河北省邯郸市魏县第五中学2025届数学高三上期末质量跟踪监视模拟试题含解析

河北省邯郸市魏县第五中学2025届数学高三上期末质量跟踪监视模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．对于定义在上的函数，若下列说法中有且仅有一个是错误的，则错误的一个是（）A．在上是减函数 B．在上是增函数C．不是函数的最小值 D．对于，都有2．各项都是正数的等比数列的公比，且成等差数列，则的值为()A． B．C． D．或3．下列四个图象可能是函数图象的是（）A． B． C． D．4．设集合，，则（）．A． B．C． D．5．已知复数z满足（i为虚数单位），则在复平面内复数z对应的点位于()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．集合的真子集的个数是（）A． B． C． D．7．已知全集，集合，，则（）A． B． C． D．8．已知数列的前n项和为，，且对于任意，满足，则（）A． B． C． D．9．点在曲线上，过作轴垂线，设与曲线交于点，，且点的纵坐标始终为0，则称点为曲线上的“水平黄金点”，则曲线上的“水平黄金点”的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．310．已知集合，B＝{y∈N|y＝x﹣1，x∈A}，则A∪B＝（）A．{﹣1，0，1，2，3} B．{﹣1，0，1，2} C．{0，1，2} D．{x﹣1≤x≤2}11．已知是定义是上的奇函数，满足，当时，，则函数在区间上的零点个数是（）A．3 B．5 C．7 D．912．双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设函数，若存在实数m，使得关于x的方程有4个不相等的实根，且这4个根的平方和存在最小值，则实数a的取值范围是______.14．某班有学生52人,现将所有学生随机编号,用系统抽样方法,抽取一个容量为4的样本,已知5号、31号、44号学生在样本中,则样本中还有一个学生的编号是__________．15．已知平面向量与的夹角为，，，则________.16．过且斜率为的直线交抛物线于两点，为的焦点若的面积等于的面积的2倍，则的值为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数，.（1）求证：在区间上有且仅有一个零点，且；（2）若当时，不等式恒成立，求证：.18．（12分）为调研高中生的作文水平.在某市普通高中的某次联考中，参考的文科生与理科生人数之比为，且成绩分布在的范围内，规定分数在50以上（含50）的作文被评为“优秀作文”，按文理科用分层抽样的方法抽取400人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图，如图所示.其中构成以2为公比的等比数列.（1）求的值；（2）填写下面列联表，能否在犯错误的概率不超过0.01的情况下认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关？文科生理科生合计获奖6不获奖合计400（3）将上述调查所得的频率视为概率，现从全市参考学生中，任意抽取2名学生，记“获得优秀作文”的学生人数为，求的分布列及数学期望.附：，其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819．（12分）已知抛物线：的焦点为，过上一点（）作两条倾斜角互补的直线分别与交于，两点，（1）证明：直线的斜率是－1；（2）若，，成等比数列，求直线的方程.20．（12分）已知数列的前项和为，且满足．（1）求数列的通项公式；（2）若，，且数列前项和为，求的取值范围．21．（12分）某商场为改进服务质量，在进场购物的顾客中随机抽取了人进行问卷调查．调查后，就顾客“购物体验”的满意度统计如下：满意不满意男女是否有的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关？若在购物体验满意的问卷顾客中按照性别分层抽取了人发放价值元的购物券．若在获得了元购物券的人中随机抽取人赠其纪念品，求获得纪念品的人中仅有人是女顾客的概率．附表及公式：．22．（10分）在四棱锥中，底面为直角梯形，，面.（1）在线段上是否存在点，使面，说明理由；（2）求二面角的余弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

根据函数对称性和单调性的关系，进行判断即可．【详解】由得关于对称，若关于对称，则函数在上不可能是单调的，故错误的可能是或者是，若错误，则在，上是减函数，在在上是增函数，则为函数的最小值，与矛盾，此时也错误，不满足条件．故错误的是，故选：．【点睛】本题主要考查函数性质的综合应用，结合对称性和单调性的关系是解决本题的关键．2、C【解析】分析：解决该题的关键是求得等比数列的公比，利用题中所给的条件，建立项之间的关系，从而得到公比所满足的等量关系式，解方程即可得结果.详解：根据题意有，即，因为数列各项都是正数，所以，而，故选C.点睛：该题应用题的条件可以求得等比数列的公比，而待求量就是，代入即可得结果.3、C【解析】

