陕西省榆林市第十中学2025届高三数学上学期第一次模拟考试试题理含解析

PAGE17-陕西省榆林市第十中学2025届高三数学上学期第一次模拟考试试题理（含解析）（满分：150分，考试时间：120分钟）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分别求出集合，进而求出二者的交集即可.【详解】由，得，所以集合，又，所以.故选：C.【点睛】本题考查集合的交集，考查对数不等式的解法，考查学生的计算求解实力，属于基础题.2.已知命题“，”，则为(）A.， B.，，C.不存在， D.，【答案】A【解析】【分析】全称量词改成存在量词,等于改成不等于即可得到.【详解】因为“，”,所以:.故选A.【点睛】本题考查了含一个量词的命题的否定,属于基础题.3.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由可得，由也可得，视察两个范围之间的关系即可得结果.【详解】解：由可得，由可得，所以“”是“”的充分不必要条件，故选：A.【点睛】本题考查条件的充分性和必要性，关键是求出的取值，本题是基础题.4.复数z满意，则（）A.i B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法求出z，再求.【详解】由题得，所以.故选：B.【点睛】该题主要考查复数的除法运算和共轭复数，意在考查学生对这些学问的理解驾驭水平，属于基础题目.5.函数的图象可能为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依据函数定义域以及函数值正负识别函数图象，并进行选择.【详解】当时，所以舍去B,C;当时无意义，所以舍去D;故选：A【点睛】本题考查函数图象的识别，考查基本分析推断实力，属基础题.6.已知，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出、、的范围，与临界值0和1比较即可得结论.【详解】，，，所以故选：D【点睛】本题主要考查了指、对、幂大小关系，属于中档题.7.将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线．假设过后甲桶和乙桶的水量相等，若再过甲桶中的水只有升，则m的值为（）A.5 B.6 C.8 D.10【答案】A【解析】【分析】通过时水量相等得到与之间的关系，再代入时的函数关系式中，求得，最终求得.【详解】因为注水过后甲桶和乙桶的水量相等，所以，解得若后水量为升，所以即，解得故选：A.【点睛】本题考查函数的应用，关键是能够利用函数关系式建立起水量和时间之间的等量关系，考查学生的审题实力与就算实力，属于基础题.8.素数也叫质数,部分素数可写成“”的形式（是素数）,法国数学家马丁•梅森就是探讨素数的数学家中成就很高的一位,因此后人将“”形式（是素数）的素数称为梅森素数.2024年底发觉的第个梅森素数是,它是目前最大的梅森素数.已知第个梅森素数为,第个梅森素数为,则约等于（参考数据：）（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依据两数远远大于1,的值约等于,设,运用指数运算法则,把指数式转化对数式,最终求出的值.【详解】因为两数远远大于1,所以的值约等于,设,因此有.故选C【点睛】本题考查了数学估算实力,考查了指数运算性质、指数式转化为对数式,属于基础题.9.已知函数的部分图象如图所示，则的值分别为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用正弦函数的周期性可得，进而求得，再利用时取得最大值可求得值.【详解】∵在同一周期内，函数在时取得最大值，时取得最小值，∴函数的周期满意，由此可得，解得，函数表达式为.又∵当时取得最大值2，∴，可得，∵，∴取，得.故选：A.【点睛】本题考查由的部分图象确定函数解析式，考查正弦函数的周期性和最值，属于基础题.10.如图，是圆O直径，P是圆弧上的点，M、N是直径上关于O对称的两点，且，则（）A.13 B.7 C.5 D.3【答案】C【解析】【分析】依据向量的加法和减法法则表示、，再依据向量数量积运算公式计算，即可求出结果．【详解】连结，则，，，所以.故选：C.【点睛】该题考查向量运算及向量的数量积公式的应用，两个向量加减法及其几何意义，属于中档题目．11.函数，则（）A.在上递增 B.在上递减C.在上递减 D.在上递增【答案】C【解析】【分析】由于常规方法无法进行化简，故须要对进行求导，依据导数来探讨函数的增减性【详解】，故，故在和单调递增，即在上递减答案选C【点睛】本题考查依据导数来探讨三角函数增减性问题，依据导数正负对应的区间来确定原函数的增减性，既考查了导数在函数中的应用，又考查了三角函数图像的基本性质12.已知函数f(x)＝则使方程x＋f(x)＝m有解的实数m的取值范围是（）A.(1，2) B.(－∞，－2]C.(－∞，1)∪(2，＋∞) D.(－∞，1]∪[2，＋∞)【答案】D【解析】【分析】分别探讨x≤0和x>0，方程有解时，m的取值.【详解】当x≤0时，x＋f(x)＝m，即x＋1＝m，解得m≤1；当x>0时，x＋f(x)＝m，即，解得m≥2，即实数m的取值范围是故选：D【点睛】本题考查了方程有解求参数的取值问题，考查了计算求解实力和逻辑推理实力，属于一般题目.