第13讲 第三章 圆锥曲线的方程 章节验收测评卷（综合卷）（解析版）

第三章圆锥曲线的方程章节验收测评卷(综合卷）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（2023春·陕西榆林·高二统考期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若到直线的距离为7，则（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【详解】由抛物线的焦点为，准线方程为，如图，因为点在上，且到直线的距离为，可得到直线的距离为，即点到准线的距离为，根据抛物线的定义，可得点到焦点的距离等于点到准线的距离，所以.故选：B2．（2023春·四川资阳·高二统考期末）双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为双曲线，所以，，所以，的离心率，故B，C，D错误.故选：A.3．（2023春·河北石家庄·高二石家庄一中校考阶段练习）若将如图所示大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，此双曲线一条渐近线为，下焦点到下顶点距离为1，则该双曲线方程为（

）

A． B．C． D．【答案】A【详解】由题意可得，又，则，即该双曲线方程为．故选：A．4．（2023春·四川资阳·高二统考期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线经过且与的右支相交于A，B两点，若，则的周长为（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【详解】双曲线的实半轴长，由双曲线的定义，可得所以，则三角形的周长为.故选：B5．（2023春·江苏扬州·高二统考开学考试）若将一个椭圆绕其中心旋转90°，所得椭圆短轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，这样的椭圆称为“对偶椭圆”．下列椭圆中是“对偶椭圆”的是（

）．A． B．C． D．【答案】C【详解】解：因为所得椭圆短轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，所以，即，A．，则，故错误；B．，则，故错误；C．，则，故正确；D．，则，故错误；故选：C6．（2023春·河北石家庄·高三校联考阶段练习）已知抛物线：的焦点为，准线为，点在抛物线上，过作的垂线，垂足为，若（为坐标原点），则（

）A． B．3 C． D．4【答案】A【详解】因为，所以，即，，，又∵，∴.

故选：A.7．（2023春·江苏南京·高二统考期末）直线过圆的圆心，且与圆相交于，两点，为双曲线右支上一个动点，则的最小值为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【详解】圆，圆心，半径，因为直线过圆的圆心，且与圆相交于，两点，所以，又双曲线，则，，右焦点为，所以，又，即，所以，当点在右顶点时取等号，即，所以的最小值为，故选：D.

8．（2023春·河南洛阳·高二统考期末）已知双曲线（，）的离心率，是双曲线上关于原点对称的两点，点是双曲线上异于的动点，直线的斜率分别为，，若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意，在双曲线（，）中，离心率，∵，解得：，∴，是双曲线上关于原点对称的两点，点是双曲线上异于的动点，设，∴，解得：，∵直线的斜率分别为，，且，∴，∴故选：B.

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．（2023·全国·高三专题练习）已知曲线：，则（

）A．当时，是双曲线，其渐近线方程为B．当时，是椭圆，其离心率为C．当时，是圆，其圆心为，半径为D．当，时，是两条直线【答案】AC【详解】对于选项A，或，当时，原方程可化为，所以是焦点在轴上的双曲线，其渐近线方程为，当时，原方程可化为，所以是焦点在轴上的双曲线，其渐近线方程为，故A正确；对于选项B，当时，，原方程可化为，所以是焦点在轴上的椭圆，所以，所以，故B错误；对于选项C，当时，原方程可化为，所以是圆，其圆心为，半径为，故C正确；对于选项D，若，时，原方程可化为，当时，，此时是两条直线，当时，上面方程无解，此时不表示任何图形，故D错误．故选：AC．10．（2023·安徽马鞍山·统考二模）已知抛物线的焦点为F，点P在准线上，过点F作PF的垂线且与抛物线交于A，B两点，则（

）A．最小值为2 B．若，则C．若，则 D．若点P不在x轴上，则【答案】ABC【详解】点，抛物线的准线方程为，设，，所以点P在横轴上时有最小值2，所以选项A正确；若，根据抛物线的对称性可知点P在横轴上，把代入中，得，，此时，于是有，所以选项B正确；因为，显然点P不在横轴上，则有，所以直线的方程为代入抛物线方程中，得，设，，，所以选项C正确，点P不在x轴上，由上可知：，，，而，显然，所以选项D不正确，故选：ABC11．（2023·广东茂名·茂名市第一中学校考三模）我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质：，是双曲线的左､右焦点，从发出的光线射在双曲线右支上一点，经点反射后，反射光线的反向延长线过；当异于双曲线顶点时，双曲线在点处的切线平分.若双曲线的方程为，则下列结论正确的是（

）

A．射线所在直线的斜率为，则B．当时，C．当过点时，光线由到再到所经过的路程为13D．若点坐标为，直线与相切，则【答案】ABD【详解】解：因为双曲线的方程为，所以，渐近线方程为，选项A，因为直线与双曲线有两个交点，所以，即A正确；选项B，由双曲线的定义知，，若，则，因为，所以，解得，即B正确；选项C：，即C错误；选项D，因为平分，由角分线定理知，，所以，又，所以，解得，即D正确.故选：ABD.12．（2023秋·浙江丽水·高二统考期末）已知抛物线，点，，过点的直线与抛物线交于，两点，AP，AQ分别交抛物线于，N两点，为坐标原点，则（

