2024-2025学年安徽省某中学高三五月模拟考试（二）数学试题试卷（含解析）

2024-2025学年安徽省太和第一中学高三五月模拟考试（二）数学试题试卷

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设beR+,数列｛q｝满足q=2,an+1=a-a；,+b,〃eN*，则（）

A.对于任意。，都存在实数〃，使得恒成立

B.对于任意力，都存在实数使得恒成立

C.对于任意be（2-4a,+8）,都存在实数〃，使得见,<“恒成立

D.对于任意be（0,2-4。），都存在实数"，使得。恒成立

2.已知向量机=（2cos2x,6）,n=（1,sin2x）,设函数=则下列关于函数y=/（%）的性质的描述正确

的是（）

A.关于直线工=二对称B.关于点（芸,。］对称

C.周期为2»D.y=/（x）在］-g,oj上是增函数

3.已知｛4｝为等差数列，若。2=2%+1，。4=2%+7,则。5=（）

A.1B.2C.3D.6

4.已知函数/（%）=5也（0%+8）,其中切>0,其图象关于直线x=?对称，对满足|/（%）—/（々）|=2

的占，%，有上-%L=W，将函数/（X）的图象向左平移段个单位长度得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的单

调递减区间是（）

7171

71

A.k兀---，&7rH——।B.k/c,k兀*%[k€Z）

L62J

7乃75乃7»777r

C.k兀〜---,K7lH-----（左eZ）D.K7l-\----，忆兀A-----（左eZ）

361212

一,x<0

5.已知函数/（%）=：，若函数/（©=/（尤）-丘在R上有3个零点，则实数上的取值范围为（）

Inx八

---,x>0

、x

A.（0,—）B.（0,—）C.（-00,—）D.（―,—）

e2e2e2ee

6.已知全集。=11,函数y=ln（l—力的定义域为"，集合N=｛R尤2—为<0,，则下列结论正确的是

A.MN=NB.M〕®N）=0

C.MN=UD.

7.五名志愿者到三个不同的单位去进行帮扶，每个单位至少一人，则甲、乙两人不在同一个单位的概率为（）

213319

A.—B.—C.—D.—

525525

8.如图1,《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是:有

一根竹子，原高一丈（1丈=10尺），现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为（）

尺.

A.5.45B.4.55C.4.2D.5.8

9.将一张边长为12cm的纸片按如图（1）所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折叠并拼成一个

有底的正四棱锥模型，如图⑵放置，如果正四棱锥的主视图是正三角形，如图（3）所示，则正四棱锥的体积是（）

A.—V6cm3B.—V6c/n3C.--flcrrt'D.—yflcnv'

3333

10.已知等差数列｛4｝中，=7,《0+%=0,则〃3+。4=（）

A.20B.18C.16D.14

11.将函数/（X）=sin+图象上每一点的横坐标变为原来的2倍，再将图像向左平移W个单位长度，得到函数

y=g（x）的图象，则函数y=g（x）图象的一个对称中心为（）

12.以下三个命题：①在匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样

的抽样是分层抽样；②若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③对分类变量X与F的随机

变量/的观测值左来说，左越小，判断“x与y有关系”的把握越大；其中真命题的个数为（）

A.3B.2C.1D.0

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

'y>0

13.若实数%。满足不等式组<2x-y+320,则z=2y-x的最小值是一

x+y-l<0

14.已知双曲线0-与=1（“>0,6>0）的左焦点为/（-6,0）,4、3为双曲线上关于原点对称的两点，AF的中点

ab

为H,BE的中点为K,HK的中点为G,若|"K|=2|OG|,且直线A6的斜率为交，贝!J|A5|=,双

4

曲线的离心率为.

15.为激发学生团结协作，敢于拼搏，不言放弃的精神，某校高三5个班进行班级间的拔河比赛.每两班之间只比赛

1场，目前（一）班已赛了4场，（二）班已赛了3场，（三）班已赛了2场，（四）班已赛了1场.则目前（五）班已

经参加比赛的场次为.

