【压轴专练】专题04 最短路径问题常考的三种题型（解析版）-2021-2022学年八上压轴题攻略

专题04最短路径问题常考的三种题型类型一、函数中的最值问题（和最小，差最大问题）例1．在平面直角坐标系中，B(2，2)，以OB为一边作等边△OAB（点A在x轴正半轴上）．（1）若点C是y轴上任意一点，连接AC，在直线AC上方以AC为一边作等边△ACD．①如图1，当点D落在第二象限时，连接BD，求证：AB⊥BD；②若△ABD是等腰三角形，求点C的坐标；（2）如图2，若FB是OA边上的中线，点M是FB一动点，点N是OB一动点，且OM+NM的值最小，请在图2中画出点M、N的位置，并求出OM+NM的最小值．【答案】（1）①见解析；②点C的坐标为(0，﹣4)或(0，4)；（2）2【详解】解：（1）①证明：∵△OAB和△ACD是等边三角形，∴BO＝AO＝AB，AC＝AD，∠OAB＝∠CAD＝60°，∴∠BAD＝∠OAC，在△ABD和△AOC中，，∴△ABD≌△AOC（SAS），∴∠ABD＝∠AOC＝90°，∴AB⊥BD；②解：存在两种情况：当点D落在第二象限时，如图1所示：作BM⊥OA于M，∵B（2，2），∴OM＝2，BM＝2，∵△OAB是等边三角形，∴AO＝2OM＝4，同①得：△ABD≌△AOC（SAS），∴BD＝OC，∠ABD＝∠OAC＝90°，若△ABD是等腰三角形，则BD＝AB，∴OC＝AB＝OA＝4，∴C（0，﹣4）；当点D落在第一象限时，如图1﹣1所示：作BM⊥OA于M，∵B（2，2），∴OM＝2，BM＝2，∵△OAB是等边三角形，∴AO＝2OM＝4，同①得：△ABD≌△AOC（SAS），∴BD＝OC，∠ABD＝∠OAC＝90°，若△ABD是等腰三角形，则BD＝AB，∴OC＝AB＝OA＝4，∴C（0，4）；综上所述，若△ABD是等腰三角形，点C的坐标为（0，﹣4）或（0，4）；（2）解：作ON'⊥AB于N'，作MN⊥OB于N，如图2所示：∵△OAB是等边三角形，ON'⊥AB，FB是OA边上的中线，∴AN'＝AB＝2，BF⊥OA，BF平分∠ABO，∵ON'⊥AB，MN⊥OB，∴MN＝MN'，∴N'和N关于BF对称，此时OM+MN的值最小，∴OM+MN＝OM+MN'＝ON，∵ON＝＝＝2，∴OM+MN＝2；即OM+NM的最小值为2．【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在轴上，点，，，．（1）如图①，若点为的中点，求的长；（2）如图②，若点在轴上，且，求的度数；（3）如图③，设平分交轴于点，点是射线上一动点，点是射线上一动点，的最大值为，判断是否存在这样点，，使的值最小？若存在，请在答题卷上作出点，，并直接写出作法和的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）6；（2）15°；（3）存在，图见解析，3【详解】解：（1），,，又∵点为的中点，∴；（2），，∴,是等腰直角三角形，，过点作轴于点，∵,∴是等腰直角三角形，∵,∴，∵,∴,∵,,，，，，，是等腰直角三角形，即，∵,；（3）存在点，；作点O关于BF的对称点D，过点作轴于点，并与射线交于点，连接,则BF垂直平分OD，∴,,∴,当D，N，M在一条直线上时，m最小，最小值为DN的长度，∵,∴,∴为AB的中点，∵,∴,∴,∴．故的最小值为．【变式训练2】如图1，已知直线的同侧有两个点、，在直线上找一点，使点到、两点的距离之和最短的问题，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线的对称点，对称点与另一点的连线与直线的交点就是所要找的点，通过这种方法可以求解很多问题.（1）如图2，在平面直角坐标系内，点的坐标为，点的坐标为，动点在轴上，求的最小值；（2）如图3，在锐角三角形中，，，的角平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值为______.【答案】（1）5；（2）；【详解】解：（1）作点A关于x轴的对称点，连接，的最小值即为的长，构造以为斜边的直角三角形，，在中，由勾股定理得，即，所以的最小值为5.（2）作于点H，交AD与点，过点作于点，则的最小值为，平分，，，在中，，，由勾股定理得，，所以的最小值为.类型二、几何图形中的最短路径问题例．已知点在内．（1）如图1，点关于射线的对称点是，点关于射线的对称点是，连接、、.①若，则______；②若，连接，请说明当为多少度时，；（2）如图2，若，、分别是射线、上的任意一点，当的周长最小时，求的度数．【答案】（1）①100°；②当时，；（2）．【详解】（1）①∵点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，

