2024-2025学年湖南省邵阳市高二年级上册入学考试数学检测试题（含答案）

2024-2025学年湖南省邵阳市高二上学期入学考试数学检测试题

第一部分(选择题共58分)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.复数z=9的实部和虚部分别是()

2+i

1515.

A.1,1B.1,iC.,—D.—,一i

3333

2.已知向量5=(2,2),6=(2,-4),2eR,若方,,+3),贝！U=()

A.-1B.0C.1D.2

3.如图所示，梯形是平面图形45CD用斜二测画法得到的直观图，

A'D'=2B'C=2,48'=1,则平面图形的面积为()

R'/C

A.2B.272C.3D.372

4.已知向量5=(1,1),3=(—2,1),则5在B方向上的投影数量为()

1

A.B.——

55

5.将函数y=sin2x+1的图象向右平移A个单位长度，所得图象对应的函数()

371

A.在区间一，——上单调递增B.在区间—,7T上单调递减

444

5兀3兀

C.在区间上单调递增D.在区间——,2兀上单调递减

2

6.已知/(x)=2sin"+£(0〉0),若方程=l在区间(0,2兀)上恰有3个实根,

则0的取值范围是()

155,4,4

A.—<ft)<—B.—<ft)<1C.\<G)<—D.1<ft)<—

26633

7.《九章算术》是我国古代的数学专著，是“算经十书”(汉唐之间出现的十部古算书)中非常

重要的一部.在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.已知“堑

堵"4BC-481G的所有顶点都在球。的球面上，且48=/C=L若球。的表面积为4兀，

则这个三棱柱的表面积是()

A.2+2&B.2V2C.3+2后D.3+273

8.已知/(x)是定义域为R的奇函数，且/(x—2)是偶函数，当0<x«2时，/(X)=X2-4X,

则当6<x<8时，/(x)的解析式为()

A./(x)=-x?-4xB./(x)=x?-16x+60

C./(x)=x2-12x+32D.f(x)=-x2+12x-32

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.同时抛出两枚质地均匀的骰子甲、乙，记事件/：甲骰子点数为奇数，事件8：乙骰子点

数为偶数，事件C：甲、乙骰子点数相同.下列说法正确的有()

A.事件/与事件8对立B.事件Z与事件8相互独立

C.事件Z与事件。相互独立D.P(C)=P(AB)

7T

10.在△48C中，角48,C的对边分别为见4c,a=3,A=-,。为4/台。的外心，则

()

A.若A/BC有两个解，贝|3<c<2百

B.次•元的取值范围为［-3百,3百］

C.诙•数的最大值为9

D.若8,C为平面上的定点，则Z点的轨迹长度为|百兀

★II.为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形45。的直角边/C所在直线与

a,b都垂直，

斜边28以直线/C为旋转轴旋转，有下列结论正确的有()

A.当直线48与。成60°角时，Z8与6成30°角;

B.当直线48与a成60°角时，48与6成60°角;

C.直线48与。所成角的最小值为45。；

D.直线48与。所成角的最大值为60。.

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

*12.如图，在同一个平面内，向量方，砺，玩的模分别为1,1,V2,况与近的夹角

为a,且tana=7,砺与云的夹角为45°.若云=加刀+〃砺(加,R),贝U

m+n=

*13.己知直四棱柱/BCD—4片。12的棱长均为2，NBAD=60°.以Q为球心，石为半

径的球面与侧面3。。1名的交线长为.

14.已知函数/(x)=<2*+1(X,°),若函数g(x)=/(/(x)-加)一2,当g(x)恰

2x2+4x+2(x<0)

有3个零点时，求加的取值范围为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚.

15.(本小题满分13分)某地区对初中500名学生某次数学成绩进行分析，将得分分成8组

(满分150分)：[65,75),[75,85),[85,95),[95,105),[105,115),[115,125),[125,135),

[135,145),整理得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求第七组的频率；

(2)用样本数据估计该地的500名学生这次考试成绩的平均分(同一组中的数据用该组区间

的中点值作代表)；

(3)现从500名学生中利用分层抽样的方法从[95,105),[105,115)的两组中抽取5个人进

一步做调查问卷，再从这5个人中随机抽取两人，求抽取到的两人不在同一组的概率.

★16.(本题满分15分)如图，已知多面体均垂直于平面45C,

ZABC=120°,2/=4，“=1,AB=BC=B[B=2.