16.在三棱锥A-BCD中，已知BC=CD=BD=屈AB=42AD=6，且平面ABD±平面BCD，则三棱锥A-BCD

外接球的表面积为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）如图所示,在四棱锥尸-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD为正三角形，且面PAD±

面ABCD,及尸分别为棱钻,尸C的中点.

（1）求证：跳V/平面R4D；

（2）（文科）求三棱锥6-EFC的体积；

（理科）求二面角P—EC—。的正切值.

EB

18.(12分)已知函数〃x)=k-1].

(1)解不等式〃x)+/(x+4”8；

(2)若同<1,同<1,awO,求证：/(")〉同/(I；

19.(12分)已知在四棱锥尸—A5CD中，平面ABC。，/%=A5,在四边形ABC。中，DALAB,AD//BC,

AB=AD=2BC=2,E为Qfi的中点，连接。E,尸为OE的中点，连接AF.

(1)求证：AF±PB.

(2)求二面角A—EC—。的余弦值.

20.(12分)已知抛物线E：y2=20x(p>0),焦点厂到准线的距离为3,抛物线E上的两个动点A(为，口)和8(必,

山)，其中X#X2且X1+X2=1.线段45的垂直平分线与x轴交于点C.

(1)求抛物线E的方程；

(2)求AA8C面积的最大值.

21.(12分)某公园有一块边长为3百米的正三角形ABC空地，拟将它分割成面积相等的三个区域，用来种植三种花

卉.方案是：先建造一条直道OE将AABC分成面积之比为2:1的两部分(点Z>,E分别在边A5,AC±)；再取OE

的中点M,建造直道AM(如图).设A。=x,DE=义,=%(单位：百米).

(D分别求为,为关于X的函数关系式;

(2)试确定点。的位置，使两条直道的长度之和最小，并求出最小值.

22.(10分)联合国粮农组织对某地区最近10年的粮食需求量部分统计数据如下表:

年份20102012201420162018

需求量（万吨）236246257276286

（1）由所给数据可知，年需求量与年份之间具有线性相关关系，我们以“年份一2014”为横坐标x,“需求量—257”为

纵坐标V,请完成如下数据处理表格：

年份一20140

需求量一2570

（2）根据回归直线方程》=%+6分析，2020年联合国粮农组织计划向该地区投放粮食300万吨，问是否能够满足该

地区的粮食需求？

参考公式：对于一组数据（%,%）,（%,%），…，（七，%），其回归直线夕=晟+6的斜率和截距的最小二乘估计分

〃__

别为：3=弓-------,d=y-bJc.

*x；-nx

i=i

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.D

【解析】

取。=6=1,可排除AB；由蛛网图可得数列｛aj的单调情况，进而得到要使只需生"2,由此

2a

可得到答案.

【详解】

取0=6=1,all+l=a；,+l,数列｛a,J恒单调递增，且不存在最大值，故排除AB选项；

由蛛网图可知，ar?+人=%存在两个不动点，且%J-：1一处,」+&-4吆,

2a2a

因为当0＜4＜占时，数列｛%｝单调递增,则凡＜%;

当xaqvx2时，数列｛a“｝单调递减，则石＜/＜。］；

所以要使4＜M，只需要0＜4＜々，故+—%,化简得人＜2—4。且匕＞0.

2a

故选：D.

本题考查递推数列的综合运用，考查逻辑推理能力，属于难题.

2.D

【解析】

/(%)=2cos2%+石sin2%=cos2x+^sin2x+l=2sin(2x+令+当％=合时，sin(2x+1=sin。w±1,.\f(x)

71

不关于直线％二一对称；

12

S77TT5万

当％=——时,2sin(2x+-)+1=1,・・・加)关于点6,1)对称；

12612T

/（X）得周期T=—=7l,

当X£(一;,0)时,2%十二£(一■£,：■),・\/(%)在(---,0)上是增函数.

