2025年高考数学一轮复习：等式与不等式的性质（五大题型）讲义（原卷版）

第03讲等式与不等式的性质

目录

01考情透视•目标导航............................................................2

02知识导图•思维引航............................................................3

03考点突破•题型探究............................................................4

知识点1：比较大小基本方法.....................................................................4

知识点2:不等式的性质.........................................................................4

解题方法总结...................................................................................5

题型一：不等式性质的应用......................................................................6

题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式..................................................6

题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围..................................................7

题型四：不等式的综合问题......................................................................8

题型五：糖水不等式.............................................................................9

04真题练习•命题洞见...........................................................10

05课本典例•高考素材...........................................................10

06易错分析•答题模板...........................................................11

易错点：多次使用同向相加性质，扩大了取值范围.................................................11

答题模板：利用不等式的性质求代数式的范围.....................................................11

考情透视.目标导航

考点要求考题统计考情分析

高考对不等式的性质的考查相对较少，考查

(1)掌握等式性质.

内容、频率、题型难度均变化不大，单独考查的

(2)会比较两个数的大

题目虽然不多，但不等式的性质几乎可以渗透到

小.2022年〃卷第12题，5分

高考的每一个考点，是进行不等式变形、证明以

(3)理解不等式的性

及解不等式的依据，所以它不仅是数学中的不可

质，并能简单应用.

或缺的工具，也是高考考查的一个重点内容.

复习目标：

1、理解用作差法、作商法比较两个实数的大小.

2、理解等式与不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用.

匐2

〃二知识导图•思维引航\\

老占突硒・力理悭宙

知识固本

知识点1:比较大小基本方法

方法

关系做差法做商法

与0比较与1比较

a>ba-b>0

旦>1(〃，Z?>0)或@v1(々,Z?<0)

bb

a=ba—b=O£=i0^：o)

b

a<ba—b=O

—<l(a,b>0)或8>l(a,b<0)

bb

【诊断自测】（2024•北京丰台•二模）若。力£R,且则（）

A，a1+1<b2+1B.a2b>ab2

-a+b,

C.a2>ab>b2D.a>----->b

2

知识点2：不等式的性质

（1）基本性质

性质性质内容

对称性a>b<=>b<a^a<b<=>b>a

传递性a>b,b>c^>a>c；a<b,b<c^a<c

可加性a>b<=>a+c>b>c

可乘性a>b,c>0^ac>bc；a>b,c<0^>ac<bc

同向a>c,c>d=>a+c>b+d

可加性

同向同正a>b>O,c>d>O^ac>bd

可乘性

可乘方性a>b>0,nenan>bn

【诊断自测】（2024•陕西•模拟预测）已知—3<匕<1,则以下错误的是（）

A.-15<ab<5B.-4<«+Z?<6

C.—2<ct—b<8D.—<—v5

3b

解题方法总结

1、应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在

解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率.

2、比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单

调性.

比较法又分为作差比较法和作商比较法.

作差法比较大小的步骤是：

（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论.

作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：

（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论.

其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于。或1比较大

小.

作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是事或者因式

乘积的形式，也可考虑使用作商法.

题型一：不等式性质的应用

【典例1-1】（2024•北京海淀•二模）设方W0,且。>》，则（）

baqba、

A.-<-B.-+->2

abab

C.sin（〃-5）<〃一匕D.3a>2b

【典例1-2】（多选题）（2024•高三•湖南常德-期末）已知a>b>0,则下列不等式一定成立的

是（）

22

Aab2abla+b

a+1b+la+bV2

C.a+b+in（ab]>2D.——-——<---

'71+lna1+lnZ?

【方法技巧】

1、判断不等式是否恒成立，需要给出推理或者反例说明.

2、充分利用基本初等函数单调性进行判断.

3、小题可以利用特殊值排除法.

【变式（2024•北京房山-一模）已知。，反cwR,则下列命题为假命题的是（）

A.若,贝|a+c>Z?+cB.若a>b>0,贝!Jd”〉济4

bb+c

C.若a>b,贝1D.若〃>b>0,c>0,贝yrl>

aa+c

【变式（•北京西城•一模）设〃=,一工,方=,+。=《

1-2]20241,2+f),其中贝U()

A.b<a<cB.c<a<b

C.b<c<aD.c<b<a

题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式

32

【典例2-1】已知。>0且awl,P=loga（a+1）,2=loga（a+1）,贝疗与。的大小关系为________.

【典例2-2】（2024•高三•河南•开学考试）已知：a>b>c>0,A=ab+be,B=ac+b2,C=a2+b2j

则A、B、。大小关系是

【方法技巧】

比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调

性.比较法又分为作差比较法和作商比较法.

