广东省珠海市2024-2025学年高三年级上册开学考试 数学试题（含解析）

珠海市2025届高三第一次摸底考试

数学

本答案共15页，分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分，满分150分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选

项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上，

1.已知全集。={x|x〉。},集合2=x<2},则药N=（）

A.（-oo,l]u[2,+oo）B.（0,1）U[2,+OO）

C.（-oo,l）u（2,+oo）D.（0,1）U（2,+CO）

2.复数z=—（i为虚数单位），z的共朝复数为（）

-3+i

A.—3—iB.—3+iC.3-iD.3+i

3.在△4SC中，。是BC上一点，满足砺=3万亍，〃是40的中点，若就=2丽+〃就，则4+〃=

4.已知点/（—1,0）,8（0,3）,点p是圆（x—3）2+/=1上任意一点，则面积的最小值为（）

119J1Q

A.6B.—C.-D.6-^—

222

5.一个内角为30°的直角三角形，分别以该三角形的斜边、两条直角边所在直线为轴，其余各边旋转一周形

成的曲面围成3个几何体.这3个几何体的体积从小到大之比为（）

A.1：V3:2B.l:3:4C.73:2:273D.也：2:屈

2l+«,x<0,

6.已知函数/（x）=<]og]（x+l）+a,x〉0,（aeR）在R上没有零点，则实数0的取值范围是（）

A.(-co,-l)U{0}B.(-oo,-l)C.(-l,+℃)D.(0,+oo)

7.函数/(x)=26sin2(Q"+sin12Gx+5],其中G〉0,其最小正周期为兀，则下列说法错误的是

()

A.69=1

B.函数/（x）图象关于点6J对称

5JT

C.函数/（X）图象向右移。（。〉0）个单位后，图象关于y轴对称，则。的最小值为五

D.若xe0,-,则函数/（x）的最大值为JJ+1

8.若不等式bx+lWe-*-a/对一切xeR恒成立，其中a,6eR,e为自然对数的底数，则。+人的取值范

围是（）

A.B.（-oo,-l）C.（-oo,l]D.（-CO,2）

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.设48为随机事件，且尸⑷,P（8）是/*发生的概率.P（N）,P（8）e（0,l）,则下列说法正确的是

（）

A.若4B互斥,则尸（Zu8）=P（Z）+尸（8）

B.若尸（48）=P（N）P（8）,则43相互独立

C.若48互斥，则48相互独立

口P（神）P伍冈P伍⑷尸同到和卒

P（/⑻P（B\A）P（B\A）「（z|万）'

10.设/（x）=d-3x,则下列说法正确的是（）

A.函数y=/（%）的图象与圆/+/=1有且只有两个公共点

B.存在无数个等腰三角形ABD,其三个顶点都在函数y=/（%）的图象上

C.存在无数个菱形ABCD,其四个顶点都在函数y=/（x）的图象上

D.存在唯一的正方形ABCD,其四个顶点都在函数j=/（x）的图象上

11.中国结是一种手工编织工艺品，其外观对称精致，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，中国结有着复

杂曼妙的曲线，其中的八字结对应着数学曲线中的双纽线.已知在平面直角坐标系xQy中，到两定点

片（-氏0）,乙（氏0）距离之积为常数/的点的轨迹c是双纽线.若凶（3,0）是曲线c上一点，则下列结论

正确的是（)

A.曲线C的图象关于原点对称

B.曲线C经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点）

C.曲线C上任意一点到坐标原点。的距离都不超过3

D.曲线C上有且仅有3个点P满足|「骂|=|尸6|

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.直线y^ax-e与曲线C：了=xlnx相切，则a=.

22

13.已知点尸在双曲线C：工-匕=1上，片，鸟分别是双曲线C的左、右焦点，若△■鸟的面积为45,

6436

则户用+|0闾=.

14.甲、乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班50人，乙班40人.甲班的平均成绩为72分，方差为90分2；

乙班的平均成绩为90分，方差为60分2.那么甲、乙两班全部90名学生的平均成绩是分，方差

是分2.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）

在A/BC中，角/，瓦。的对边分别为其中玩=（a,b）,亢=（cos5,[sin/],且庆.拓=c.

（1）求sin/的值；

（2）若A/BC的外接圆半径为5,求A/BC面积的最大值.

16.（15分）

如图，三棱柱ABC-481G中，侧面4BBH±底面ABC,AB=AAX=AC=2,BC=2&/48片=60°,

点。是棱4片的中点.