36263

本题选择D选项.

3.B

【解析】

利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出25.

【详解】

:{an}为等差数列，a2=2a3+l,a4=2a3+7,

a1+d=2(a1+2d)+l

+3d—2+2d)+7

解得a「=-10,d=3,

a5=a1+4d=-10+11=1.

故选：B.

本题考查等差数列通项公式求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

4.B

【解析】

根据已知得到函数/(%)两个对称轴的距离也即是半周期，由此求得0的值，结合其对称轴，求得。的值，进而求得

/(%)解析式.根据图像变换的知识求得g(x)的解析式，再利用三角函数求单调区间的方法，求得g(x)的单调递减区

间.

【详解】

解：已知函数/(x)=sin(s:+e),其中其图像关于直线x=£对称，

对满足|/(%)一=2的X]，%2，有N—工2、正=]■=].W，，口=2.

TTTTTT

再根据其图像关于直线x=—对称，可得2x—+。=左"+—,keZ.

662

：.0=,：./(x)=sin.

将函数/(x)的图像向左平移5个单位长度得到函数g(x)=sin2x+£+£=cos2x的图像

6v367

令2kjr<2x<2kji+7C，求得k7i<x<k7i-\—，

2

71

则函数g(M)的单调递减区间是k7T,k7v+-,左eZ,

故选B.

本小题主要考查三角函数图像与性质求函数解析式，考查三角函数图像变换，考查三角函数单调区间的求法，属于中

档题.

5.B

【解析】

根据分段函数，分当x<0,x>Q,将问题转化为左的零点问题，用数形结合的方法研究.

X

【详解】

当x<0时，==J_,令g(x)=q,g<x)=一_1->o,g(x)在xe(-ooQ)是增函数，%>0时，左=以立

XXXXX

有一个零点，

、“Inx人i\Inx\l-21nx

当x>0时t，k=^~^=—,令h(x)=—,/z'(x)=---

XXXX

当工£(0,、石)时，〃(X)>0,/2(元)在(0,、/1)上单调递增，

当工£(血,+8)时，力(%)<0,二力(九)在(五,+00)上单调递减，

所以当X=时，/2(x)取得最大值,，

2e

因为F⑶=/(x)-丘在R上有3个零点,

所以当x>0时，左=工^有2个零点，

X

如图所示:

故选：B

本题主要考查了函数的零点问题，还考查了数形结合的思想和转化问题的能力，属于中档题.

6.A

【解析】

求函数定义域得集合M,N后，再判断.

【详解】

由题意M={x|尤<1},?/={x|O<x<l},：.MN=N.

故选A.

本题考查集合的运算，解题关键是确定集合中的元素.确定集合的元素时要注意代表元形式，集合是函数的定义域,

还是函数的值域，是不等式的解集还是曲线上的点集，都由代表元决定.

7.D

【解析】

三个单位的人数可能为2,2,1或3,1,1,求出甲、乙两人在同一个单位的概率，利用互为对立事件的概率和为1

即可解决.

【详解】

yy笛A3

由题意，三个单位的人数可能为2,2,1或3,1,1；基本事件总数有丁3工名

=150种，若为第一种情况，且甲、乙两人在同一个单位，共有&种情况；若为第二

种情况，且甲、乙两人在同一个单位，共有&种，故甲、乙两人在同一个单位的概率

为至=9,故甲、乙两人不在同一个单位的概率为「=1-919

150252525

故选：D.

本题考查古典概型的概率公式的计算，涉及到排列与组合的应用，在正面情况较多时，可以先求其对立事件，即甲、

乙两人在同一个单位的概率，本题有一定难度.

8.B

【解析】

如图，已知AC+AB=10,BC=3,AB2-AC2=BC2=9

A(AB+AC^AB-AC)=9,解得AB—AC=0.9,

AB+AC=10[AB=5A5

〈，解得<.

