大学物理力学

第1章质点运动学激光波长基准装置§1.1质点位置的确定方法一.质点运动学的基本概念质点：有质量而无形状和大小的几何点。突出了质量和位置质点系:

若干质点的集合。xyzO参照物参考系：参照物+坐标系+时钟(1)运动学中参考系可任选。参照物：用来描述物体运动而选作参考的物体或物体系。P(2)参照物选定后，坐标系可任选。(3)常用坐标系直角坐标系（x,y,z

）

球坐标系（r,θ,

）柱坐标系（

,

,z）

自然坐标系

(s)二.确定质点位置的常用方法1.直角坐标法P(x,y,z)2.位矢法表示。位矢的大小为：位矢的方向用方向余弦表示，则有：参考物质点某时刻位置P(x,y,z)

由位矢

••3.自然坐标法已知质点相对参考系的运动轨迹时，常用自然法。4.运动学方程(函数)直角坐标下自然坐标下已知运动学方程，可求质点运动轨迹、速度和加速度意义:一质点作匀速圆周运动，半径为

r，角速度为

。以圆心O为原点。建立直角坐标系Oxy

，O

点为起始时刻，设t时刻质点位于P（x,y），用直角坐标表示的质点运动学方程为位矢表示为自然坐标表示为例解求用直角坐标、位矢、自然坐标表示的质点运动学方程。求解hx坐标表示为例如图所示，以速度v

用绳跨一定滑轮拉湖面上的船，已知绳初长l0，岸高h取坐标系如图依题意有质点运动学的基本问题之一，是确定质点运动学方程。为正确写出质点运动学方程，先要选定参考系、坐标系，明确起始条件等，找出质点坐标随时间变化的函数关系。O船的运动方程说明§1.2质点的位移、速度和加速度一.位移位移矢量反映了物体运动中位置(距离与方位

)的变化。讨论(1)位移是矢量（有大小，有方向）位移不同于路程(2)位移与参照系位置的变化无关(3)与Δr

的区别OPP’OO分清

二.速度(描述物体运动状态的物理量

)1.平均速度O2.瞬时速度ABB'讨论(1)速度的矢量性、瞬时性和相对性。

(2)注意速度与速率的区别

三.加速度1.平均加速度2.瞬时加速度讨论(1)加速度反映速度的变化（大小和方向）情况。ABO(2)加速度的方向总是指向轨迹曲线凹的一面。

§1.3

用直角坐标表示位移、速度和加速度一.位移x

yzO时刻t，质点位于P，位矢为时刻t+t

，质点位于Q，位矢为时间

t

内质点的位移为建如图所示坐标，则

二.速度1.平均速度2.瞬时速度速度的大小为速度的方向用方向余弦表示为三.加速度大小为方向用方向余弦表示为四.运动学的二类问题1.第一类问题已知运动学方程，求(1)t=1s

到

t=2s

质点的位移(3)轨迹方程(2)t=2s

时已知一质点运动方程求例解(1)(2)(3)当

t=2s

时由运动方程得轨迹方程为解已知求和运动方程代入初始条件代入初始条件2.第二类问题已知加速度和初始条件，求例,t=0

时，由已知有§1.4用自然坐标表示平面曲线运动中的速度和加速度一.速度速度矢量在切线上的投影•

二.加速度第一项：方向为意义：第二项：反映速度大小变化的快慢大小为叫切向加速度叫法向加速度

当

时因而法向加速度：大小为方向为反映速度方向变化的快慢意义：加速度曲率半径一汽车在半径R=200m

的圆弧形公路上行驶，其运动学方程为s=20t-0.2t2(SI)

