2023年北京市初三一模数学试题汇编：等腰三角形

第1页/共1页2023北京初三一模数学汇编等腰三角形一、解答题1．（2023·北京通州·统考一模）直线是线段的垂直平分线，垂足为点O，点C是直线上一点，连接．以为斜边作等腰直角，连接．(1)如图1，若，求的度数；(2)如图2所示，点E是直线上一点，且，连接，延长至点F，使得，连接．根据题意补全图2，写出线段之间的关系，并证明．2．（2023·北京海淀·统考一模）下面是小明同学证明定理时使用的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．已知：如图，在中，．求证：．方法一证明：如图，延长到点D，使得，连接．方法二证明：如图，在线段上取一点D，使得，连接．二、填空题3．（2023·北京平谷·统考一模）如图，在中，，，平分，若，则______．4．（2023·北京顺义·统考一模）如图，在中，，是的垂直平分线，分别交，于点，，若，，则的周长是________．5．（2023·北京海淀·统考一模）如图，点在正六边形的边上运动．若，写出一个符合条件的的值_________．

参考答案1．(1)(2)见解析；，【分析】（1）先证明全等三角形，得到等角，然后直接计算角度即可；（2）先按要求画图，然后证明两组全等三角形，即可得到边相等且平行的关系．【详解】（1）∵直线是线段的垂直平分线，垂足为点O，∴，∵是等腰直角三角形，∴，，∵，∴，∵在和中，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴；（2）如图，连接，与（1）同理可得：，∴，，∴，∴，∵在和中，∴，∴，，∴，，∴．【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、等腰直角三角形的性质，解题关键是通过已知条件判定全等三角形，得到边和角的关系．2．证明见解析【分析】方法一：如图，延长到点D，使得，连接，先证明，得到，进而证明是等边三角形，得到，由此即可证明；方法二：如图，在线段上取一点D，使得，连接，先求出，进而证明是等边三角形，得到，，进一步证明，得到，即可证明．【详解】证明：方法一：如图，延长到点D，使得，连接，∵，∴，，在和中，，∴，∴，∴是等边三角形，∴，∴，即；方法二：如图，在线段上取一点D，使得，连接，∵，∴，∵，∴是等边三角形，∴，，∴，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，等腰三角形的判定，三角形内角和定理，全等三角形的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键．3．2【分析】根据题意可得，再根据角平分线的定义得出，进而得出，即可得出结论．【详解】解：∵，，∴，∵平分，∴，∴，，∴，∵，，∴，故答案为：2．【点睛】本题主要考查了含的直角三角形，角所对的边是斜边的一半，以及角平分线的定义，解题的关键是掌握同高的三角形，面积比等于底的比．4．【分析】根据垂直平分线的性质求出，求出的周长即可．【详解】解：是的垂直平分线，分别交，于点，，，的周长为，故答案为：．【点睛】本题考查了等腰三角形性质和线段的垂直平分线性质，根据垂直平分线的性质求出是解答本题的关键．5．（答案不唯一）【分析】先求得，在根据点的不同位置，求得的取值范围，从而得解．【详解】解：∵六边形是正六边形，∴，，当点在点处时，∵，，∴，当点在点处时，延长交的延长线于点，∵，，∴，∴，∴是正三角形，∴，∵，，∴即，∴是正三角形，∴，∴，故答案为（答案不唯一