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已如向量，若，则_________．【答案】【解析】【分析】首先求出坐标，再求出，求出，写出方程即可求出的值.【详解】因为，所以，，，因为，所以，即，所以，解得：，故答案为：【点睛】本题主要考查了向量的模和向量的数量积，属于中档题.14.已知函数为奇函数，则___________．【答案】【解析】【分析】由函数为奇函数，可得，代入即可得的值.【详解】因为函数为奇函数，所以，，所以恒成立，即恒成立，所以，故答案为：【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求参数的值，属于基础题.15.已知定义在上函数满意，且，则________．【答案】【解析】【分析】依据题意得函数为周期函数，周期为，再依据周期性求函数值即可.【详解】解：因为函数满意，所以，所以函数是周期函数，周期为，由于，，所以故答案为：.【点睛】本题考查利用函数的周期性求函数值，是基础题.16.已知数列满意，则________，________．【答案】(1).3(2).【解析】【分析】首先求得的值，然后结合递推关系式求解时的通项公式，即可确定数列的通项公式.【详解】当时，，当时，由题意可得：，，两式作差可得：，故，因为，不满意，所以.故答案为：3；.【点睛】本题主要考查由递推关系式求数列通项公式的方法，考查学生的推理实力与计算求解实力，属于基础题.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.设等差数列的前n项和为，．（1）求数列的通项公式；（2）求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由条件可得，解出即可.

(2)由，用裂项相消法求和即可.【详解】设等差数列的公差为，由条件有解得所以（2）所以【点睛】本题考查求等差数列的通项公式和利用裂项相消法求和，属于基础题.18.已知的外接圆半径为R，其内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，设．（1）求角B；（2）若，，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）边角转化得，即可得到，由，可求出，进而可得到角；（2）由正弦定理，可求出，进而可求出，从而，计算即可.【详解】（1）由正弦定理，可得，因为，所以，因为，所以，则，又，所以.（2）由正弦定理，得，由，故为锐角，则，所以.【点睛】本题考查正弦定理在解三角形中的运用，考查两角和的正弦公式的运用，考查学生的计算求解实力，属于基础题.19.已知函数，其导函数的图象关于轴对称．（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）若函数的图象与轴有三个不同的交点，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）求导，导函数的图象关于轴对称得，代入函数解析式，联解可得.（Ⅱ）问题等价于方程有三个不相等的实根时，求的取值范围.作出两函数图像可得解.【详解】（Ⅰ）.导函数的图象关于轴对称，.又，解得..（Ⅱ）由（Ⅰ），得.令，解得.当或时，，在上分别单调递增.又当时，，在上单调递减.的极大值为，微小值为.实数的取值范围为.【点睛】本题考查利用函数零点存在状况求参数问题.利用函数零点存在状况求参数的策略:(1)解决由函数零点(方程根)的存在状况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解．(2)通过导数探讨函数的单调性、最大值、最小值、改变趋势等，依据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清楚、直观的整体呈现．20.设．（1）求的单调增区间；（2）在锐角中，角的对边分别为，若，求面积的最大值．【答案】（1）的单调递增区间是（2）【解析】【分析】利用二倍角公式、两角和差余弦公式和协助角公式可化简函数为；（1）令，解出的范围即为所求的单调递增区间；（2）利用为锐角和可求得；利用余弦定理和基本不等式可求得，代入三角形面积公式即可求得面积的最大值.【详解】（1）令，解得：的单调递增区间为：（2），即由余弦定理得：（当且仅当时取等号）（当且仅当时取等号）即面积的最大值为：【点睛】本题考查三角函数与解三角形学问的综合应用，涉及到利用三角恒等变换公式对三角函数进行化简、正弦型函数单调区间的求解、余弦定理和三角形面积公式的应用、利用基本不等式求解三角形面积的最值等学问，属于常考题型.21.数列满意．（1）求证：数列为等差数列；（2）求数列的前n项和．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）将两边同时除以，即可证数列等差数列；（2）利用（1）的结论可以求出数列的通项公式，再利用乘公比错位相减求和.【详解】（1）将两边同时除以，可得：，即所以证数列是首项为1，公差为2的等差数列；（2）由（1）得，所以，,,两式相减得：，所以【点睛】本题主要考查了利用数列的递推关系式求数列的通项公式，考查了乘公比错位相减求和，属于中档题.22.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】(1)对函数求导后由几何意义求出函数