.根据速度和加速度在自然坐标系中的表示形式，有例汽车在

t=1s时的速度和加速度大小。求解讨论在一般情况下

其中

为曲率半径，引入曲率圆后，整条曲线就可看成是由许多不同曲率半径的圆弧所构成

的方向指向曲率圆中心

•

求抛体运动过程中的曲率半径？如B点思考

已知质点运动方程为求之间的路程。例解质点运动速度为速率为路程有已知质点的运动方程为在自然坐标系中任意时刻的速度

解例求将一根光滑的钢丝弯成一个竖直平面内的曲线，质点可沿钢丝向下滑动。已知质点运动的切向加速度为g为重力加速度，

为切向与水平方向的夹角.由题意可知从图中分析看出

例质点在钢丝上各处的运动速度.求解§1.5圆周运动的角量描述角量与线量的关系按右手法则确定

的正负变化一.角位置与角位移质点作圆周运动的角速度为描述质点转动快慢和方向的物理量角位置（运动学方程)当

为质点圆周运动的角位移二.角速度

三.角加速度角加速度

角速度对时间的一阶导数角加速度的方向与四.角量与线量的关系的方向相同1.位移与角位移的矢量关系式2.速度与角速度的矢量关系式大小方向(由右手法则确定)(标量式)3.加速度与角加速度的矢量关系式第一项为切向加速度第二项为法向加速度(2)设t’时刻，质点的加速度与半径成45o角，则(2)当

=?

时，质点的加速度与半径成45o角？(1)当t=2s

时，质点运动的an

和aτ一质点作半径为0.1m

的圆周运动，已知运动学方程为(1)运动学方程得求解例以及的大小一质点在水平面内以顺时针方向沿半径为2m

的圆形轨道运动。此质点的角速度与运动时间的平方成正比，即ω=kt

2

，k

为待定常数.已知质点在2s

末的线速度为32m/s

t=0.5s时质点的线速度和加速度解例求当t=0.5s时由题意得§1.6不同参考系中的速度和加速度变换定理简介·一.基本概念绝对参照系s，相对参照系s'

(研究对象)三种运动

s'

系相对于s

系的位移：

B点相对于s'

系的位移：

B点相对于s系的位移：绝对、相对和牵连运动二个参照系一个动点—牵连位移—相对位移—绝对位移二.速度变换定理加速度变换定理1.速度变换2.加速度变换一个带篷子的卡车，篷高为h=2m

，当它停在马路边时，雨滴可落入车内达

d=1m

，而当它以15km/h

的速率运动时，雨滴恰好不能落入车中。根据速度变换定理画出矢量图例解雨滴的速度矢量。求升降机以加速度1.22m/s2

上升，有一螺母自升降机的天花板松落，天花板与升降机的底板相距2.74m

。hO'x'Ox取螺母刚松落为计时零点.

三种加速度为:动点为螺母,取二个坐标系如图例解螺母自天花板落到底板所需的时间.求§1.7

牛顿运动三定律任何质点都保持静止或匀速直线运动状态，直到其它物体作用的力迫使它改变这种状态为止。第一定律引进了二个重要概念惯性——质点不受力时保持静止或匀速直线运动状态的的性质,其大小用质量量度。力——使质点改变运动状态的原因质点处于静止或匀速直线运动状态时：(静力学基本方程

)一.牛顿第一定律••二.牛顿第二定律某时刻质点动量对时间的变化率正比与该时刻作用在质点上所有力的合力。取适当的单位，使

k=1，则有当物体的质量不随时间变化时直角坐标系下为•讨论(1)第二定律只适用于质点的运动情况自然坐标下物体在运动中质量有所增减,如火箭、雨滴问题。高速（v>106m/s)运动中,质量与运动速度相关,如相对论效应问题。(2)以下两种情况下，质量不能当常量•••三.牛顿第三定律第三定律揭示了力的两个性质成对性

——物体之间的作用是相互的。同时性

——相互作用之间是相互依存，同生同灭。当物体A以力作用于物体B

时，物体B

也同时以力作用于物体A

上，和总是大小相等，方向相反，且在同一直线上。••讨论第三定律是关于力的定律，它适用于接触力。对于非接触的两个物体间的相互作用力，由于其相互作用以有限速度传播，存在延迟效应。§1.8力学中常见的几种力一.万有引力质量为m1、m2