首先求出函数的定义域，其函数图象可由的图象沿轴向左平移1个单位而得到，因为为奇函数，即可得到函数图象关于对称，即可排除A、D，再根据时函数值，排除B，即可得解.【详解】∵的定义域为，其图象可由的图象沿轴向左平移1个单位而得到，∵为奇函数，图象关于原点对称，∴的图象关于点成中心对称.可排除A、D项.当时，，∴B项不正确.故选：C【点睛】本题考查函数的性质与识图能力，一般根据四个选择项来判断对应的函数性质，即可排除三个不符的选项，属于中档题.4、D【解析】

根据题意，求出集合A，进而求出集合和，分析选项即可得到答案.【详解】根据题意，则故选：D【点睛】此题考查集合的交并集运算，属于简单题目,5、D【解析】

根据复数运算，求得，再求其对应点即可判断.【详解】，故其对应点的坐标为.其位于第四象限.故选：D.【点睛】本题考查复数的运算，以及复数对应点的坐标，属综合基础题.6、C【解析】

根据含有个元素的集合，有个子集，有个真子集，计算可得；【详解】解：集合含有个元素，则集合的真子集有（个），故选：C【点睛】考查列举法的定义，集合元素的概念，以及真子集的概念，对于含有个元素的集合，有个子集，有个真子集，属于基础题．7、B【解析】

直接利用集合的基本运算求解即可．【详解】解：全集，集合，，则，故选：．【点睛】本题考查集合的基本运算，属于基础题．8、D【解析】

利用数列的递推关系式判断求解数列的通项公式，然后求解数列的和，判断选项的正误即可．【详解】当时，．所以数列从第2项起为等差数列，，所以，，．，，．故选：．【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用、数列求和以及数列的通项公式的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．9、C【解析】

设,则,则,即可得,设,利用导函数判断的零点的个数,即为所求.【详解】设,则,所以,依题意可得,设,则,当时,,则单调递减；当时,,则单调递增,所以,且,有两个不同的解,所以曲线上的“水平黄金点”的个数为2.故选:C【点睛】本题考查利用导函数处理零点问题,考查向量的坐标运算,考查零点存在性定理的应用.10、A【解析】

解出集合A和B即可求得两个集合的并集.【详解】∵集合{x∈Z|﹣2＜x≤3}＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{y∈N|y＝x﹣1，x∈A}＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，∴A∪B＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}．故选：A．【点睛】此题考查求集合的并集，关键在于准确求解不等式，根据描述法表示的集合，准确写出集合中的元素.11、D【解析】

根据是定义是上的奇函数，满足，可得函数的周期为3，再由奇函数的性质结合已知可得，利用周期性可得函数在区间上的零点个数．【详解】∵是定义是上的奇函数，满足，，可得，

函数的周期为3，

∵当时，，

令，则，解得或1，

又∵函数是定义域为的奇函数，

∴在区间上，有．

由，取，得，得，

∴．

又∵函数是周期为3的周期函数，

∴方程=0在区间上的解有共9个，

故选D．【点睛】本题考查根的存在性及根的个数判断，考查抽象函数周期性的应用，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属于中档题．12、C【解析】

根据双曲线的标准方程，即可写出渐近线方程.【详解】双曲线,双曲线的渐近线方程为，故选：C【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，属于容易题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

先确定关于x的方程当a为何值时有4个不相等的实根，再将这四个根的平方和表示出来，利用函数思想来判断当a为何值时这4个根的平方和存在最小值即可.【详解】由题意，当时，，此时，此时函数在单调递减，在单调递增，方程最多2个不相等的实根，舍；当时，函数图象如下所示：从左到右方程，有4个不相等的实根，依次为，，，，即，由图可知，故，且，，从而，令，显然，，要使该式在时有最小值，则对称轴，解得.综上所述，实数a的取值范围是.【点睛】本题考查了函数和方程的知识，但需要一定的逻辑思维能力，属于较难题.14、18【解析】