[AB-AC=0.9[AC=4.55

.,•折断后的竹干高为4.55尺

故选B.

9.B

【解析】

设折成的四棱锥的底面边长为。，高为〃，则=故由题设可得』a+a=12x受na=4忘，所以

222

四棱锥的体积V=；(4&)2x44而笞尼而，应选答案氏

10.A

【解析】

设等差数列｛4｝的公差为d,再利用基本量法与题中给的条件列式求解首项与公差，进而求得为+%即可•

【详解】

,、[依=7,fa,+4J=7,[CL=15,

设等差数列｛4｝的公差为d.由一得1、解得:c.所以

[60+%=。[6+9d+%+6d=0[d=-2

%+4=2al+5d—2x15+5x(—2)=20.

故选：A

本题主要考查了等差数列的基本量求解,属于基础题.

【解析】

根据函数图象的变换规律可得到y=g(x)解析式，然后将四个选项代入逐一判断即可.

【详解】

解：〃x)=sin图象上每一点的横坐标变为原来的2倍，得到sin

再将图像向左平移［个单位长度，得到函数g(x)=sin

g(x)=sin4万

故选：D

考查三角函数图象的变换规律以及其有关性质，基础题.

12.C

【解析】

根据抽样方式的特征，可判断①；根据相关系数的性质，可判断②；根据独立性检验的方法和步骤，可判断③.

【详解】

①根据抽样是间隔相同，且样本间无明显差异，故①应是系统抽样，即①为假命题；

②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1;两个随机变量相关性越弱，则相关系数的绝对值越接近

于0；故②为真命题；

③对分类变量x与y的随机变量K?的观测值上来说，左越小，“x与F有关系”的把握程度越小，故③为假命题.

故选：c.

本题以命题的真假判断为载体考查了抽样方法、相关系数、独立性检验等知识点，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.-1

【解析】

作出可行域，如图:

由z=2y—%得丫=!兀+工2,由图可知当直线经过八点时目标函数取得最小值，A（1,0）

22

所以Zmin=/

故答案为-1

14.2^/3比

2

【解析】

设人（%,为），5（—%,—%），根据中点坐标公式可得“，K坐标，利用。H.OK=0可得到A点坐标所满足的方程，

结合直线斜率可求得焉,需，进而求得|人用；将A点坐标代入双曲线方程，结合焦点坐标可求得进而得到离心

率.

【详解】

左焦点为尸卜6,0）,...双曲线的半焦距。=逐.

设4（/，%），5（-%0，-%）':H"。『《，K”°2旦Tj

O_22

\HK\=2\OG\,:.OHLOK,即Q〃.OK=0，—生=0，即x；+y；=3,

44

又直线AB斜率为变，即&=交，.•.片=9，y；=L

4x0433

.•」AB|=j4x；+4y；=26,

22oi

-A在双曲线上，，与—4=1,即0=1，

a2b-3a23b2

结合°2=1+^=3可解得：a=72，b=l,.・.离心率e=$=逅.

a2

故答案为：

2

本题考查直线与双曲线的综合应用问题，涉及到直线截双曲线所得线段长度的求解、双曲线离心率的求解问题；关键

是能够通过设点的方式，结合直线斜率、垂直关系、点在双曲线上来构造方程组求得所需变量的值.

15.2

【解析】

根据比赛场次，分析，画出图象，计算结果.

【详解】

本题考查推理，计数原理的图形表示，意在考查数形结合分析问题的能力，属于基础题型.

16.48兀

【解析】

取的中点口，设等边三角形5CD的中心为。，连接AECF,Q4.根据等边三角形的性质可求得

B0=C0=D0=：CF=2/,OF=B由等腰直角三角形的性质，得A?，3D,根据面面垂直的性质得"工

平面BCD,AF1OF,由勾股定理求得04=2退，可得。为三棱锥A-BCD外接球的球心，根据球体的表面积公

式可求得此外接球的表面积.

