AC=CD=a，于是可表示出C（t，t-a），D（t+a，t-a），再利用等腰直角三角形的性质可得OA=t，AD=a；由OA2-AD2=20可得t2-a2=10，最后根据反比例函数图像的性质即可解答．【解析】解：设设正方形的边长为a，A（t，t），则OB=AB=t，AC=CD=a，∴C（t，t-a），D（t+a，t-a）∵等腰直角三角OAB和正方形ACDE∴OA=t，AD=a∵OA2-AD2=20∴（t）2-（a）2=20，即t2-a2=10∵点D在反比例函数的图像上，∴k=（t+a）（t-a）=t2-a2=10．故选A．【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合问题、正方形的性质、反比例函数的性质等知识点，求正确设出未知数、根据题意表示出所需的量和等式是解答本题的关键．7．定义新运算：a※b＝，例如：4※5＝，4※（﹣5）＝．那么函数y＝2※x（x≠0）的图象大致是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题干中新运算定义求出y=2※x的解析式，进而求解．【解析】解：由题意得y＝2※x＝，故选：D．【点睛】本题考查函数图象，解题关键是理解题意，掌握求新运算的方法，根据函数y=2※x的解析式求解．8．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A点，D点分别在x轴、y轴上，对角线BD∥x轴，反比例函数的图象经过矩形对角线的交点E，若点A(2，0)，D(0，4)，则k的值为（

）A．16 B．20 C．32 D．40【答案】B【分析】根据平行于x轴的直线上任意两点纵坐标相同，可设B（x，4）利用矩形的性质得出E为BD中点，∠DAB=90°，根据线段中点坐标公式得出E（x，4）.由勾股定理得出AD2+AB2=BD2，列出方程22+42+（x-2）2+42=x2，求出x，得到E点坐标，代入，利用待定系数法求出k.【解析】解：∵BD//x轴，D（0，4），∴B、D两点纵坐标相同，都为4，∴可设B（x，4）.∵矩形ABCD的对角线的交点为E，.∴E为BD中点，∠DAB=90°.∴E（x，4）∵∠DAB=90°，∴AD2+AB2=BD2，∵A（2，0），D（0，4），B（x，4），∴22+42+（x-2）2+42=x2，解得x=10，∴E（5，4）.又∵反比例函数（k>0，x>0）的图象经过点E，∴k=5×4=20；故选B.【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征，线段中点坐标公式等知识，求出E点坐标是解题的关键.9．如图，A、B是函数上两点，为一动点，作轴，轴，下列说法正确的是(

)①；②；③若，则平分；④若，则A．①③ B．②③ C．②④ D．③④【答案】B【分析】①显然AO与BO不一定相等，由此可判断①错误；②延长BP，交x轴于点E，延长AP，交y轴于点F，根据矩形的性质以及反比例函数的性质判断②正确；③过P作PM⊥BO，垂足为M，过P作PN⊥AO，垂足为N，由已知可推导得出PM=PN，继而可判断③正确；④设P（a，b），则B（a，），A（，b），根据S△BOP=4，可得ab=4，继而可判断④错误．【解析】①显然AO与BO不一定相等，故△AOP与△BOP不一定全等，故①错误；②延长BP，交x轴于点E，延长AP，交y轴于点F，∵AP//x轴，BP//y轴，∴四边形OEPF是矩形，S△EOP=S△FOP，∵S△BOE=S△AOF=k=6，∴S△AOP=S△BOP，故②正确；③过P作PM⊥BO，垂足为M，过P作PN⊥AO，垂足为N，∵S△AOP=OA•PN，S△BOP=BO•PM，S△AOP=S△BOP，AO=BO，∴PM=PN，∴PO平分∠AOB，即OP为∠AOB的平分线，故③正确；④设P（a，b），则B（a，），A（，b），∵S△BOP=BP•EO==4，∴ab=4，∴S△ABP=AP•BP==8，故④错误，综上，正确的为②③，故选B．【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，正确添加辅助线、熟知反比例函数k的几何意义是解题的关键．