，相距为r的两质点间的万有引力大小为用矢量表示为说明(1)依据万有引力定律定义的质量叫引力质量，常见的用天平称量物体的质量，实际上就是测引力质量；依据牛顿第二定律定义的质量叫惯性质量。实验表明：对同一物体来说，两种质量总是相等。如图所示，一质点m旁边放一长度为L、质量为M的杆，杆离质点近端距离为l。解例该系统的万有引力大小。求当

l>>L

时(2)万有引力定律只直接适用于两质点间的相互作用杆与质点间的万有引力大小为质点与质量元间的万有引力大小为解求该系统的万有引力大小两质量元间的万有引力大小为(3)重力是地球对其表面附近物体万有引力的分力为物体所处的地理纬度角设地球半经为R，质量为M，物体质量为m，考虑地球自转后物体重力为二.弹性力当两宏观物体有接触且发生微小形变时，形变的物体对与它接触的物体会产生力的作用，这种力叫弹性力。•在形变不超过一定限度内，弹簧的弹性力遵从胡克定律•绳子在受到拉伸时，其内部也同样出现弹性张力。•无形变，无弹性力设绳子MN两端分别受到的拉力为和。MNP想象把绳子从任意点P切开，使绳子分成MP和NP两段，其间的作用力大小T叫做绳子在该点P

的张力。如图所示。设绳子以垂直加速度运动，绳子质量线密度为

，

则其上任一小段

l

满足下列方程

l由方程看出：一般情况下，绳子上各处的张力大小是不相等的，但在绳子的质量可以忽略不计时，绳子上各处的张力相等。•四.摩擦力当两相互接触的物体彼此之间保持相对静止，且沿接触面有相对运动趋势时，在接触面之间会产生一对阻止上述运动趋势的力，称为静摩擦力。

1.静摩擦力说明静摩擦力的大小随引起相对运动趋势的外力而变化。最大静摩擦力为

fmax=µ0N2.滑动摩擦力两物体相互接触，并有相对滑动时，在两物体接触处出现的相互作用的摩擦力，称为滑动摩擦力。

(

µ0为最大静摩擦系数，N为正压力)(

µ为滑动摩擦系数)§1.9牛顿运动定律的应用一.微分问题例解二

.积分问题求物体受到的力已知一物体的质量为

m,

运动方程为已知运动状态，求质点受到的合力已知质点受到的合力，求运动状态。与质点运动学相似，质点动力学问题大体可分为两类问题。设一高速运动的带电粒子沿竖直方向以

v0

向上运动，从时刻

t=0

开始粒子受到

F=F0t

水平力的作用，F0

为常量，粒子质量为

m

。水平方向有例解粒子的运动轨迹。求运动轨迹为竖直方向有设一物体在离地面上空高度等于地球半径处由静止落下。在地面附近有以地心为坐标原点，物体受万有引力解可得：例它到达地面时的速度（不计空气阻力和地球的自转）。求例在竖直向上方向建坐标，地面为原点（如图）.设压力为

N解Oyly取整个绳为研究对象一柔软绳长

l，线密度

，一端着地开始自由下落.求下落到任意长度

y

时刻，给地面的压力为多少？以初速度v0

竖直向上抛出一质量为m

的小球，小球除受重力外，还受一个大小为αmv

2

的粘滞阻力。解例求小球上升的最大高度。装沙子后总质量为M

的车由静止开始运动，运动过程中合外力始终为

f

，每秒漏沙量为

。解取车和沙子为研究对象，地面参考系如图，t=0

时

v

=0例fx求车运动的速度。即§1.10

牛顿运动定律的适用范围一.惯性系甲乙m——牛顿定律适用——牛顿定律不适用有力地面参考系中的观察者甲：运动车厢参考系中的观察者乙：有力和加速度即无加速度惯性系：牛顿运动定律适用的参照系结论：牛顿第二定律不能同时适用于上述两种参考系讨论(2)相对于一惯性系作匀速直线运动的参照系都是惯性系。(1)严格的惯性系是关于参照系的一种理想模型。大多数情况下，通常取地面参照系为惯性参照系。二.牛顿运动定律的适用范围牛顿运动定律适用于宏观物体的低速运动。说明物体的高速运动遵循相对论力学的规律；微观粒子的运动遵循量子力学的规律。牛顿力学是一般技术科学的理论基础和解决实际工程问题的重要依据和工具。(1)(2)三.惯性力设

S‘系(非惯性系)相对S

系(惯性系)平动，加速度为

。质点

m

在S

系和S

'系的加速度分别为由伽俐略变换有在S

系:引入虚拟力或惯性力惯性力是虚拟力，没有施力者，也没有反作用力。不满足牛顿第三定律。在S'

