工程数学 积分变换 第四版 课后习题答案

工程数学积分变换（第四版张元林编）

课后习题答案编辑者：余小龙

第一章：Fourier变换

习题一解答

1、证：利用Fourier积分变换的复数形式，有

枚)=听，%]/力

2"8氏J

J广”1产00.

=——/(r)(cos6>r-/sintyr)JreJtdo)

2J-”7tJ,

1[a(co)-JZ?(6y)](coscot+jsincot)d(o

2

由于

a(c6)-a(-co)9b(a))=-b(-co),

所以

1f-KO1f-WO

/(/)=—ja(a))coscotdco+—jb(co)sincotdco

=Ia(3)coscotdco+「b(co)sincotdco。

注：本题也可以由Fourier积分公式的三角形式得到证明。

/岑:它是一个连续的偶

2、解：（1）此题亦可写成/«）=）

函数，利用Euler公式和分部积分法，由Fourier积分公式的复

数形式，有

f(r)e~ioirdrejatdco=—-T2)COScozdve，"dco

sinCOT2rcosd)r2sinCOTr2sinCOT

kF*dco

4J-xco

0

I产2(sinco-cocosco)

=口dco

2产sin。一口8S69」..、，

=--------------(coscot+jsin(ot)aco

冗J-xCD

4sinco—o»coso),

=--------：-----coscotdco

乃J°a)3

(2)函数/⑺为一连续函数，用类似于(1)的方法，有

,")=?匚Tsin2^T0「dTejaMdco

sin2^_(1+>)rJrej(Mdco

1「工-o+»r，3)sin26一2cos2r}

eQ+iM

2%L{-(1+yty)|2+4edco

2

eiMda)

5-a)2+2jco

1f+o0(5—co")—j2s...、，

=—1-------------1~~；------1(cosdX+jsincot)dct)

)人力[(5-ey2)+j2<y|(5-<y2)-j2a)\

1「8(5一疗)cosm+2口sin欣+j(5-co2)sincot-jlcocoscoi

da)

7CJ"(5一疗＞+4疗

2严(5—")cos创+23sina,

-----------—；----7-----dco

1J-*25-6<y3+co4

⑶可以看出了⑺为奇函数，且・1,0』为其间断点。因此，在了⑺的连

续点处，有

f(r)e~itardre」"dco

/(r)sin<yzr/rei<adco=^-^^^

二「sincodco

N4JT-s[J。VJT

-j产1-COS@/..、，1产l-cos。.

=——-------(cos•+jsinot)d(o=--------sincotdcfo

reJ-，co乃co

2r+^l-costy..

=--------sincotdco

万J。CD

而在/⑺的间断点/。=-1,0,1处，左边的f(t)应以g(//+0)+/(r0-0))代

替。

注：以上三小题，都可利用Fourier积分公式的三角形式而求得结果。

3、解：(1)/⑺为一连续偶函数，由Fourier积分公式的三角形式,

有

/«)=十「[「/⑺8s丽一Qdrdco

弓「［口加(coscotcoscor+sincotsincor)dvdco

2cos叫0e~pTcoscovdrdco

2r8(-^cos67r+twsinCOT)

coscotdco

冗1+苏

p0

=2r

―7---7cosojtdco

万Jo02+苏

由此可得「COS"

P1+C02

(2)/⑺为连续偶函数，有Fourier积分公式的三角形式，有

/(r)=—£^^j^/(r)cosco(t-T)dTdco

•4<C

ir[Eencosr(coscotcosCOT+sin(otsinCOT)drdco

4f[£(4<CMcosrcoscotcoscordr\clco

工re~^cosrcoscovdrcoscotdco

=­ffe~T-(cosfe?+l)r+cos(69—V)v}dTcoscotdco

万Jo[Jo2

e~T(-cos(d)+l)r+(0+l)sin3+l)r)e~r(-cos(ty-l)r+(啰一l)sin((y-l)r)

4-coscotdco

1+(。+1+(。-1产

,2r+o°co2+2

——coscotaco=——；---coscotdco

笈J。11+3+1)l+(6y-l)~几3。a)4+4

由此可得

8+2«7C\兀一团

coscotdco=—=—e11cosr

/+4

(3)/⑺为一连续的奇函数，由Fourier积分公式的三角形式，有

/")二/『[匚dC°

=—£[j/(TXCOScotCOSCOT+sincotsinCOT)drdco

=-l^sinrsin6yzz/rsincjtdco

lrx《「g(cos(ty-l)r-cos(d>+l)r)Jrsincotdco

万Jo

sin(6w-l)sin(<y+l)

sincotda)

4r69-1o刃+1o

sin(。-l);rsin(o+l)乃

)sin(i)tda)

4r(CD-\ty+1

2产sincon.,

=------sincotaco

%J。1-3-

由此可得

7T.w«肛

r+^sin(07V.,乃人、—sinr,

JoYersin^=-/(/)=2

1/＞乃」

0,

注：以上三小题都可以由Fourier积分公式的复数形式获得结果。

4、解：根据Fourier正弦积分公式，并利用分部积分法，有

削=汨I*/(r)sintyzz/rsincotdco

■KO

e-//rsincoTdisincadco

48

2产«一"(PsinCOT-COCOSCOT)

sincotdco

份+心

2产3,,

――T---------------sincotdco.

万J。,2+苏

根据Fourier余弦积分公式，同理可得

1广[)/(r)cos&Mrcoscotdco

万JO

21••foe

口e~pTcos(Didicos(otdeo

2产e-"(3sinG「一£cos0r),

=----------------Y--------COSCOtdCD

万|_£2+020

2产〃,

=——r2-~-coscotdco.

万J。J32+CD2

习题二解答

1、解：根据Fourier变换的定义，有

F(M=.冗/(，)]

=J：f⑺"向力="加大=-^-(1-df.

2、证：因为/⑺与F（⑷是一个Fourier变换对，即

尸3）=口⑺产dr,

/”）=与「F（M，力。

2万J

如果F（o）为奇函数,即尸（一0）=-尸（⑼，则

=—P-F[-co)ei{-m}tdco

2乃J-3

(令-69=〃)=—「＞(〃)""点

21J+8

（换积分变量u为①）=-尸（⑼e”3

=一，«）。

所以/⑺亦为奇函数。

如果/⑺为奇函数，即/（-）=—/（，），则

F{-co)=匚/⑺"八一⑼"

二匚一/(一。/以一')4

(令—=〃)=rf(u)e-iM：du

J+00

（换积分变量〃为f）=-匚/⑺*陶力

=—F(co')

所以F（⑼亦为奇函数。

同理可证/⑺与尸（⑼同为偶函数。

3、解：（1）由Fourier变换的定义，有

-H0

e+oo,+ooe+8/y。-(b+jW

F(co)=J.f(t)e/山=£ae^e^dt=e^^dt=；八@

0

aa(fi-jco)

p+jCOp1+C01

由Fourier积分公式，并利用奇偶函数的积分性质,在/⑺的连续点处,

有

e^dco

9匚"2

0)