10．如图，点，分别在轴正半轴、轴正半轴上，以为边构造正方形，点，恰好都落在反比例函数的图象上，点在延长线上，，，交轴于点，边交反比例函数的图象于点，记的面积为，若，则的面积是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】如图，过点作轴，过点作轴，设，，证明，并得到，，根据反比例函数的性质得，即，继而得到是等腰直角三角形，已知的面积为，可得，又因为在反比例函数的图象上，可得，即可求出，，再求出直线的表达式，利用方程组确定点的坐标，求出和，即可得出的面积．【解析】解：如图，过点作轴，过点作轴，设，，∴，∵四边形是正方形，∴，，∴，，∴，∵在和中，，∴，∴，，∵在和中，，∴，∴，，∴，，又∵，在反比例函数的图象上，∴，∵，∴，∴，∴，，∵，∴是等腰直角三角形，∵，∴，，∵，∴，∵在反比例函数的图象上，即，∴，，∴，，反比例函数的表达式为，设：直线的表达式为，∴，解得：，∴直线的表达式为，∵，解得：或，∴，∵，，∴，，∴，故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数图象上的点的特征，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，求一次函数的解析式等，利用设出的，表示出相关点的坐标是解答本题的关键．二、填空题11．已知点在双曲线上，则的最小值为____．【答案】5【分析】将点代入双曲线得到，由得出，从而求出的最小值．【解析】将点代入双曲线，得：∴∵∴∴∴的最小值为5故答案为：5．【点睛】本题考查反比例函数的坐标与完全平方式，解题的关键是掌握由得出．12．如图，正方形的顶点分别在反比例函数（）和（）的图象上，若轴，点D的横坐标为4，则＝_______．【答案】32【分析】连接交于E，延长交x轴于F，连接、，由四边形是正方形，设，，由轴，可以表示点A，B的坐标，可求得m，a的关系，再由在反比例函数（）的图象上，在（）的图象上，即可解答本题．【解析】解：连接交于E，延长交x轴于F，连接、，如图：∵四边形是正方形，∴．设，，∵轴，∴，．∵A，B都在反比例函数（）的图象上，∴．∵，∴，∴．∵在反比例函数（）的图象上，在（）的图象上，∴，∴，故答案为：32．【点睛】本题考查反比例函数的图象及应用，涉及正方形的性质，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标．13．如图，等腰中，，，点B在y轴上，轴，反比例函数的图像经过点A，交于点D，若，则k的值为_________.【答案】60【分析】过A作交于点E，交轴于点F，根据三线合一定理得到，再利用勾股定理求出，设，由，得到A点坐标为，D点坐标为，然后利用反比例函数图像经过点A，交BC于点D，求得，即可得到k的值．【解析】解：，，，，设，，，点坐标为，D点坐标为，反比例函数的图像经过点A，交于点D，，解得：，．【点睛】本题主要考查了坐标与图形，等腰三角形的性质，勾股定理，反比例函数图像上点的坐标特点，解题关键是能够熟练掌握相关知识进行求解．14．如图是某种电子理疗设备工作原理的示意图,其开始工作时的温度是，然后按照一次函数关系一直增加到，这样有利于打通病灶部位的血液循环，在此温度下再沿反比例函数关系缓慢下降至，然后在此基础上又沿着一次函数关系一直将温度升至，再在此温度下沿着反比例函数关系缓慢下降至，如此循环下去．（1）的值为________；（2）如果在分钟内温度大于或等于时，治疗效果最好，则维持这个温度范围的持续时间为________分钟．【答案】5020【分析】先利用待定系数法求得第一次循环中反比例函数的解析式，令时即可求解，再利用待定系数法求得第一次循环中一次函数的解析式，分别求得时对应的的值求差即可．【解析】解：设第一次循环过程中反比例函数的解析式为，过点，，，当时，则，解得，设第一次循环过程中一次函数的解析式为，由题意得，解得，一次函数的解析式为，当时，则，解得，当时则，解得，分钟内温度大于或等于时，治疗效果最好，则维持这个温度范围的持续时间为（分钟）故答案为：（1）50；（2）20．【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式以及求函数值，理解题意是解题的关键．