系：牛顿第二定律形式上成立说明惯性力的概念可推广到非平动的非惯性系。(1)(2)则TT质量分别为

m1和

m2的两物体用轻细绳相连接后，悬挂在一个固定在电梯内的定滑轮的两边。滑轮和绳的质量以及所有摩擦均不计。当电梯以

a0=g/2

的加速度下降时。解取电梯为参考系例m1和m2的加速度和绳中的张力。求m1gm2gO'对m1有对m2有m方法（一）取地面为参考系例一光滑斜面固定在升降机的底板上，如图所示，当升降机以匀加速度a0

上升时，质量为m的物体从斜面顶端开始下滑。yxx

方向y方向物体对斜面的压力和物体相对斜面的加速度。求解设物体的加速度为yxx方向y方向方法（二）取升降机为参考系惯性力超重与失重：台秤上显示的体重读数是多少？向下失重amgN向上超重解:

2.匀速转动参考系中的惯性力

A:质点受绳子的拉力提供的向心力，所以作匀速圆周运动。B：质点受绳子的拉力，为什么静止？在匀速转动的非惯性系中，设想小球受到一个惯性离心力F*的作用，大小与绳子的拉力相等，方向与之相反，所以小球处于静止的平衡状态。T+F*=0F*=m

2rmTAωmTBF*ω以地面为参考系,由细绳的张力所提供的向心力T

使小球作圆周运动,符合牛顿运动定律,以圆盘这个非惯性系为参考系,小球受细绳的力作用静止，不符合牛顿运动定律

T+F*=0，若质点在匀速转动非惯性系中保持静止,则外力与惯性离心力的合力等于零。

F*=m

2r;惯性力方向总是背离轴心，惯性离心力。*3.科里奥利力

物体相对于匀速转动参考系运动时，物体受到惯性离心力和另一种称为科里奥利力的惯性力作用。设想，一个带有径向光滑沟槽的圆盘，以匀角速度

绕通过盘心并垂直于盘面的固定竖直轴O转动，处于沟槽中的质量为m的小球以速度u沿沟槽相对于圆盘作匀速运动，如图Ft+Fc=0存在横向加速度在匀速转动的非惯性系中分析力学问题时，一般情况下需要同时考虑惯性离心力和科里奥利力。

在地球上，科里奥利力的作用非常明显。在北半球，从北向南流动的气流所受科里奥利力的方向是从东向西的，这就形成所谓东北信风。而在南半球则形成东南信风。在北半球地面上运动的物体，所受科里奥利力总是指向前进方向的右侧；在南半球地面指向前进方向的左侧。所以北半球的河流，右岸被冲刷得比较厉害，常呈陡峭状。单行线铁路的右轨被磨损得比较严重。而在南半球，情况与此相反。

科里奥利力Fc与u、

三者方向满足右螺旋关系，右手定则，右手四指由u经小于

角转向

,伸直拇指方向就是Fc方向。求地球表面纬度处质量为m的物体的重量。解:

mTFWF*

惯性离心力除惯性离心力外,还有地球对它的万有引力F和绳子对它的张力T,并且有

处于地球表面的物体所受地球的万有引力与重力是不同的,而且物体的质量与重量这两个概念是有本质差别的。重量随所处纬度的增高而增大很小,上式高次方项可略去,所以3.物体运动时的流体阻力当物体穿过液体或气体运动时，会受到流体阻力，该阻力与运动物体速度方向相反，大小随速度变化。(1)

当物体速度不太大时，流体为层流，阻力主要由流体的粘滞性产生。这时流体阻力与物体速率成正比。(2)当物体穿过流体的速率超过某限度时（低于声速），流体出现旋涡，这时流体阻力与物体速率的平方成正比。(3)当物体与流体的相对速度提高到接近空气中的声速时，这时流体阻力将迅速增大。第2章功和能图为秦山核电站全景§2.1