）A．焦点坐标为 B．向量与的数量积为5C．直线MN的斜率为 D．若直线PQ过焦点，则OF平分【答案】BCD【详解】

对于A项，由抛物线标准方程可得焦点，即A错误；对于B项，可设直线AP方程为：，设，与抛物线联立可得∴，故B正确；对于C项，可设直线QP方程为：，设，∴，直线QP方程与抛物线方程联立，化简可得，又由上可知，同理有，∴，，故C正确；对于D项，由上设直线QP方程为：，，联立抛物线有，若PQ过焦点F，则有，即结合上，及可知，此时，即直线AP、QA关于横轴对称，OF平分，故D正确.故选：BCD三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）13．（2023春·上海青浦·高二统考期末）若双曲线的一条渐近线与直线平行，则．【答案】【详解】双曲线的渐近线为，又因为双曲线的一条渐近线与直线平行，所以.故答案为：.14．（2023·全国·高三对口高考）已知，是椭圆的两个焦点，那么在C上满足的点有个．【答案】2【详解】不妨设，，，则，所以轨迹方程为，轨迹为以原点为圆心，为半径的圆，而椭圆中，，故的轨迹与椭圆交于短轴顶点，所以在C上满足的点有2个.故答案为：215．（2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）已知F是抛物线的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若，则【答案】4【详解】易知焦点F的坐标为，准线方程为，如图，作于，于，，可知线段BM平行于AF和DN，因为，，，所以，又由定义知，所以.

故答案为：4.16．（2023·江苏苏州·模拟预测）“工艺折纸”起源于中国，它不仅是一种把纸张折成各种不同形状的艺术活动，也是一种有益身心、开发智力的思维活动.折纸凭借着折叠时产生的几何形的连续变化而形成物象，这中间蕴含着数学、几何、测绘、造型等多学科、综合学问的运用.为了让学生感受数学之美，提升学生的综合素养，某学校开设了“折纸与数学”校本课，课上让每位学生准备一张半径为8的圆形纸片，按如下步骤进行折纸、观察和测绘.步骤1：在圆内取一点，使得到圆心的距离为6（如图）；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好经过点；步骤3：把纸片展开，留下一道折痕；步骤4：不停重复步骤2和步骤3，得到越来越多的折痕.过作其中一道折痕的垂线，垂足为，则；经观察，学生发现圆面上的所有折痕围成了一条优美的曲线，若以所在直线为轴，的中点为原点建立平面直角坐标系，则的方程为.

【答案】50【详解】如图以E为原点建立坐标系，设，F在圆上对应的点，则，；

连接交折痕于P，连接PF，由折叠的性质可得，根据椭圆的定义可知，动点P的轨迹为椭圆，长轴为8，焦距为6，所以C的方程为：.

故答案为：50；四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17．（2023春·新疆塔城·高二统考开学考试）双曲线的左、右焦点分别为，已知焦距为8，离心率为2，(1)求双曲线标准方程；(2)求双曲线的顶点坐标、焦点坐标、实轴和虚轴长及渐近线方程.【答案】(1)(2)答案见详解【详解】（1）由题知，，解得，所以，所以双曲线标准方程为：.（2）由（1）知，双曲线焦点在x轴上，所以双曲线的顶点坐标为，焦点坐标为，实轴长，虚轴长，渐近线方程为，即.18．（2023春·海南·高二统考学业考试）已知抛物线：的焦点坐标为．(1)求的方程；(2)直线：与交于A，B两点，若（为坐标原点），求实数的值．【答案】(1)(2)7【详解】（1）由抛物线的定义可得，所以，所以抛物线的方程为．（2）设，．联立方程组得消去得，由，得．所以，．所以，解得或（舍去）．故实数的值为7．19．（2023春·河南郑州·高二河南省实验中学校考期中）已知椭圆，离心率，过点．(1)求的方程；(2)直线过点，交椭圆与两点，记，证明．【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）由题得，解得，于是；（2）由题意知直线斜率存在，设直线，联立方程即，消可得，由，设，韦达定理可得；综上所述：.20．（2023春·黑龙江哈尔滨·高二统考期末）已知双曲线.四个点中恰有三点在双曲线上.(1)求双曲线的方程；(2)若直线与双曲线交于两点，且，求原点到直线的距离.【答案】(1)(2).【详解】（1）由双曲线性质可知，关于原点对称，所以一定在双曲线上，根据双曲线在第一象限图象而和坐标的数中，，但，所以点不在双曲线上，即在双曲线上.解得双曲线的方程为（2）直线的方程为，设，由消去得所以.由，可得，即所以，可化为即则即到的距离.

21．（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）在平面直角坐标系中中，动点到定点的距离比它到轴的距离大1，的轨迹为.(1)求曲线的方程；(2)已知点，分别为曲线上的第一象限和第四象限的点，且，求与面积之和的最小值.【答案】(1)(2)【详解】（1）设动点的坐标为，由已知得，，化简得：，故曲线的方程为.（2）如图：

因为点，分别为曲线上的第一象限和第四象限的点，所以当直线的斜率为0时，不适合题意；当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，由得，，，所以，由，得，因为，所以，所以，所以，解得：或（舍去），当时，直线的方程为，直线过定点，且满足，且，所以，当且仅当，即，时取等号，故最小值为.22．（2023·上海嘉定·校考三模）已知椭圆的左、右焦点分别为和的下顶点为A，直线，点在上.(1)若，线段的中点在轴