【详解】

在等边三角形5CD中，取3。的中点B，设等边三角形5CD的中心为。，

连接AF,CF,6M.由5。=6,得B0=C0=D0=乙CF=26,OF=色，

3

由己知可得AABD是以BD为斜边的等腰直角三角形，A尸_L5。，

又由已知可得平面A3。，平面5CD,二，平面5CD,,

OA=yjOF2+AF2=273＞所以。4=03=OC=00=26，二。为三棱锥A—BCD外接球的球心，外接球半

径R=0C=2G，

三棱锥A—BCD外接球的表面积为47rx(2百了=487r.

故答案为：48兀

A

本题考查三棱锥的外接球的表面积，关键在于根据三棱锥的面的关系、棱的关系和长度求得外接球的球心的位置，球

的半径，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（1）见解析（2）（文）也（理）巫

63

【解析】

（1）证明：取PD中点G,连结GF、AG,

：GF为△PDC的中位线，；.GF〃CD且'（［＞,

2

又AE〃CD且,CD,；.GF〃AE且GF=AE,

/.EFGA是平行四边形，则EF〃AG,

又EF不在平面PAD内,AG在平面PAD内，

；.EF〃面PAD；

（2）（文）解：取AD中点O,连结PO,

V®PADXffiABCD,APAD为正三角形，；下0_1面ABCD,且\3,

又PC为面ABCD斜线，F为PC中点，；.F到面ABCD距离打）-

（理）连OB交CE于M,可得RtAEBC丝RtAOAB,

.*.ZMEB=ZAOB,则NMEB+NMBE=90。，即OMJ_EC.

连PM,又由（2）知PO_LEC,可得EC_L平面POM,则PM_LEC,

即NPMO是二面角P-EC-D的平面角，

在R3EBC中，1;1/*'：,111'

CE5

•••(•;/<“；nxi,

5

.小，八v15

,,i*f"1/JI1-，

3

即二面角P-EC-D的正切值为寸田.

3

【方法点晴】

本题主要考查线面平行的判定定理、二面角的求法、利用等积变换求三棱锥体积，属于难题.证明线面平行的常用方法:

①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与己知直线平行的直线，可利用几何体的

特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性

质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.本题(1)是就是利用方法①证明的.

18.(1)(Y,—51[3,”)；⑵证明见解析.

【解析】

(1)分x<—3、-3<x<l>x>l三种情况解不等式/(x)+/(x+4”8,即可得出该不等式的解集；

(2)利用分析法可知，要证/(")〉1dH,即证四一l|>|a—4，只需证明版―可>0即可，因式分

解后，判断差值符号即可，由此证明出所证不等式成立.

【详解】

—2x—2,x<—3

(1)/(%)+/(%+4)=|x-l|+|x+3|=<4,-3<x<1

2x+2,x>1

当、<一3时，由-2X—228,解得]«—5,止匕时工«—5；

当—3<%<1时，/(x)28不成立；

当%>1时，由2元+228,解得xN3,止匕时工N3.

综上所述，不等式/(力44的解集为(田,-5]U[3,4W)；

(2)要证/(")〉同/[£|,即证团4，

因为问<1,同<1,所以，tz2<1,z?2<1，

222222222

/.|^Z?-1|_卜-可2=^ab-2ab+i^-^a-2ab+b^=ab-a+l-b

片仅2_1）_仅2_1）="_1）仅2—［）<0

所以，4.故所证不等式成立.

本题考查绝对值不等式的求解，同时也考查了利用分析法和作差法证明不等式，考查分类讨论思想以及推理能力，属

于中等题.

19.（1）见解析；（2）上

7

【解析】

（1）连接AE,证明PBLAD,AELPB得到面ADE,得到证明.

（2）以%,AB，AD所在直线分别为x,V,z轴建立空间直角坐标系A-盯z,〃=（1,—1,2）为平面AEC的法

向量，平面DEC的一个法向量为加=（3,1,2）,计算夹角得到答案.

