九年级数学相似三角形的判定学生版知识点例题

相像三角形的断定【学习目的】1、理解相像三角形的概念，驾驭相像三角形的表示方法及断定方法；2、进一步探究相像三角形的断定及其应用，进步运用“类比〞思想的自觉性，进步推理实力.【要点梳理】要点一、相像三角形在和中，假如我们就说及相像，记作∽.k就是它们的相像比，“∽〞读作“相像于〞.要点诠释：

(1)书写两个三角形相像时，要留意对应点的位置要一样，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′；(2)对于相像比，要留意依次和对应的问题，假如两个三角形相像，则第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相像比.当相像比为1时，两个三角形全等.要点二、相像三角形的断定定理1．断定方法〔一〕：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相像.2．断定方法〔二〕：假如两个三角形的三组对应边的比相等，则这两个三角形相像.3．断定方法〔三〕：假如两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，则这两个三角形相像.要点诠释：

此方法要求用三角形的两边及其夹角来断定两个三角形相像，应用时必需留意这个角必需是两边的夹角，否则，推断的结果可能是错误的.4．断定方法〔四〕：假如一个三角形的两个角及另一个三角形的两个角对应相等，则这两个三角形相像.要点诠释：

要断定两个三角形是否相像，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，假设有一个锐角对应相等，则这两个三角形相像.

要点三、相像三角形的常见图形及其变换：【典型例题】类型一、相像三角形1.以下可以相像的一组三角形为().举一反三：以下图形中，必是相像形的是〔〕．

A．都有一个角是40°的两个等腰三角形B．都有一个角为50°的两个等腰梯形C．都有一个角是30°的两个菱形D．邻边之比为2：3的两个平行四边形类型二、相像三角形的断定2.如下图，中，E为AB延长线上的一点，AB=3BE，DE及BC相交于F，请找出图中各对相像三角形，并求出相应的相像比.

3.梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，E、F分别为AB、BC的中点，EF及BD交于M．

〔1〕求证：△EDM∽△FBM；

〔2〕假设DB=9，求MB的长．

4.：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F．求证：BP2＝PE·PF．

举一反三：1、如图，AD、CE是△ABC的高，AD和CE相交于点F，求证：AF·FD=CF·FE．2、如图，F是△ABC的AC边上一点，D为CB延长线一点，且AF=BD,连接DF, 交AB于E.求证：.3、：如图正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点．

求证：△ADQ∽△QCP．4、如图，弦和弦相交于内一点，求证：.4、如图，小正方形边长均为1，则图中的三角形〔阴影部分〕及相像的是哪一个？

图〔1〕图〔2〕图〔3〕图〔4〕

如图，正方形ABCD和等腰Rt，其中，G是CD及EF的交点．

〔1〕求证：≌．

〔2〕假设，，，求的值．

【稳固练习一】一、选择题

1.以下推断中正确的选项是().

A.全等三角形不一定是相像三角形B.不全等的三角形一定不是相像三角形

C.不相像的三角形一定不全等2．△ABC的三边长分别为、、2,△A′B′C′的两边长分别是1和,假如△ABC及△A′B′C′相像,则△A′B′C′的第三边长应当是().

A.B.C.D.3．如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相像三角形的是〔〕．

①②③④A．①和②B．②和③C．①和③D．②和④4.在△ABC和△DEF中，①∠A=35°，∠B=100°，∠D=35°，∠F=45°；②AB=3cm，BC=5cm，∠B=50°，DE=6cm，DF=10cm，∠D=50°；其中能使△ABC及以D、E、F为顶点的三角形相像的条件().①②C.①和②分别都是D.①和②都不是5．在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点，假设∠AEF＝90°，则一定有〔〕.A．ΔADE∽ΔAEFB．ΔECF∽ΔAEFC．ΔADE∽ΔECFD．ΔAEF∽ΔABF6.如下图在平行四边形ABCD中，EF∥AB，DE：EA=2：3，EF=4，则CD的长为().A.二、填空题

7.如下图，D、E两点分别在AB、AC上，且DE和BC不平行，请你填上一个你认为相宜的条件_______使△ADE∽△ACB.

8如下图，∠C=∠E=90°，AD=10，DE=8，AB=5，则AC=________.

9.如下图，在直角坐标系中有两点A(4，0)，B(0，2)，假如点C在x轴上(C及A不重合)，当点C的坐标为________或________时，使得由点B、O、C组成的三角形及△AOB相像(至少找出两个满意条件的点的坐标).10.如图，AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED=1，BD=4，则AB=__________.

11.如图，CD∥AB，AC、BD相交于点O,点E、F分别在AC、BD上，且EF∥AB,则图中及△OEF相像的三角形为_________.12．如图，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE交CD于点F,则图中相像三角形共有_________对.三．解答题13.如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝3，AE＝2，BD＝4，求的值及AC、EC的长度．

14.如图在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，且，求证：BD⊥CD．15.在Rt△ABC中，∠△EDF中，∠F=90°，DF=3，EF=4，则△ABC和△EDF相像吗？为什么？

【稳固练习二】一、选择题1.△A1B1C1及△A2B2C2的相像比为4：3，△A2B2C2及△A3B3C3的相像比为4：5，则△A1B1C1及△A3B3C3的相像比为().A.16：15B.15：16C.3：5D.16：15或15：16

2．如图，P是RtΔABC的斜边BC上异于B、C的一点，过点P做直线截ΔABC，使截得的三角形及ΔABC相像，满意这样条件的直线共有〔〕.A．1条B．2条C．3条D．4条3.如图，在△ABC中，M是AC边中点，E是AB上一点，且AE=AB，连结EM并延长，交BC的延长线于D，此时BC：CD为().A.2：1B.3：2C.3：1D.5：24.如图，在平行四边形ABCD中，E是AD上的一点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，则以下结论中错误的选项是〔〕.A．∠AEF＝∠DECB．FA∶CD＝AE∶BCC．FA∶AB＝FE∶ECD．AB＝DC

5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为D，则图中相像三角形有〔〕．

A．4对B．3对C．2对D．1对6.如图，ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点，以下条件中，不能推出△ABP及△ECP相像的是().A.∠APB=∠EPCB.∠APE=90°C.P是BC的中点D.BP：BC=2：3

二、填空题

7.如图,∠1=∠2=∠3,则图中及△CDE相像三角形是________和________.8.如图，P为线段AB上一点，AD及BC交于E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD于F，AD交PC于G，则图中相像三角形有_________对.9.如图，是正方形ABCD的外接圆，点F是AB的中点，CF的延长线交于点E,则CF:EF的值是________________.10.如图，点M在BC上，点N在AM上，CM=CN,,则①△ABM∽△ACB,②△ANC∽△AMB,③△ANC∽△ACM,④△CMN∽△BCA中正确的有___________.11.如图，在平行四边形ABCD中，M,N为AB的三等分点，DM,DN分别交AC于P,Q两点，则AP：PQ:QC=____________.12.如图，正方形ABCD的边长为2，AE=EB,MN=1.线段MN的两端在CB,CD边上滑动，当CM=______时，△AED及以M、N、C为顶点的三角形相像.三、解答题13.如图，和都是等边三角形，且B、C、D共线，BE分别和AC、AD相交于点M、G，CE和AD相交于点N．

求证：〔1〕CG平分．〔2〕∽．14.如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且BD＝CE，AD及BE相交于点F．

〔1〕试说明△ABD≌△BCE；

〔2〕△EAF及△EBA相像吗？说说你的理由．

15.点P在线段AB上，点