∴OG=OP，OM⊥GP，∴OM平分∠POG，同理可得ON平分∠POH，

∴∠GOH=2∠MON=2×50°=100°，故答案为：100°；②，，、、三点其线，，，当时，；（2）如图所示：分别作点关于、的对称点、，连接，、、，交、于点、，则，，此时周长的最小值等于的长.由轴对称性质可得，，，，，，由轴对称性质可得，．【变式训练1】如图，在中，点、、均在格点上．在所给直角坐标系中解答下列问题：（1）在图中画出关于轴对称的，并写出的坐标：________________．（2）将平移得使得点的对应点与原点重合，在所给直角坐标系中画出图形，求出的面积；（3）在轴上找一点，使得的周长最小，请直接写出点的坐标．_______________．【答案】（1）画图见解析，；（2）画图见解析，4；（3）P（-1，0）【详解】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求，A1（2，1），B1（3，4），C1（5，2）；（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求，的面积==4；（3）如图所示：得△PAB1的周长最小，P（-1，0）．【变式训练2】如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝12，BC边上的中线AD＝8．（1）证明：△ABC为等腰三角形；（2）点H在线段AC上，试求AH＋BH＋CH的最小值．【答案】(1)证明见解析；(2)19.6【详解】(1)证明：∵AD是BC边上的中线，∴BD=DC=6，∵AB=10，BD=6，AD=8，∴BD2+AD2=62+82=102，∴△ABD是直角三角形，∴AD⊥BC，∵AD⊥BC，BD=DC，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．(2)解：∵AH+BH+CH=BH+AC=BH+10，∴当BH最小时，AH+BH+HC有最小值，由垂线段的性质可知：当BH⊥AC时，BH有最小值，∴，∴，∴BH=9.6，∴AH+BH+HC的最小值为：10+9.6=19.6．类型三、最短路径问题的实际应用例1．如图，两村在一条小河的同一侧，要在河边建水厂向两村供水．（1）若要使自来水厂到两村的距离相等，厂址应选在哪个位置？（2）若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，厂址应选在哪个位置？（3）自来水厂建好后，在招收职工的试卷中有道题“请你在河流上找出一点，使的值最大．”你能找到点吗？请将上述三点在下列各图分别标出，并保留尺规作图痕迹．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）根据垂直平分线的性质可得M在AB的垂直平分线和CD的交点处；（2）首先作出A关于河的对称点A′，再连接A′B，与河的交点就是N位置；（3）根据两边之差小于第三边得到P位于AB与CD交点处时，|PA-PB|最大；【详解】解：（1）∵自来水厂到两村的距离相等，即MA=MB，∴M在AB的垂直平分线上，如图：厂址应该选在M处；（2）由题意可知，若自来水厂到两村的输水管用料最省，即AN+BN最小，如图，A′为点A关于CD的对称点，连接A′B，与CD交于点N，则厂址应该选在点N处；（3）若最大，根据三角形两边之差小于第三边，如图，可知P位于AB与CD交点处时，|PA-PB|最大；【变式训练1】如图1和图2，是直线上一动点，两点在直线的同侧，且点所在直线与不平行.（1）当点运动到位置时，距离点最近，在图1中的直线上画出点的位置；（2）当点运动到位置时，与点的距离和与点距两相等，请在图2中作出位置；（3）在直线上是否存在这样一点，使得到点的距离与到点的距离之和最小？若存在请在图3中作出这点，若不存在清说明理由.（要求：不写作法，请保留作图痕迹）【答案】（1）如图所示见解析；（2）如图所示见解析；（3）如图所示见解析.【详解】（1）如图所示；（2）如图所示；（3）如图所示；【点睛】用到的知识点为：垂线段最短；与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；求一直线同侧两点与直线上一点的距离之和最小，都应从作一点关于直线的对称点入手思考．【变式训练2】曲阜限制“三小车辆”出行后，为方便市民出行，准备为、、、四个村建一个公交车站.（1）请问：公交站建在何处才能使它到4个村的距离之和最小，请在图一中找出点；（2）请问：公交站建在何处才能使它到道路、、的距离相等，请在图二中找出点并加以说明.【答案】（1）见解析；（2）见解析【详解】解：（1）应建在AC，BD连线的交点P处，如图一，

理由：如下图，若不建在P处，建在P1处，由三角形两边之和大于第三边可知，，即P1A+P1C+P1B+P1D＞AC+BD，故结论成立应建在P处．

即P1A+P1C+P1B+P1D＞AC+BD．故结论成立应建在P处．（2）应建在∠ABC与∠DCB角平分线的交