15．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是_____（填序号即可）．①方程是倍根方程；②方程是倍根方程；③若是倍根方程，则；④若点（p，q）在反比例函数的图象上，则关于x方程是倍根方程．【答案】②③④【分析】①②均是求出方程的两个根，根据倍根方程的定义进行判断即可，求出③中方程的两个根，根据倍根方程的定义，分两种情况求出m和n的关系，代入后面的式子即可判断，④根据点在反比例函数的图象上，可以求出p和q的关系，代入解方程即可判断对错．【解析】解：①方程的解为，此方程不是倍根方程，此结论错误；②方程的解为，此方程是倍根方程，此结论正确；③∵是倍根方程，且，∴或，∴或，∵，此结论正确．④关于x的一元二次方程是“倍根方程”，理由：∵点（p，q）在反比例函数的图象上，∴，解方程得：，∴，此结论正确；故答案为：②③④．【点睛】本题属于新定义题，掌握解一元二次方程的方法、理解新定义是解题的关键．16．如图，直线与双曲线交于、两点，连接、，轴于，轴于，设，的解析式分别为，，现有以下结论：①；②；③若，则；④有最小值．其中正确的是_____．(写出所有正确结论的序号)【答案】①③/③①【分析】①联立直线与双曲线，依题意得出方程有两个不相等的实数根，得出，得出，即可判断①，作直线，交于，则，设点，证明，，同理可得，，进而根据即可判断③，当时，，，即可判断②；根据题意得出，根据一元二次方程根与系数的关系得出即可判断④【解析】令，整理得：，直线与双曲线交于、两点，方程有两个不相等的实数根，，或，，，故①正确；如图，作直线，交于，则，设点，点、在双曲线上，，将代入中，整理得：，，又，，，，在和中，，，，，直线是由直线平移之后所得，直线是第二、四象限的角平分线，，，，，，，在和中，，，同理可得，，，，1，故③正确；，当时，，，、、、不再彼此全等，，故②错误；，的解析式分别为，，，，，，，，，，，没有最小值，故④错误；综上所述：结论正确的是①③．故答案为：①③．【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，反比例函数与一次函数综合，掌握反比例函数的性质，将两函数交点问题转化为一元二次方程的解的情况是解题的关键．17．如图，在平面直角坐标系中，C，A分别为轴、轴正半轴上的点，以为边，在第一象限内作矩形，且，将矩形翻折，使点与原点重合，折痕为，点的对应点落在第四象限，过点的反比例函数的图像恰好过的中点，则的长为______．

【答案】【分析】连接，交于点Q，首先证明点Q是的中点，根据折叠可得Q是中点，，设，则,，再由在上可得，求得，再在中根据勾股定理求出即可求出、的值，进而求出、的坐标，最后求出的长．【解析】连接，交于点Q，∵将矩形翻折，使点与原点重合，折痕为，∴，，设∴，∵，∴，∵，而，∴，∴，即点Q是的中点，∵∴∵在上，∴，∴∵∴∴∴，∵在中，∴，解得或（负数关系舍去），∵∴∴，∴，故答案为：．【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数的性质、反比例函数系数k的几何意义，两点的中点公式和距离公式，勾股定理等，综合性强，难度较大．18．如图，在平面直角坐标系中，有六个台阶（各拐角均为），每个台阶的高、宽都是1，台阶的拐点分别为．直线：与双曲线：的图象交于拐点．（1）a的值为______．（2）已知点（不与点重合）为直线上一动点，过点作轴，轴的垂线，分别交双曲线的图象于B，C两点．将线段，和双曲线的图象在点B，C之间的部分所围成的区域（不含边界）记为．当的取值范围是______时，区域内恰有2个拐点．【答案】3或【分析】（1）将代入反比例函数，即可求解；（2）分两种情况，当在点的上方或下方时，两种情况，分别求解即可．【解析】解：（1）将代入反比例函数，可得：；（2）由（1）可得，则，即直线：，由题意可得：、、、、、，当在点的上方时，如下图：由图像可得，区域内恰有2个拐点，即、两个点，即位于、之间，则，当在点的下方时，如下图：由图像可得，区域内恰有2个拐点，即、两个点，即位于、之间，则，综上：或故答案为：；或．