2

a

【变式2-1］已知。力为正实数.求证：—+—>a+b.

ba

【变式2-2］（1）比较废户与"股（。>0。>。）的大小;

（2）已知a>2,比较log（0_i）a与log“（a+D大小

【变式2-3】希罗平均数（Heronicmmean）是两个非负实数的一种平均，若。，b是两个非负实数，则

它们的希罗平均数己人G=疝，则AG*从小到大的关系为一（用什连接）

题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围

【典例3-1］已知3<a+b<4,则必的最大值为（）

A.—B.-C.3D.4

42

【典例3-2】已知的三边长分别为。，b,C,且满足6+c43a,则二的取值范围为（）

a

A.（l,+oo）B.（1,3）C.（0,2）D.（0,3）

【方法技巧】

在约束条件下求多变量函数式的范围时，不能离开变量之间的约束关系而独立分析每个变量的范围,

否则会导致范围变大，而只可以建立已知与未知的关系.

【变式3-1］（多选题）已知lva<6,2<b<4,则（）

C.ci—3bG（—11,0）D,a-3be（-6,-5）

【变式3-2］（多选题）己知实数无，y满足-3<x+2y<2,-l<2x—y<4,贝U（）

A.x的取值范围为（-1,2）B.>的取值范围为（-2,1）

C.无+y的取值范围为（-3,3）D.x-y的取值范围为（-1,3）

【变式3-3］已知实数°,6满足2/+3H一2/=1,Al<23b-a<2,则3a+6的取值范围是（）

A.卜6,-2）（2,召）B.（2,0）C.卜石,0）（0,6）D.卜君2）

题型四：不等式的综合问题

【典例4-1】记max{%,尤2，展}表示冷巧这3个数中最大的数.已知。，b,c都是正实数，

f12&cl

M=max<a,--\---,则Af的最小值为（）

［acb）

A.yj3B.eC.36D.372

【典例4-2】（2024•江苏南通•模拟预测）设实数。，b,c满足，/+廿4CW1则o+3+c的最小值

为（）

A.--1B.--C.--D.-1

222

【方法技巧】

综合利用等式与不等式的性质

【变式4-11（多选题）若实数尤，y满足4/+6盯+9/=3,则（）

A.4x+3y<2^3B.4%+3y2—1

C.4x2—6xy+9y2<8D.4x2—6xy+9y2>1

4151

【变式4・2］（多选题）已知，>0,b>O且满足++则〃2+/的取值可以为（）

fabba

A.10B.11C.12D.20

题型五：糖水不等式

【典例5-1］（多选题）生活经验告诉我们："克糖水中有。克糖（。>0,b>0,且a>"）,若再添加

加克糖（%>0）后，糖水会更甜.于是得出一个不等式：,趣称之为“糖水不等式”.根据“糖水不

aa+m

等式”判断下列命题一定正确的是（）

A.若a>b>0,m<0,则'v"一

aa+m

B.log32<log1510

C.若a,b,C为二ABC三条边长，则+丁2~>丁仁

1+a1+b1+c

D.若a,b,C为ABC三条边长，贝以〈二+上+^^<2

b+ca+ca+b

.b

【典例5-2］（2024•内蒙古呼和浩特•一模）若。克不饱和糖水中含有b克糖，则糖的质量分数为一,

a

这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽

象出不等式X>2（a>8>0,，">0）数学中常称其为糖水不等式.依据糖水不等式可得出logs2

a+ma

log/。（用“〈”或“>”填空）；并写出上述结论所对应的一个糖水不等式.

【方法技巧】

糖水不等式：^a>b>0,m>0,贝|丝二>2,或者

a+mab+mb

【变式5-1］（1）已知bg糖水中含有ag糖（3>a>0）,若再添加，〃g（/〃>0）糖完全溶解在其中，贝U

糖水变得更甜了（即糖水中含糖浓度变大）.根据这个事实，则?_____警.（填<,=,>,W"之一）.

bb+m

,人2019201920192016E、、

(2)M=-------------,N=--------------,则MN(填“>,<,=,>,<,5Z,-).

2023202320232020------

【变式5-2］（2024•高三•安徽亳州•期中）已知b克糖水中含有。克糖（b>a>0）,再添加加克糖

（m>0）（假设全部溶解），糖水变甜了.

（1）请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立；

ABC

（2）在锐角ABC中，根据（1）中的结论，证明：++

B+CC+AA+B

1.（多选题）（2022年新高考全国n卷数学真题）若尤，y满足/+V-孙=1,贝u（）

A.x+y<lB.x+y>-2

C.x2+y2<2D.x2+y2>l

2.（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标II））若a>b,则（）

A.ln（a-Z?）>0B.3a<3b

C.a3-b3>0D.|a|>|Z?|

3.（2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷））已知｛%｝为等比数列，下面结论中正确

的是

A.%+%22azB.a：+>2a；

C.若4=%，则。i=/D.若%>%,则%>出

0

〃课本典例・高考素材,\

1.下列命题为真命题的是（）

A.若a>b>0,贝!JB.若a>b,贝!J区〉〃

C.若a<b<0,则D.若a<6<0,则!>!