（1）证明：AD1BC；

（2）求面48C与面48C夹角的正切值.

17.（15分）

已知椭圆C：W+,=l（a〉b〉0）的左、右焦点分别为片，鸟，且闺阊=4正，点M2亚，孚j在

椭圆。上，直线/：＞=》+/.

（1）若直线/与椭圆C有两个公共点，求实数1的取值范围；

（2）当:2时，记直线/与x轴，了轴分别交于43两点，P,。为椭圆。上两动点，求四边形尸面

积的最大值.

18.（17分）

设函数/(x)=lnjx+-

xe(0.1).

（1）试判断/'（x）的单调性；

⑵证明：对任一有—/）+/（%），当且仅当x=x0时等号成立.

（3）已知X/eR+（，=l,2,3,…，社£”=1,证明：T7x,.+-..（其中

日后Ixi）In）

"a,=a^a2-a3.......an)

Z=1

19.（17分）

对于数列｛4,｝,若存在常数T,〃o（T,〃0eN*）,使得对任意的正整数〃2〃°,恒有a,”=。“成立，则称

数列｛%｝是从第〃o项起的周期为7的周期数列.当〃o=l时，称数列｛。〃｝为纯周期数列；当〃022时，称

数列｛%｝为混周期数列.记卜]为不超过x的最大整数，设各项均为正整数的数列｛«„｝满足：

今,%为偶数,

i=4

aW+1]

%1+2眈2削％为奇数.

（1）若对任意正整数〃都有%N1,请写出三个满足条件的为的值；

（2）若数列｛%｝是纯周期数列，请写出满足条件的％的表达式，并说明理由；

（3）证明：不论《为何值，总存在加,〃eN*使得4=2'"—L

珠海市2025届高三第一次摸底考试答案（详解版）

数学

本答案共15页，分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分，满分150分.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选

项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1.【答案】B

【解析】因为全集。={x|x〉0},集合/={xll,x＜2},由补集的运算可得药2={疝)＜》＜1或乂.2}或

x>2},对应区间为(0,1)D[2,+8).

2.【答案】B

【解析】法一az(_3+i)=10=|-3+i|2,且z,=|z,.牙=-3+i.

1010(-3-i)

法二:二—3—i,.\z——3+i

-3+i(-3+i)(-3-i)

3【答案】C

——>1—►1—►

【解析】是4D的中点，...9=—A4+—AD,

22

__►__►__►3__►

又•/BD二3DC,BD=-BC,

4

——»1—►3—►137

从而得到A4+—BC,进而可知4=〃=一.

28288

4【答案】D

【解析】由/(—1,0),8(0,3)可得：\AB\=yl(-r)2+32=V10，直线48方程为>=3x+3,

圆(x—3)2+/=1的圆心半径厂=1,

1212

点C到直线/5：3x—y+3=0的距离d=

#+(-1)2VTo

12,

因此点P到直线AB距离的最小值为d7-r=k-1,

Vio

所以△尸48面积的最小值是,X

2

5.【答案】C

【解析】如图所示，如图所示，RtA48C中=30°，不妨设BC=1,/C=百,45=2.

绕BC旋转得到圆锥，其体积为匕=；兀•(行了x1=兀，

绕AC旋转得到圆锥，其体积为匕=；兀.12x6=^^,

、2

c兀

绕A8旋转得到两个共底面的圆锥，其体积为匕=；兀・x2=—

2

显然匕〈匕〈仆勺匕:匕后^:兀=6:2:26

可转化为g(x)图象与函数V=一。图象没有交点,

数形结合可得-。〉1或-。=0,

实数。的取值范围是(一.

7.【答案】D

【解析】对于选项A：/(x)=2V3sin2(®x)+sin|2®x+—=V3-sinf2®x+yj,最小正周期为兀,

13

271

而7=——=兀，所以69=1;

2(0

对于选项B：由三角函数的对称性可知,函数/(X)的对称中心为-?

k26

对于选项C：函数/(x)的图像向右平移(p((p>0)个单位后得到g(x),

即g(x)=g_sin2o)x-2(p+—

又g(x)=g_sin.2a)x-2(p+—关于V轴对称,

所以女—2。二巴+左兀,左£Z,可得0=---Tl.k€Z,

32122

所以，当左二一1时，。二5一兀是最小的；

12

JT7T7T471(71I

对于选项D：因为xe0,—,贝!]2x+—e—,一，所以sin|2&x+-|e

(

函数/(x)的最大值为6--

8.【答案】A

【解析】法一：：不等式Z?x+L,e"^-a/对一切xeR恒成立o

不等式(aV+bx+l)—,1对一切xeR恒成立,

故，今/(x)=(苏+桁+1忖，则有/⑼=1；

故，不等式bx+L,尸-a/对一切xeR恒成立⑼恒成立,

显然，0.

