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上海市四校八大重点高中数学自招真题汇编四（建平）已知，那么的值。 解：显然同号若，，则若，，则（交附）小明负责小组里个同学的作业本的收发，但做事比较马虎。如果他随机的分发个同学的本子，那么他把每个同学的本子都发错的概率是。解：分母为；第一个同学发错有种可能，假设第一个同学拿了第四个同学的本子，则第四个同学的本子必错，也有种可能，剩下的只能是第二个同学拿第三个同学的本子；第三个同学拿第二个同学的本子，∴每个同学的本子都发错的概率为.（上中）定圆的半径为，动圆的半径为，且是一个整数，动圆保持内切于圆且沿着圆的圆周滚动一圈，若动圆开始滚动时切点与结束时的切点是同一点，则共有个可能的值？解：若动圆开始滚动时切点与结束时的切点是同一点；则是的倍数；，有个正因数；∵∴有个可能的值。（上中）学生若干人租游船若干只，如果每船坐人，就余下人；如果每船坐人，那么就有一船不空也不满。则学生共有人？解：设租游船只；由题意得解得正整数解为；学生共有人。（建平）如图，是⊙的直径，且，弦的长为，若弦的两端在圆上滑动时，始终与相交，记点到的距离分别为，则。解：易知，∴易知∴。（华二）解关于的方程。解：当即时，原方程无解；当即时，当即时，或解得：或。（复附）二次函数的图像开口向上，与轴交于两点，与轴交于点，以为顶点，若△的外接圆与轴相切，且，则时，的最小值是。解：设，圆心坐标为,则∵∴，化简得：，∴在△中，，，∴.，∴∴，解得，∴∴∴∴当时，（此时取负）当时，（此时取正）。综上当时，的最小值是。（华二）（1）设是给定的正整数，化简：；（2）根据（1）的结果，计算的值。解：（1）（注：用倒数方程因式分解）（2）∵∴∴原式。（复附）已知实数满足：①；②。求证：个数，。证明：设中全体非负数之和为，全体负数之和为，则，，∴，.若全是非负数，则若全是负数，则若有非负数和负数，记中全体非负数之和为，全体负数之和为，∴当时，当时， ∴综上：个数，。【备用】对于正整数，定义，如果，那么（）。

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