【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数的综合，解题的关键是理解题意，熟练掌握反比例函数的性质，利用数形结合的思想求解问题．三、解答题19．如图，在平行四边形中，点，在轴上，与轴交于点，，交轴于点，顶点在第二象限内的反比例函数的图象上，的延长线交轴于点，若，且．(1)求反比例函数的解析式．(2)求平行四边形的面积．【答案】(1)反比例函数的解析式为(2)平行四边形的面积为32【分析】（1）先判断出DF=FG=2，进而求出DE，进而求出EF=2，进而求出OF，即可求出答案；（2）先求出DE，BE，进而得出BD，即可求出AB，最后用平行四边形的面积公式求解，即可得出答案．（1）解：，，，，，，，，，，，，，，，，点在第二象限，，点在反比例函数的图象上，，反比例函数的解析式为；（2）解：在中，，在中，，，在中，，平行四边形的面积为．【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，等腰直角三角形的判定和性质，平行四边形的性质和面积公式，求出OF是解本题的关键．20．通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间x（分）变化的函数图像如图所示，当和时，图像是线段；当时，图像是双曲线的一部分，根据函数图像回答下列问题：(1)点A的注意力指标数是________．(2)当时，求注意力指标数y随时间x（分）的函数解析式；(3)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要21分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于36？请说明理由．【答案】(1)24(2)(3)张老师能经过适当安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于36，理由见解析【分析】（1）点A的注意力指标数是A点的纵坐标，A点的纵坐标与D点纵坐标相等，将C点坐标代入，求出双曲线的函数表达式，再求出D点的坐标即可．（2）由图可知，当时，求注意力指标数y是随时间x的一次函数，将点A和点B的坐标代入y=kx+b，即可求出函数表达式．（3）要求21分钟注意力指标数都不低于36，则根据函数表达式求出注意力指数不低于36的x的取值范围即可．【解析】（1）解：设双曲线的函数解析式为：把C（20，48）代入得：，k=960∴双曲线的函数解析式为：当x=40时：即D（40，24）∴点A的注意力指标数为24（2）当时，设的解析式为，把A（0，24），B（10，48）代入；∴∴∴．（3）当时，，解之得设当时，反比例函数解析式为，将代入得．∴．当时，，解之得．∴当时，注意力指标数都不低于36．而，∴张老师能经过适当安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于36．【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的应用，运用待定系数法求解出相关函数表达式以及正确的理解图像是解题的关键．在求解x的取值范围时，注意结合图像，求出两个端点值．21．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点A、B，点C在x轴正半轴上，点，连接、、、，四边形为菱形．（1）求k和m的值；（2）根据图象写出反比例函数的值小于2时x的取值范围；（3）设点P是y轴上一动点，且，求点P的坐标．【答案】（1）；（2）或；（3）或．【解析】解：（1）如解图，连接，与x轴交于点E，∵，∴，，∵四边形是菱形，∴，，∴，将代入直线，得，即，将代入反比例函数得；（2）由图象可知：反比例函数的值小于2时x的取值范围为或；（3）∵,，∴，∵，即，设，则，即，解得，，则点P的坐标为或．22．如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上．(1)求反比例函数解析式；(2)证明：点A关于原点的对称点B也在反比例函数的图象上；(3)已知点C在反比例函数的图象上，其横坐标为4，且点C、点D关于原点中心对称，求证四边形是矩形．