功一.恒力的功二.变力的功空间积累：功时间积累：冲量研究力在空间的积累效应

功、动能、势能、动能定理、机械能守恒定律。MMabsxyzOab求质点M

在变力作用下，沿曲线轨迹由a运动到b，变力作的功

一段上的功：M在在直角坐标系中

说明(1)功是标量，且有正负(2)合力的功等于各分力的功的代数和在ab一段上的功在自然坐标系中(3)一般来说，功的值与质点运动的路径有关

三.功率力在单位时间内所作的功，称为功率。平均功率当

t

0时的瞬时功率

质量为10kg的质点，在外力作用下做平面曲线运动，该质点的速度为解在质点从y=16m

到y=32m

的过程中，外力做的功。求例,开始时质点位于坐标原点。L缓慢拉质量为m的小球，解xy例

=

0

时，求已知用力保持方向不变作的功。已知

m=2kg,

在

F=12t

作用下由静止做直线运动解例求t=0

2s内F作的功及t=2s时的功率。xyzO§2.2

几种常见力的功

一.重力的功重力mg在曲线路径M1M2上的功为

重力所作的功等于重力的大小乘以质点起始位置与末了位置的高度差。(1)重力的功只与始、末位置有关，而与质点所行经的路径无关。(2)质点上升时，重力作负功；质点下降时，重力作正功。

mG结论②①二.弹性力的功(1)弹性力的功只与始、末位置有关，而与质点所行经的路径无关。(2)弹簧的变形减小时，弹性力作正功；弹簧的变形增大时，弹性力作负功。弹簧弹性力由x1到x2

路程上弹性力的功为

弹性力的功等于弹簧劲度系数乘以质点始末位置弹簧形变量平方之差的一半。结论xO三.万有引力的功

上的元功为万有引力F在全部路程中的功为(1)万有引力的功，也是只与始、末位置有关，而与质点所行经的路径无关。Mabm结论在位移元四.摩擦力的功在这个过程中所作的功为

摩擦力的功，不仅与始、末位置有关，而且与质点所行经的路径有关。摩擦力方向始终与质点速度方向相反(2)质点移近质点时，万有引力作正功；质点A远离质点O时，万有引力作负功。结论摩擦力§2.3

动能定理一.质点动能定理

作用于质点的合力在某一路程中对质点所作的功，等于质点在同一路程的始、末两个状态动能的增量。

(1)Ek

是一个状态量,A

是过程量。(2)动能定律只用于惯性系。

说明二.质点系动能定律把质点动能定理应用于质点系内所有质点并把所得方程相加有:(1)内力和为零,内力功的和是否为零？不一定为零ABABSL讨论(2)内力的功也能改变系统的动能例:炸弹爆炸，过程内力和为零，但内力所做的功转化为弹片的动能。

一轻弹簧的劲度系数为k=100N/m，用手推一质量m=0.1

kg

的物体把弹簧压缩到离平衡位置为x1=0.02m处,如图所示。放手后，物体沿水平面移动到x2=0.1m而停止。

放手后，物体运动到x1

处和弹簧分离。在整个过程中，解例物体与水平面间的滑动摩擦系数。求摩擦力作功弹簧弹性力作功根据动能定理有长为l的均质链条，部分置于水平面上，另一部分自然下垂,已知链条与水平面间静摩擦系数为

