高考数学二轮复习向量极化恒等式培

培优点6向量极化恒等式专题二

三角函数与解三角形平面向量基本定理及数量积是高考考查的重点，很多时候需要用基底代换，运算量大且复杂，用向量极化恒等式、等和(高)线求解，能简化向量代换，减少运算量，使题目更加清晰简单.考点一向量极化恒等式考点二等和(高)线解基底系数和(差)问题专题强化练内容索引向量极化恒等式

考点一例1考向1利用向量极化恒等式求值27∴AO＝6，OE＝3，设BD＝DC＝m，AE＝EF＝FD＝n，则AD＝3n.根据向量的极化恒等式，例2考向2利用向量极化恒等式求最值、范围如图所示，取OC的中点D，连接PD，因为O为AB中点，由极化恒等式得(2)平面向量a，b满足|2a－b|≤3，则a·b的最小值为________.由向量极化恒等式知当且仅当|2a＋b|＝0，|2a－b|＝3，利用向量的极化恒等式可以快速对数量积进行转化，体现了向量的几何属性，特别适合于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题.规律方法跟踪演练1依题意得AD∥BC，∠BAD＝120°，取MN的中点E，连接DE(图略)，当点M，N在线段BC上运动时，DE的最小值等于点D到直线BC的距离，[0,2]由正方体的棱长为2，得内切球的半径为1，MN为内切球的直径.设内切球的球心为O，等和(高)线解基底系数和(差)问题

考点二等和(高)线①当等和线恰为直线AB时，k＝1；②当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0,1)；③当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，＋∞)；④当等和线过O点时，k＝0；⑤若两等和线关于O点对称，则定值k1，k2互为相反数；⑥定值k的变化与等和线到O点的距离成正比.例3√方法二

如图，过N作BC的平行线，√如图，作出定值k为1的等和线DE，AC是过圆上的点最远的等和线，当M在N点所在的位置时，2x＋y最大，设2x＋y＝k，所以2x＋y取得最大值2.要注意等和(高)线定理的形式，解题时一般要先找到k＝1时的等和(高)线，以此来求其他的等和(高)线.易错提醒跟踪演练22方法一

以O为坐标原点，则C(cosα，sinα).图(1)方法二令x＋y＝k，在所有与直线AB平行的直线中，切线离圆心最远，如图(2)，即此时k取得最大值，图(1)图(2)专题强化练

12345678如图所示，取CD的中点E，连接PE，√所以当P与A(B)重合时，12345678√12345678＝100－64＝36.12345678√12345678如图，O为AB的中点，|MO|max＝|OC|＋1＝3，|AB|min＝2a＝8，12345678√12345678如图，当P位于点A时，(λ＋μ)min＝0，当P位于点D时，(λ＋μ)max＝3.12345678√12345678所以P0为EB的中点，取BC的中点D，连接DP0，DP，则DP0为△CEB的中位线，DP0∥CE.根据向量的极化恒等式，必有DP0⊥AB.因此CE⊥AB，又E为AB的中点，所以AC＝BC.12345678[－2,6]12345678如图所示，取AB的中点D，连接CD，因为△ABC为等边三角形，所以O为△ABC的重心，O在CD上，因为P在圆O上，所以当P在点C处时，|PD|max＝3，当P在CO的延长线与圆O的交点处时，12345678212345678当且仅当O，N，M三点共线时取等号.如图，取BC的中点M，AD的中点N