【答案】(1)(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）先根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数求出，再求出当时，y的值即可得到答案；（3）先求出∴，再由C、D关于原点对称，得到，，同理得，即可证明四边形是平行四边形，再利用勾股定理证明，即，即可证明平行四边形是矩形．【解析】（1）解：把代入到反比例函数解析式中得：，∴，∴反比例函数解析式为；（2）证明：∵A、B两点关于原点对称，，∴；在中，当时，，∴在反比例函数的图象上；（3）证明：在中，当时，，∴，∵C、D关于原点对称，∴，，∵A、B两点关于原点对称，∴，∴四边形是平行四边形，∵，∴，即，∴平行四边形是矩形．【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，矩形的判定，关于原点对称的点的坐标特点，勾股定理，熟知矩形的判定定理是解题的关键．23．如图1，在平面直角坐标系中，正方形ABCD顶点C（3，0），顶点D（0，4），过点A作AF⊥y轴于F点，过点B作x轴的垂线交过A点的反比例函数y＝（k＞0）的图象于E点，交x轴于G点．（1）求证：△CDO≌△DAF．（2）求反比例函数解析式及点E的坐标；（3）如图2，过点C作直线l∥AE，在直线l上是否存在一点P使△PAC是等腰三角形？若存在，求P点坐标，不存在说明理由．【答案】（1）见解析；（2）为y＝，点E的坐标为（7，4）；（3）在直线l上存在一点P使△PAC是等腰三角形，点P的坐标为（﹣3，6），（﹣2，5），（8，﹣5），（﹣，）．【分析】（1）利用同角的余角相等可得出∠CDO＝∠DAF，结合∠DOC＝∠AFD＝90°及DC＝AD，可证出△CDO≌△DAF；（2）利用全等三角形的性质可求出AF，FD的长，进而可得出点A的坐标，由点A的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出反比例函数解析式，同（1）可证出△CDO≌△BCG，利用全等三角形的性质及反比例函数图象上点的坐标特征可求出点E的坐标；（3）由点A，E的坐标，利用待定系数法可求出直线AE的解析式，结合直线l∥AE及点C的坐标可求出直线l的解析式，设点P的坐标为（m，﹣m+3），结合点A，C的坐标可得出AC2，AP2，CP2的值，分AC＝AP，CA＝CP及PA＝PC三种情况可得出关于m的方程，解之即可得出点P的坐标．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝DC，∠ADC＝90°，∴∠ADF+∠CDO＝90°．∵∠ADF+∠DAF＝90°，∴∠CDO＝∠DAF．在△CDO和△DAF中，，∴△CDO和△DAF（AAS）．（2）解：∵点C的坐标为（3，0），点D的坐标为（0，4），∴OC＝3，OD＝4．∵△CDO和△DAF，∴FA＝OD＝4，FD＝OC＝3，∴OF＝OD+FD＝7，∴点A的坐标为（4，7）．∵反比例函数y＝（k＞0）过点A，∴k＝4×7＝28，∴反比例函数解析式为y＝．同（1）可证出：△CDO≌△BCG，∴GB＝OC＝3，GC＝OD＝4，∴OG＝OC+GC＝7，∴点G的坐标为（7，0）．当x＝7时，y＝＝4，∴点E的坐标为（7，4）．（3）解：设直线AE的解析式为y＝ax+b（a≠0），将A（4，7），E（7，4）代入y＝ax+b，得：，解得：，∴直线AE的解析式为y＝﹣x+11．∵直线l∥AE，且直线l过点C（3，0），∴直线l的解析式为y＝﹣x+3．设点P的坐标为（m，﹣m+3），∵点A的坐标为（4，7），点C的坐标为（3，0），∴AP2＝（m﹣4）2+（﹣m+3﹣7）2＝2m2+32，AC2＝（3﹣4）2+（0﹣7）2＝50，CP2＝（m﹣3）2+（﹣m+3）2＝2m2﹣12m+18．分三种情况考虑：①当AC＝AP时，50＝2m2+32，解得：m1＝3（舍去），m2＝﹣3，∴点P的坐标为（﹣3，6）；②当CA＝CP时，50＝2m2﹣12m+18，解得：m3＝﹣2，m4＝8，∴点P的坐标为（﹣2，5）或（8，﹣5）；③当PA＝PC时，2m2+32＝2m2﹣12m+18，解得：m＝﹣，∴点P的坐标为（﹣，）．