又/'(X)=e*[分+(2a+b)x+b+1],则f(0)=Z?+1=O=>6=-1,

f(x)=ex^ax2+(2a+l)x]=xex(ax+2tz-1),

当4=0时，/(x)在(_”,0)上递增，(0,+力)上递减，/(x),,/(o)符合题意;

1一2。--如,。］上递增，(0,+力)上递减,

当。<0时，/(x)在一叫--上--递--减,

a

1_O/y

易知当x<-----时，ax2-x+1<0=>/(x)<0,故/(X),,/(0)符合题意.

a

综上，a,,O,Z>=-1,因此a+—

法二：不等式(依2+陵+1,；，1可化为"2+6x+i,e-\

令f(x)=ax1+Z?x+1,g(x)=尸,

当a=0时，f(x)=ax2+bx+1=bx+1,此时，直线/(x)恒过点(0,1),

故，只需直线/(x)=bx+l为g(x)=eT在点(0,1)处的切线即可，

易得b=,此时a+b=—1.

当aw0时，/(x)亦恒过点(0,1),

为使《?+乐+1<e-'对一切xeR恒成立，

只需/(x)=。必+桁+1开口向下，且在点(0,1)处与g(x)=「有公切线即可，

a<0

故在⑼=b=-1，此时一L

综上，a+6的取值范围是a+be(-8,—1].

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，

9.【答案】ABD

【解析】对于选项A,B,C：根据事件互斥、事件独立的定义，可判定A和B正确，C错误；

什干法市np(刁8)P(回团P(BA)P(B)P(茄)P(团P(AB)

P(削B)P(B\A)P(B)P(AB)P(A)P(A)P(AB)

P(闻Z)P(刁豆)P(豆A)P(A)P(丽P(B)P(AB)

P(B\A)P(Z|5)—P(A)P(AB)P(万),P(AB)-P(AB)

P(A\B)P(B\A)P(B\A)P(2|5)

所以,/i、,/i—、与、,/i—、相寸,D正确.

P(削B)P(B\A)P{B\A)P(AlB)

10.【答案】ABC

【解析】/(x)为奇函数，/V)=3X2-3=3(X+1)(X-1),

当》6(-00,-1)。(1，+8)时，f'(X)>0>

当时，f'(x)<0,

则/(X)在(-巴T)，(l，+⑹上单调递增，在(T」)上单调递减，

又/(-1)=-1+3=2J(1)=1-3=-2,

对于选项A：函数y=/(x)与圆/+/=i的图象如图所示：

故，函数y=/(x)与圆/+/=1有且只有两个公共点，

故，A正确；

对于选项B,C：由于函数y=/(x)的图象关于坐标原点。中心对称，

过点。作直线交/(X)的图象于民。两点，

过点。作8。的垂线交/(X)的图象于ZC两点，

则为等腰三角形，四边形48CD为菱形，

当线段绕点。转动时，

△46。仍为等腰三角形，四边形4BCD仍为菱形，故选项B,C均正确；

对于选项D：由于/(-1)=一》3+3x=-/(x),

故，要使得正方形存在，则为等腰直角三角形.

显然，当8(—1,2)时，08=石，点(2,1)在函数图象外侧，则Q4〈后,

此时OB>OA.

利用极限思想，当08—0时，OA—■6,此时08<CU；

当03—>百时，1f+8,此时

如图所示，故至少存在两个正方形.故D错误.

11.【答案】AC

【解析】对于选项A：

.附|=J(x+ay+y2.J(x—a)2+y2=a\

化简得到：12+了2)2=2/12一/),

将可(3,0)代入可得2a2=9,

所以曲线。：1+72）2=912—/）.

把（一X,-#代入（/+/丫=9_力得卜2+/丫=912一力，

所以，曲线。的图象关于原点对称，

故，A正确；

对于选项B：令y=0解得x=0,x=±3,即：曲线经过（0,0）,（3,0）,（—3,0）,

结合图象，得一3”天,3.