(1)证明：481,平面44G；

(2)求直线ZG与平面4881所成角的正弦值.

★17.(本题满分15分)记△48C是内角4瓦。的对边分别为a,Z?,c.已知点。

在边/C上，BDsinZABC=asinC.

(1)证明：BD=b；

(2)若AD=2DC,求cosZASC.

*18.(本题满分17分)如图，四棱锥P-48CD中，为矩形，平面尸2。,平面

(1)求证：ABLPD；

(2)若N8PC=90°,PB=O,PC=2,问Z8为何值时，四棱锥P—/BCD的体积最

大？并求此时平面尸BC与平面QPC夹角的余弦值.

19.（17分）在平面直角坐标系中，。为坐标原点，对任意两个向量应=（再,乃），z?=（x2,y2）.

作：OM^m,而=方当成方不共线时，记以0M,ON为邻边的平行四边形的面积为

5（7n,«）=|x1y2-x2yl\；当庆，为共线时,规定S（流万）=0.

（1）分别根据下列已知条件求S（应,》）；

①应=（2,1）,万=（—1,2）；②应=（1,2）,万=（2,4）；

（2）若向量/=X成+〃万（尢〃e艮22+〃2w0）,求证：

S（力，砌+S（万㈤=（囚+|⑷S（处方）

（3）记次=5,OB=b,OC=c,且满足3=而+防，同=忖=同=1,求

S©可+s[,可的最大值.

高二上学期入学考试数学答案

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

12345678

ABCDABCD

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

91011

BCABDBC

11.由题意，48是以ZC为轴，为底面半径的圆锥的母线，由又

圆锥底面，在底面内可以过点8,作5。〃。，交底面圆。于点如图所示，连结£>£,则

〃〃连结4D,等腰AZBD中，AB=AD=也,当直线48与。成60°角

时，ZABD=60°,故BD=亚,又在中，BE=2,DE=41,过点8作

BF//DE,交圆。于点口，连结4F,由圆的对称性可知AF=£>£=J5,.•.△48/为等

边三角形，.,.228尸=60°,即Z8与b成60°角，B正确，A错误.由最小角定理可知C正

确；

很明显，可以满足平面45。，直线a,直线48与。所成的最大角为90°,D错误.正确的

说法为BC.

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

214.

12.313.（1,3]U{4}（1〈加K3或加=4也对）

2

13.【正确答案】71.

2

解析：如图：取8]G的中点为E,A8i的中点为ECG的中点为G，因为NA4D=60°,直

四棱柱4BCD-481GA的棱长均为2,所以△ABC]为等边三角形，所以口£=6，

D1E±B£,

又四棱柱ABCD-481GA为直四棱柱，所以AB1，平面ABGDi,所以8片，B£,

因为881nB©=B「所以£>|E，侧面B£CB,

设尸为侧面用C]C8与球面的交线上的点，则AELEP,

因为球的半径为JLD[E=6,所以|£P|=JR邛=5与=血,

所以侧面及GC8与球面的交线上的点到£的距离为夜，

因为忸制=|EG|=V2,所以侧面用GC8与球面的交线是扇形ENG的弧死，

7T7T

因为N4EE=NC]EG=—,所以NEEG=—,所以根据弧长公式可得

42

茁/x亚=克兀.

22

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(本小题满分13分)

【解】(1)由频率分布直方图得第七组的频率为：

1-(0.004+0.012+0.016+0.030+0.020+0.006+0.004)xl0=0.080；

(2)用样本数据估计该地500名学生这次考试成绩的平均分为：

70x0.004x10+80x0.012x10+90x0.016x10+100x0.030x10+110x0.020x10+

120x0.006x10+130x0.008x10+140x0.004x10=102.

（3）由频率分步直方图可知[95,105）的频数为500x0.030x10=150,[105,115）的频数为

500x0.020x10=100,所以两组人数比值为3:2,

按照分层抽样抽取5人，则在[95,105）,[105,115）分别抽取3人和2人，

记[95,105）这组三人的编号为4民。,口05,115）这组两人的编号为a,6,

故从5人随机抽取2名，共10种情况，为：（45）,（4C）,（C,B）,（A,a）,（A,b）,（B,a）,

（C,a）,（C,Z））,（a,b）

设事件M="从5个人中随机抽取两人，抽取到的两人不在同一组”

则屈=｛（44）,（4。（8,4）,（3/）,（。,4）,（。/）｝,共6种情况.故P（M）=[=|,

3

即从这5个人中随机抽取两人，则抽取到的两人不在同一组的概率为一.