0,滑动摩擦系数为

(1)以链条的水平部分为研究对象，设链条每单位长度的质量为

，沿铅垂向下取Oy

轴。解Oy例求满足什么条件时，链条将开始滑动

(2)若下垂部分长度为b时，链条自静止开始滑动，当链条末端刚刚滑离桌面时，其速度等于多少？当y>b0

，拉力大于最大静摩擦力时，链条将开始滑动。

设链条下落长度y=b0

时，处于临界状态(2)以整个链条为研究对象，链条在运动过程中各部分之间相互作用的内力的功之和为零，摩擦力的功重力的功根据动能定理有§2.4

势能机械能守恒定律

一.保守力如果力所做的功与路径无关，而只决定于物体的始末相对位置，这样的力称为保守力。保守力沿闭合路径一周所做的功为零。

即例如重力、万有引力、弹性力都是保守力。

作功与路径有关的力称为非保守力。

例如:摩擦力质点在保守力场中某点的势能，在量值上等于质点从M点移动至零势能点M0的过程中保守力1.重力势能

2.弹性势能

xyzOOx所作的功。二.势能3.万有引力势能

rMm等势面例如在质量为M、半径为R、密度为

的球体的万有引力场中MRxm(1)质点在球外任一点C

，与球心距离为x，质点受到的万有引力为:ORxMO(2)质点在球内任一点C，与球心距离为x，质点受到的万有引力为m在保守力场中，质点从起始位置

1到末了位置2，保守力的功

A等于质点在始末两位置势能增量的负值质点的势能与位置坐标的关系可以用图线表示出来。三.势能曲线(1)由于势能零点可以任意选取，所以某一点的势能值是相对的。(2)保守力场中任意两点间的势能差与势能零点选取无关。说明zO重力势能弹性势能E万有引力势能xOrO1.由势能函数求保守力

2.由势能曲线求保守力势能曲线上某点斜率的负值，就是该点对应的位置处质点所受的保守力。xE质点运动范围：质点在（x2

x3）内释放：做往复振动ABCB点：稳定平衡位置A、C点：非稳定平衡位置例是不是保守力?解不是保守力如果是保守力，则四.机械能守恒定律对质点系:当机械能守恒定律机械能增量(2)守恒定律是对一个系统而言的(3)守恒是对整个过程而言的，不能只考虑始末两状态说明(1)守恒条件把一个物体从地球表面上沿铅垂方向以第二宇宙速度解根据机械能守恒定律有:

例物体从地面飞行到与地心相距

nRe

处经历的时间。求发射出去，阻力忽略不计，用弹簧连接两个木板m1

、m2

，弹簧压缩x0

。解整个过程只有保守力作功，机械能守恒例给m2

上加多大的压力能使m1

离开桌面？求§2.5

能量守恒定律

能量不能消失，也不能创造，只能从一种形式转换为另一种形式。对一个封闭系统来说，不论发生何种变化，各种形式的能量可以互相转换，但它们总和是一个常量。这一结论称为能量转换和守恒定律。

3.机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律在机械运动范围内的体现1.能量守恒定律可以适用于任何变化过程2.功是能量交换或转换的一种度量例如：利用水位差推动水轮机转动，能使发电机发电，将机械能转换为电能。讨论电流通过电热器能发热，把电能又转换为热能。第3章冲量和动量我国舰艇上发射远程导弹实验§3.1质点动量定理力的时间积累，即冲量m动量牛顿运动定律结论力F的元冲量一.冲量和动量二.质点动量定理质点动量的增量等于合外力乘以作用时间的增量（动量定理的微分形式）对一段有限时间有xyzO质点动量的增量等于合力对质点作用的冲量

——质点动量定理

(1)

物理意义：质点动量的变化依赖于作用力的时间累积过程合力对质点作用的冲量质点动量矢量的变化(2)

矢量性：冲量的方向与动量的增量方向相同讨论（动量定理积分形式）在力的整个作用时间内，平均力的冲量等于变力的冲量平均力冲量的任何分量等于在它自己方向上的动量分量的增量动量定理的分量形式例

一篮球质量0.58kg，从2.0m高度下落，到达地面后，以同样解

篮球到达地面的速率对地平均冲力tF(max)F0.019sO相当于40kg重物所受重力!速率反弹，接触时间仅0.019s.求

对地平均冲力?例

质量为m的匀质链条，全长为

L，开始时，下端与地面的距离为

h,

当链条自由下落在地面上时所受链条的作用力？Lh解

设链条在此时的速度根据动量定理地面受力m求链条下落在地面上的长度为l(l<L)时，地面

dm§3.2质点系动量定理P

表示质点系在时刻

t

的动量（质点系动量定理）一对内力直角坐标系：在有限时间内：(1)只有外力可改变系统的总动量(2)内力可改变系统内单个质点的动量——内部作用复杂说明某段时间内，质点系动量的增量，等于作用在质点系上所有外力在同一时间内的冲量的矢量和——质点系动量定理一粒子弹水平地穿过并排静止放置在光滑水平面上的木块,已知两木块的质量分别为m1,m2

，子弹穿过两木块的时间各为

t1,

t2

，设子弹在木块中所受的阻力为恒力F子弹穿过第一木块时，两木块速