今户±1,得/J+/<],

2

令x=±2,得1<y-=----------<2，

2

因此,结合图象曲线C只能经过3个整点（0整）,（3,0）,（—3,0）.

故，B错误；

对于选项C：+/）2=9（必一可得/+y2——9，

所以，曲线。上任意一点到坐标原点。的距离4=尸衣，3，

即：都不超过3,故C正确；

对于选项D：点尸满足卢片|=|尸闾，则尸在石可垂直平分线上，则马=0,

2

设尸倒，匕,），则（[小+%）=ayp=0,

故，只有原点满足，

故，D错误.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.【答案】a=2

【解析】曲线C：y=x\wc在x=/处的切线方程为y=（lnx0+l）x-x0,

令—X。=—e,则有X。=e,从而a—luxg+1=2,填a=2.

13.【答案】25

【解析】由已知得，双曲线的实半轴长为a=2,虚半轴长为6=6,

则右焦点的横坐标为c=yla2+b2=10，

设点尸（Xp/J,则=；x2cyp=；x20xyp=45,所以凡|=g.

由双曲线的对称性，不妨取点尸的坐标为10《），显然产鸟上片g,|PR|=q,

由双曲线的定义,得归41=1尸阊+2a,

所以，|「周+|0月|=2户6|+2a=9+16=25.

470

14.【答案】80,—

3

【解析】根据课本公式：x=—x72+—x90=80,

9090

2

52糕[90+(72-80)2]+熬60+"(J_80)]=iZ2.

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,

15.【解答】

3

解：解：(1)由题意可得，m-n=acosB-^—bsinA=c,

4

3

由正弦定理可知，siib4cos5+—sinSsirvl=sinC.

4

,/在AABC中，4+5+C=兀,sin(4+3)=sinC,

.3..3..

/.siiL4cos5+—sin5siiL4-siib4cos3+cosZsiafi,即：—sin_5siiL4=sin5cos/.

44

A.B€(0,7i),sin_5w0,

,4siih44

taii/l——,即an：----——.

3cosA3

4

又si/N+cos?4=1,解得siiL4=1.

ahc

(2)由正弦定理可知，——=27?,

sim4sinfisinC

4

V7?=5SIIL4=—,

?5

a=8.

由余弦定理可知，=/+°2—26ccos4，即：64=〃+。2一1be,

由基本不等式可知，b2+c2>2bc^当且仅当力二。时等号成立，

可得64…26c—gbe,即：be,,80.

17•,

••s二—besinA,

•口“BC2

17•,14

=—besinA,,—x80x—=32.

一口A

ABC25

所以，面积的最大值为32.

16.【解答】

证明：（1）连接/月，

•••48C—481G是三棱柱，

48片4是平行四边形.

ZAAXB=ZABB,=60°,反=AB=，

：.^AAXB定等边三角形.

又•.•。是4瓦的中点,

AD±AXBX,

AD±AB

又,:平面ABBXA±平面ABC,平面ABBXAn平面ABC=AB,

.­.40,面45c

AD±BC

解：（2）由（1）得40,面48C,

AD±AB,AD±AC.

,:AB=AC=2,BC=25,

AB2+AC2=5c2,即:1AC,

两两垂直.

故，以所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

*

/

I'.1;/y

H

f

则/（0,0,0）,8（2,0,0）,。（0,2,0），4卜1,0,6），

乖=0,0,-间,鸵=（-2,2,0）.

设面48c与面48C的法向量分别为龙，万，

•/ADl^ABC,

•••不妨取比=(o,o,i).

设为=(x,y,z),

48,万=0=px—Gz=0=]z=A/5X

BC-n=0\-2x+2y=01x=y

取x=i,得为=(1,1,G).

_\mnV15

Kn)=r-7=------.

/m\n\5

设面ABC与面ABC的夹角为a,

17nlV15.—V10,sintzV6

贝ijcos。=----,sma=A/1—COSa----,tancr=-----=——,

55coscif3

所以，面48C与面48C的夹角的正切值为*5.

3

17.【解答】

解：⑴由题意可得，2c=4^历nc=20,川一20,0),马(2\/^,0卜

22

所以，榔圆的方程为土+工=1.

124

y=x+t

联立方程组《W整理得4炉+6及+3/2—12=0.

