2023年北京市初三一模数学试题汇编：二次函数的图像和性质

第1页/共1页2023北京初三一模数学汇编二次函数的图像和性质一、解答题1．（2023·北京平谷·统考一模）在平面直角坐标系中，点，在抛物线上．(1)求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；(2)若，求m的取值范围；(3)若点在抛物线上，若存在，使成立，求m的取值范围．2．（2023·北京丰台·统考一模）在平面直角坐标系中，点，在抛物线上．(1)当时，求抛物线的顶点坐标，并直接写出和的大小关系；(2)抛物线经过点．①当时，若，则a的值为_______；②若对于任意的都满足，求a的取值范围．3．（2023·北京延庆·统考一模）在平面直角坐标系中，点，在抛物线上．(1)当时，求b的值；(2)点在抛物线上，若存在，使得，直接写出b的取值范围．4．（2023·北京西城·统考一模）已知抛物线的对称轴为直线．(1)若点在抛物线上，求t的值；(2)若点，在抛物线上，①当时，求a的取值范围；②若，且，直接写出a的取值范围．5．（2023·北京通州·统考一模）在平面直角坐标系中，已知点在二次函数的图象上．(1)当时，求b的值；(2)当，求b的取值范围．6．（2023·北京房山·统考一模）已知抛物线经过点．(1)用含的式子表示及抛物线的顶点坐标；(2)若对于任意，都有，求的取值范围．7．（2023·北京朝阳·统考一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点．(1)求a的值；(2)求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；(3)点，，在抛物线上，若，求m的取值范围．8．（2023·北京门头沟·统考一模）在平面直角坐标系中，抛物线．(1)求该抛物线的顶点坐标；(2)当抛物线经过点时，①求此时抛物线的表达式；②点，在抛物线上，且位于对称轴的两侧，当时，求n的取值范围．9．（2023·北京海淀·统考一模）在平面直角坐标系中，点在抛物线上．(1)当时，比较m与n的大小，并说明理由；(2)若对于，都有，求b的取值范围．

参考答案1．(1)(2)(3)【分析】（1）根据公式，即可求出对称轴；（2）将点，代入抛物线，根据题意列不等式，即可解答；（3）根据题意，可得在时，，再根据分别列出不等式，即可解答．【详解】（1）解：，抛物线的对称轴为；（2）解：将点，代入抛物线，可得：，，，，解得；（3）解：当时，，，，，即，解得【点睛】本题考查了二次函数的性质，利用二次函数求不等式的解集，熟知性质是解题的关键．2．(1)，；(2)①；②或．【分析】（1）根据题意可得顶点坐标为，且开口向上，即可求解；（2）①根据，抛物线的对称轴为直线，即可求解；②分两种情况结合图形，即可求解．【详解】（1）解：当时，，，∴顶点坐标为，且开口向上，∵，∴；（2）解：①当时，点，∵，∴抛物线的对称轴为直线，∵抛物线的对称轴为直线，∴；故答案为：②对于任意的都满足，点A、B、C存在如下情况：情况1，如示意图，当时，有，．解得：．情况2：如示意图；当时，可知，，，解得．综上所述，或．【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，掌握二次函数图像和性质，数形结合是解答本题的关键．3．(1)(2)【分析】(1)当时，则，把代入，求解即可；(2)计算出抛物线的对称轴为直线，当时，点与点关于直线对称，则，即，因为，则，求解好戏可．【详解】（1）解：当时，则，把代入，得，解得：；（2）解：∵抛物线的对称轴为直线，当时，点与点关于直线对称，∴，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题考查抛物线上点的坐标特征，抛物线的对称性质，熟练掌握抛物线上的点的坐标满足于解析式，利用抛物线解析式求对称轴和抛物线对称性的应用是解题的关键．4．(1)1(2)①或；②【分析】（1）把点代入，得，再由抛物线对称轴方程得解；（2）①由对称轴为得，分和两种情况，根据点和点与顶点的位置关系得不等式，求出的取值范围；②由已知得，分别把，代入抛物线解析式，得，，两式相减得，再由得，再由，得，从而得，所以．【详解】（1）∵点在抛物线上，∴．∴．∴．（2）①当时，，所以．∵点，在抛物线上，∴当时，有．得，得．当时，有．得，得．综上，的取值范围是或．②∵且，则，在对称轴右侧，随着的增大而增大，∴．又∵，∴，又∵，∴∴，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴∴，∴，又∵，∴．∴的取值范围是．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，关键是根据抛物线上的点与抛物线顶点的关系，结合图象求解．5．(1)(2)【分析】（1）根据抛物线的对称性，以及对称轴的公式，进行求解即可；（2）分和两种情况，结合二次函数的性质，进行求解即可．【详解】（1）解：点在二次函数的图象上，当时，和关于对称轴对称，则：抛物线的对称轴为直线：，∴；（2）解：∵，，对称轴为直线，∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小；∵时，，∴抛物线过点，当时，，即；∵，①当时，，如图：∵，，∴，解得：；②当时，此时对称轴在轴的左侧，点离抛物线的对称轴近，∴，不满足题意；综上：．【点睛】本题考查二次函数的图像和性质．熟练掌握抛物线的对称性，以及二次函数的性质，是解题的关键．6．(1)，抛物线的顶点坐标为；(2)或．【分析】（1）把点代入计算可求得含的式子表示的代数式，配方成顶点式，即可求解；（2）由（1）知抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大，则当时，代入计算，解不等式即可求解．【详解】（1）解：∵抛物线经过点，∴，∴，∵，∴抛物线的顶点坐标为；（2）解：∵，∴抛物线的对称轴为直线，又∵抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大，且，∴当时，，即，∴，∴或，解得或．【点睛】本题考查了二次函数的顶点坐标，函数的增减性，在本题的解答中，除了必要的理论依据外，还需要学生具有比较强的解不等式的能力．7．(1)1(2)(3)【分析】（1）将点代入抛物线解析式计算即可；（2）结合（1）中的结果，将抛物线解析式化为顶点式即可求解；（3）分两种情况讨论：①当时，可知点，，从左至右分布，根据可得，根据可得，即可求解；②当时，即，即有，可得，与题意不符，舍去.【详解】（1）解：∵抛物线经过点，∴，∴；（2）由（1）得抛物线的表达式为，即，∴抛物线的对称轴为；（3）①当时，可知点，，从左至右分布，根据可得，∴，根据可得，∴，∴；②当时，即，∵，∴，不符合题意.综上，m的取值范围为．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键．8．(1)该抛物线的顶点坐标为；(2)①此时抛物线的表达式为；②【分析】（1）配成顶点式，即可求解；（2）①将点代入，即可求解；②分两种情况讨论，列出不等式组可求解．【详解】（1）解：，∴该抛物线的顶点坐标为；（2）解：①将点代入，得，解得，此时抛物线的表达式为；②若点在对称轴直线的左侧，点在对称轴直线的右侧时，由题意可得，∴；若点在对称轴直线的左侧，点在对称轴直线的右侧时，由题意可得，∴不等式组无解．综上所述：．【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，一元一次不等式组的应用，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．9．(1)(2)【分析】（1）由题意可知抛物线解析式为，将代入，即可求出m和n的值，再比较即可；（2）由函数解析式可得出其对称轴为直线，且开口向上，从而得出在对称轴右侧，y随x的增大而增大．根据对于，都有，得出，当时，，即，从而可求出．由对于，都有，又可得出，两边平方并整理，得：，即得出，最后取其公共解即可．【详解】（1）解：．理由：当时，抛物线解析式为，点，将代入，得：，，∴；（2）解：∵该函数解析式为，∴