综上所述：在直线l上存在一点P使△PAC是等腰三角形，点P的坐标为（﹣3，6），（﹣2，5），（8，﹣5），（﹣，）．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质、反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求反比例函数及一次函数解析式、平行线的性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是：（1）利用全等三角形的判定定理AAS证出△CDO≌△DAF；（2）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（3）分AC=AP，CA=CP及PA=PC三种情况，找出关于m的方程．24．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+b与坐标轴交于C，D两点，直线AB与坐标轴交于A，B两点，线段OA，OC的长是方程x2﹣3x+2＝0的两个根（OA＞OC）．(1)求点A，C的坐标；(2)直线AB与直线CD交于点E，若点E是线段AB的中点，反比例函数y＝（k≠0）的图象的一个分支经过点E，求k的值；(3)在（2）的条件下，点M在直线CD上，坐标平面内是否存在点N，使以点B，E，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)A（﹣2，0），C（1，0）(2)k=﹣2(3)存在，点N的坐标为（﹣，4+）、（，4﹣）或（，）(-3,1)．【分析】（1）利用分解因式法解一元二次方程x²-3x+2=0即可得出OA、OC的值，再根据点所在的位置即可得出A、C的坐标；（2）根据点C的坐标利用待定系数法即可求出直线CD的解析式，根据点A、B的横坐标结合点E为线段AB的中点即可得出点E的横坐标，将其代入直线CD的解析式中即可求出点E的坐标，再利用待定系数法即可求出k值；（3）假设存在，设点M的坐标为（m，-m+1），分别以BE为边、BE为对角线来考虑，根据菱形的性质找出关于m的方程，解方程即可得出点M的坐标，再结合点B、E的坐标即可得出点N的坐标.【解析】（1）x2﹣3x+2=(x﹣1)(x﹣2)=0，∴x1=1，x2=2，∵OA＞OC，∴OA=2，OC=1，∴A（﹣2，0），C（1，0）．（2）将C（1，0）代入y=﹣x+b中，得：0=﹣1+b，解得：b=1，∴直线CD的解析式为y=﹣x+1．∵点E为线段AB的中点，A（﹣2，0），B的横坐标为0，∴点E的横坐标为﹣1．∵点E为直线CD上一点，∴E（﹣1，2）．将点E（﹣1，2）代入y=（k≠0）中，得：2=，解得：k=﹣2．（3）假设存在，设点M的坐标为（m，﹣m+1），以点B，E，M，N为顶点的四边形是菱形分两种情况（如图所示）：①以线段BE为边时，∵E（﹣1，2），A（﹣2，0），E为线段AB的中点，∴B（0，4），∴BE=AB=．∵四边形BEMN为菱形，当EM==BE=，解得：m1=，m2=∴M（，2+）或（，2﹣），∵B（0，4），E（﹣1，2），∴N（﹣，4+）或（，4﹣）；当BE=BM时有=解得m=-1(舍)或m=-2∴M（-2，3）则N(-3,1)②以线段BE为对角线时，MB=ME，∴，解得：m3=﹣，∴M（﹣，），∵B（0，4），E（﹣1，2），∴N（0﹣1+，4+2﹣），即（，）．综上可得：坐标平面内存在点N，使以点B，E，M，N为顶点的四边形是菱形，点N的坐标为（﹣，4+）、（，4﹣）或（，）(-3,1)．【点睛】本题考查了一元二次方程、待定系数法求函数解析式、菱形的性质，本题难度不大，解决这类题型时，要充分理解题意，根据菱形的性质找出关于点M坐标的方程是关键，注意分类讨论的思想．25．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有经验，请画出函数的图象，并探究该函数性质．(1)绘制函数图象①列表：下列是x与y的几组对应值，其中___________，_