根据系统抽样的定义和方法,所抽取的4个个体的编号成等差数列,故可根据其中三个个体的编号求出另一个个体的编号.【详解】解：根据系统抽样的定义和方法,所抽取的4个个体的编号成等差数列,已知其中三个个体的编号为5,31,44,故还有一个抽取的个体的编号为18,故答案为:18【点睛】本题主要考查系统抽样的定义和方法,属于简单题.15、【解析】

根据已知求出，利用向量的运算律，求出即可.【详解】由可得，则，所以.故答案为:【点睛】本题考查向量的模、向量的数量积运算，考查计算求解能力，属于基础题.16、2【解析】

联立直线与抛物线的方程，根据一元二次方程的根与系数的关系以及面积关系求解即可.【详解】如图，设，由，则，由可得，由，则，所以，得.故答案为：2【点睛】此题考查了抛物线的性质，属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】

（1）利用求导数，判断在区间上的单调性，然后再证异号，即可证明结论；（2）当时，不等式恒成立，分离参数只需时，恒成立，设（），需，根据（1）中的结论先求出，再构造函数结合导数法，证明即可.【详解】（1），令，则，所以在区间上是增函数，则，所以在区间上是增函数.又因为，，所以在区间上有且仅有一个零点，且.（2）由题意，在区间上恒成立，即在区间上恒成立，当时，；当时，恒成立，设（），所以.由（1）可知，，使，所以，当时，，当时，，由此在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以.又因为，所以，从而，所以.令，，则，所以在区间上是增函数，所以，故.【点睛】本题考查导数的综合应用，涉及到函数的单调性、函数的零点、极值最值、不等式的证明，分离参数是解题的关键，意在考查逻辑推理、数学计算能力，属于较难题.18、（1），，.（2）填表见解析；在犯错误的概率不超过0.01的情况下，不能认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关（3）详见解析【解析】

（1）根据频率分步直方图和构成以2为公比的等比数列，即可得解；（2）由频率分步直方图算出相应的频数即可填写列联表，再用的计算公式运算即可；（3）获奖的概率为，随机变量，再根据二项分布即可求出其分布列与期望.【详解】解：（1）由频率分布直方图可知，，因为构成以2为公比的等比数列，所以，解得，所以，.故，，.（2）获奖的人数为人，因为参考的文科生与理科生人数之比为，所以400人中文科生的数量为，理科生的数量为.由表可知，获奖的文科生有6人，所以获奖的理科生有人，不获奖的文科生有人.于是可以得到列联表如下：文科生理科生合计获奖61420不获奖74306380合计80320400所以在犯错误的概率不超过0.01的情况下，不能认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关.（3）由（2）可知，获奖的概率为，的可能取值为0，1，2，，，，分布列如下：012数学期望为.【点睛】本题考查频率分布直方图、统计案例和离散型随机变量的分布列与期望，考查学生的阅读理解能力和计算能力，属于中档题．19、（1）见解析；（2）【解析】

（1）设，，由已知，得，代入中即可；（2）利用抛物线的定义将转化为，再利用韦达定理计算.【详解】（1）在抛物线上，∴，设，，由题可知，，∴，∴，∴，∴，∴（2）由（1）问可设：：，则，，，∴，∴，即（*），将直线与抛物线联立，可得：，所以，代入（*）式，可得满足，∴：.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，在处理直线与抛物线位置关系的问题时，通常要涉及韦达定理来求解，本题查学生的运算求解能力，是一道中档题.20、（1）（2）【解析】

（1）由，可求，然后由时，可得，根据等比数列的通项可求（2）由，而，利用裂项相消法可求.【详解】（1）当时，，解得，当时，①②②①得，即，数列是以2为首项，2为公比的等比数列，；（2）∴，∴，，.【点睛】本题考查递推公式在数列的通项求解中的应用，等比数列的通项公式、裂项求和方法，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．21、有的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关；.【解析】

由题得，根据数据判断出顾客购物体验的满意度与性别有关；获得了元购物券的人