【详解】

（1）连接AE,在四边形ABCD中，DA±AB,平面ABCD,

也匚面/180）,;.4£）_1_丛，PAAB=A,.•.AZ）上面PAB，

又•PBu面PAB,:.PB±AD，

又；在直角三角形E4B中，PA=AB,E为PB的中点，.•.AELPB,ADcAE=A,二尸5,面ADE,AFcz

面ADE,:.AF±PB.

（2）以24,AB，AD所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系A-孙z,

尸（2,0,0）,5（0,2,0）,£（1,1,0）,C（0,2,l）,A（0,0,0）,D（0,0,2）,

n-AC=02y+z=0

设〃=（尤,y,z）为平面AEC的法向量，AC=（O,2,l）,AE=（l,l,0）,<U=o,令X=1,则y=T'

n-AE=0+J

z=2,n=（1,—1,2）,

同理可得平面DEC的一个法向量为m=（3,1,2）.

3—1+4V21

设向量机与〃的所成的角为凡COS0=

A/6XV147

由图形知，二面角A—EC—。为锐二面角，所以余弦值为

7

本题考查了线线垂直，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.

20.(1)y2=6x(2)”也.

3

【解析】

(1)根据抛物线定义，写出焦点坐标和准线方程，列方程即可得解；

(2)根据中点坐标表示出|A8|和点到直线的距离，得出面积，利用均值不等式求解最大值.

【详解】

(1)抛物线及y2=2px(.p>Q),焦点、F,0)到准线x=-的距离为3,可得p=3,即有抛物线方程为俨=6叱

(2)设线段AB的中点为M(xo,yo),则玉,=生产=2,

…、，—%_6_3

%।——22~——

，kAB尤2_再__2L%+%%，

66

则线段AB的垂直平分线方程为丫-加=一2(x-2),①

可得x=5,y=0是①的一个解，所以A8的垂直平分线与x轴的交点C为定点，

且点C(5,0),由①可得直线42的方程为y-yo=2(x-2),即》=%■(y-yo)+2②

%3

代入V=6x可得y2=2y。(y-yo)+12,BPy2-2yoy+2yo2=O③，

由题意》,”是方程③的两个实根，且州分2,

所以△=1时-1(2yo2-12)=-lyo2+18>O,解得-26Vyo<26,

IABI=依-％)2+(%一％)2

=1+勺（4%2-4（2为2—12》=|^（9+%2乂12_%2）,

又C（5,0）到线段AB的距离h^\CM\=J（5-2）2+（0-力=或+城，

所以SAABC=5\AB\h=-，（9+%）（12一%2）,《9+%2

6柳+%2）（24-2y州9++出二苧,

当且仅当9+城=21-2y（）2,即州=±若，A（一厉,、后+近），B（匕空,逐—近）,

33

或A（吟竺，一百一血），B（/手，-非+出）时等号成立，

所以品ABC的最大值为此之.

3

此题考查根据焦点和准线关系求抛物线方程，根据直线与抛物线位置关系求解三角形面积的最值，表示三角形的面积

关系常涉及韦达定理整体代入，抛物线中需要考虑设点坐标的技巧，处理最值问题常用函数单调性求解或均值不等式

求最值.

21.（1）%=,+：—6,%«2,3］』='；+当+>L

（2）当A£>=«百米时，两条直道的长度之和取得最小值V6+—-百米.

I2）

【解析】

⑴由”=不“可解得止方法一再在A4DE中，利用余弦定理'可得,关于x的函数关系式；在皿

和AAEM中，利用余弦定理，可得为关于%的函数关系式•方法二：在AADE中，可得OE=AE-AD，则有

DE=AE-2AEAD+AD^化简整理即得；同理AM=g（AD+AE）,化简整理即得•（2）由（1）和基本不等

式，计算即得.

【详解】

解：（1）SMDE=-SMBC，AABC是边长为3的等边三角形，又AD=%,

2以3。/

.-.-ADAEsin