1124

•••直线/与椭圆C有两个公共点,

A=36t2-4x4x(3〃-12)>0,

解得一4</<4,

：.实数/的取值范围为(-4,4).

(2)当/=2时，直线/的方程为y=x+2,

•./(-2,0),3(2,0),|羽=2死

由题意可知，点尸或。到直线/距离的最大值O

与直线/平行且与椭圆C相切的直线/与直线/间的距离.

由(1)中的A=36/一4x4x(3/—12)=0,解得/=4或/=一4,

此时得直线4：x—y—4=0或直线/2：x—>+4=0与椭圆C相切,

k与/之间的距离4="尸=3收力与/之间的距离4==V2，

V272

所以，四边形R4Q5面积的最大值为S=；x|4B|x®+d2)=8.

18.【解答】

解：⑴/(x)=to(°』)

X)

42

・••小)=-^壬-x+4x+1_4/+(1+*)(1一*)

,/'(x)=2

x\X+1X3+xx3+X)

,/0<x<1

1-x2>0

4x2+(l+x2

>0

x3+x2

故，/'(x)在(o/)上单调递增.

⑵令g(x)=/(x)-[/"o)(x-Xo)+/(xo)],

则g(xo)=/(x。)—[/'(Xo)(x—Xo)+/(Xo)]=O,g'(x)=/'(xo)-f'(x0)

又,.•/'(x)在(0,1)上单调递胤

.•.当0<x</<1时，/'(x)</'(xo)ng'(x)=/'(x)—/'(xo)<o；

ff

当0"<x<l时，f(xo)<f(x)=>g(x)^f(x)-P(xo)>O；

,,

当x=x0时，g(x)=f(x)-f(xo)=o；

故，g(x)在X=Xo处取最小值g(%o),

即：g(x)>g(xo)=o,

r

从而，f(x)-[f(x0)(x-x0)+f(x0

,

即：/(x)../(x0)(x-x0)+/(x0).

(3)xi+—〉°,

XJ

n

1

要证nX：+—〃+一

日ixiJn

(

1、...In

只需证Inn为+—[n-\—

i=l<、7

1...72-Inf72+—j.

即证Zinx.+—*

X

Z=1j)

显然,当£.=L(/.=1,2,…川时，不等式(*)中等号成立.

n

xl

令/(x)Tn+

X

由(2)可知：成立,

少⑶…牛［力%-力+巾+小

即:

而“(x)4++；

n

)+如"力卜《二卧T+〃」n"

f■X「

Ei=l_In

/n］、

历一叱+〃in出

=»lnL+-

、

.》n\j…〃In]〃H—j成立,

i=lXi.7

n

从而fl1、•・〃+:

X-H-----,成立,

7=1kxiJ

19.【解答】

解：（1）.•.对任意正整数”都有71,

①取4=2,则成=（=1,不符合题意；

②取4=3,则出=1+2口叫=321+20吗斗=1+2=3,%=%=…=%=3,

此时，数列｛%｝为常值数列｛3｝；

③取4=4,则外=?=2,%=/=1，不符合题意；

-

④取4=5,则&=~~—I21哨"」=2+2?=6,a3==3,%=…=%=3

5,〃=1;

此时，数列｛%｝的通项%=<6,n=2;

3,

⑤取4=6,则出=?=3,生=%1+21吗/=〔1+20吗斗=3,%=…=%=3,

，、f6,«=1;

此时，数列｛%｝的通项§>2

综上所述，满足条件的三个4分别为3,5,6.

（答案不唯一，符合要求即可给分）

（2）按（1）的思路，取：

①取4=1,则a2=~~+20°也引=1,%=%=…=%=L・

此时，数列｛%｝为常值数列｛1｝,亦为纯周期数列；

②取4=2，则出=T=L。3=。4=…=1，

此时，数列｛4｝的通项为混周期数列；

③取q=3,则出—。，21+2"陶。1]=+2^°82^=1+2=3,%=%=…=册—3,

此时，数列｛4｝为常值数列｛3｝,亦为纯周期数列；

④取a1=4,则和=；=2,%=g=L%=…=%=1，

4〃=1;

此时，数列｛4〃｝的通项为=2,〃=2;为混周期数列；

1,n.3

2

⑤取％=5,则a2=1+—2+2=6,%==3,%=…=%=3,

5,〃=1;

此时，数列｛4｝的通项为=6,〃=2;为混周期数列；

3,72