5

16.【正确答案】（1）详见解析；（2）—.

13

方法一：（常规做法）

（1）由28=2,Z4=4,BB、=2,AAX±AB,BB]±AB,得/耳=44=2后，

所以A[B：+AB；=AA^,故AB｝±AlBl.

由5C=2,BBX=2,Cq=1,BBy±BC,CCA±BC,得4G=V?,

由Z8=5C=2,NA8C=120°4G=技，得2。=26,

由CCjLZC,得/。1=拒，所以/8；+4C；=zc；,故力片，4G.

又因为4片山1。1=片，8IGu平面4耳。1，所以48]，平面481G.

（2）如图，过点G作G2,4名，交直线4A于点。，连结.

由幺鸟，平面4月。1，qou平面4用。1，可得又

481n4及=及，

所以平面4881,所以NC/。就是/G与平面ZBB]所成的角.

由4G=7?,44=20,4G=收得：

8+21-5V61

cos/G44二/.sinZQ4A

2/44cl2X2A/2XV21V7万

CDV39

所以G°=4GsinNG4A=V3故{

sin/G4D=为一13

因此，直线ZC］与平面4aBi所成的角的正弦值是叵.

方法二：（建系向量法）

（1）如图，以ZC的中点。为原点，分别以射线08,0C为x,y轴的正半轴，建立空间直角

坐标系0—型.由题意知各点坐标如下：2（0,-百,0）,5（1,0,0）,4（0,—省,4）,

4（1,0,2）,q（o,V3,i）

因此葩=（1,行,2）,4^=（1,A-2）,泪=（0,2百3）,由彳瓦•丽=0,得

AB［±AXBX.

由彳瓦•布=0,得又因为44n4G=4,所以，平面44cl.

（2）设直线zq与平面ZASi所成的角为必

由（1）可知有=（0,2百,1）,A8=（l,V3,o）,西=（0,0,2）,设平面4B5］的法向量

n=(x,y,z),

〃,4B—0x+x/3v=0//-\

由4,即，可取万=-行」,0,所以

n-BBt=02z=0''

因此，直线ZC］与平面4aBi所成的角的正弦值是叵.

asinCb

17.解析：（1）由题设，BD—由正弦定理知：-----即

sinZABCsinCsinN/BC

sinC

:.BD=—,又白=ac,.•.BD=6得证.

sinZABCbb

。人入

(2)由题意知：BD=b,AD=—,DC=~,

33

,4b2213/2,2b210b2-a2

b2H------c--------cbH-----a2

cosZADB=-----------=――-——,同理cosZCDB=--------------9

2b•”也2b2lb2

333亍

13Z?22210"

9Ca(P,11b2,

Y/ADB=TI—NCDB,—=-----整理得2/+027又=ac，

4b22b23

亍亍

.•.2/+±=独，整理得6。4_11。2/+3/?4=(),解得或《=3,

a23b23b22

由余弦定理知；cosZABC=------------=---------

lac32b2

a217a237

当二=—时，cos/48C=—〉1不合题意；当^=—时，cos/45C=—；

b236b2212

7

综上，cosZABC=—.

12

18.解析：（1）证明：/BCD为矩形，故

又平面PAD±平面ABCD

平面PADA平面ABCD=AD

所以45,平面尸40,因为PQu平面P40,故48，尸£).

(2)解:过尸作/£)的垂线，垂足为。，过。作的垂线，垂足为G,连接PG.

故平面/BCD,平面POG,BCA.PG

在直角三角形APC中，PG=—,GC=2®,BG=—,

333

设45=加，则r>P=JPG2_0G?=J3—加2,,故四棱锥p—4gCD的体积为

V=j-V6-m-jg—掰2=gV8-6m2.

因为鬲8-6ni2=J_61加2一g1+：

故当掰=J时，即48=J时，四棱锥的体积P—/BCD最大.

33

0(0,0,0),cj*,平、

建立如图所示的空间直角坐标系,,0

7

心半小0,V62^/6布、

故Pc=5C=(0,V6,0),

CD=—[,0,0