2024-2025学年山东省泰安市肥城市高三（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年山东省泰安市肥城市高三(上)开学数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知集合4={1,2,3,4,5,9},B-[y[y=EA],则4nB=()

A,{1,2,3}B.{1,2,4}C.{2,3,5}D.{1,4,9)

2.若复数z满足z(l-i)=i,则z的共软复数z对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.已知向量2=(1,0),b=(1,1),(a+Ab')//(a-nb'),则()

A.A+〃=lB.A+/z=0C.A/i=1D.A/i=-1

11tQ-TlOC

4.已知sin(a+0)=-,sin(a-)5)=-,则百丽=()

11

AyB.一二C.5D.-5

5.已知两个圆台甲、乙的上底面半径均为r,下底面半径均为2r,圆台的母线长分别为3r和5r,则圆台

甲、乙的体积之比为()

A.1B.孚C.A/3D.3

6.若函数f(x)=(7+>4(其中a>。，且aKl)的最小值是3,贝必的取值范围是()

11

A.-<a<1B.-<a<1C.1<a<3D.1<a<3

7.曲线y=sin(x+1)与y=匈x交点个数是()

A.3B.4C.5D.6

8.已知函数/■(>),g(x)的定义域为R,y=f(久)的图象关于直线％=1对称，且/'(1-x)+g(x)=10,

f(x)-g(x-4)=5,若/(2)=1,则g(l)+g(2)=()

A.-5B,-6C.5D.6

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.在某市举行的一次期末质量检测中，经抽样分析，该市某学校的数学成绩X近似服从正态分布N(86,c2

),且P(82<XW86)=0.3.该校有1000人参加此次考试，则()

A.P(X>90)>P(X<82)B,P(82<X<90)=0.6

C.估计成绩不低于90分的有200人D.估计成绩不低于86分的有300人

10.己知函数/(久)=aex—x+a2{aeR),贝!|()

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A.当aWO时，f(久)是R上的减函数

B.当a>0时,x=dna是/'(%)的极小值点

C.当a=e时，/(x)取到最小值e2+2

D.当a>0时，/(x)>2lna+1恒成立

11.已知抛物线C：y2=2p%@>0)的焦点为F,其准线与久轴交于点4过点/作斜率为k直线/与C交于M(

7(孙心)两点.若直线y=避(刀一1)经过点尸，贝！1()

A.p=2

B.%1%2=1

C.|fc|>1

D.\FM\2+|FN|2的取值范围是(8,+8)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.若双曲线今―2=l(a>0,b〉0)的一个焦点F(5,0),一条渐近线方程为y=%则a+b=.

13.若函数/(x)=x3+(m+1)N+小尤为奇函数，则曲线y=/(x)在点(一1,0)处的切线方程为.

14.为了将课堂所学的专业理论知识与实际生活相结合，提升学生的个人综合素质，增强社会责任感和使

命感，某知名大学的校团委安排该校一个大学生志愿服务团体在暑假期间开展“环境保护”、“社区文

化”、“便民服务”、“法律援助”、“教育服务”、“公益慈善”六项社区服务活动，并对活动开展顺

序提出了如下要求，重点活动“法律援助”必须排在前三位，且“便民服务”和“教育服务”两项活动必

须排在一起，则这六项活动完成顺序的不同安排方案种数是.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

已知在△ABC中，a,b,c分别是角4B,C的对边，CA-CB=21,且cosC=|.

(1)求△4BC的面积；

(2)若6=5时,求边c和角B.

16.(本小题15分)

设椭圆C：条+*l(a>6>0)的左右焦点分别为Fi，尸2，点P(1净在C上，且PF?一轴.

(1)求C的方程.

(2)过左焦点％作倾斜角为60。的直线I.直线/与C相交于4B两点，求的周长和面积.

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17.(本小题15分)

如图，在三棱柱ABC-DEF中，P为AD的中点，AC=gAD=4,AB=BC=CP=2,4ABE=—.

(1)求证：PE1BC；

(2)求平面ECP与平面PCD夹角的正弦值.

18.(本小题17分)

772

已知函数f(%)=~+Znx,mER.

(1)讨论f(%)的单调性；

(2)证明：当zn>0时，m/(x)>2m—1.

19.(本小题17分)

2

数列3J满足。1=1，CLn+i=(^+n-A)an(n=1,2,...),4是常数.

(D当。2=-1时，求入及他的值；

(II)数列｛册｝是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由;

(III)求4的取值范围，使得存在正整数加，当九〉时总有a九<0.

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参考答案

l.A

2.C

3.5

4.D

5.B

6.D

7.4

8.C

9.BC

IQ.ACD

11.ABD

12.7

13.2x-y+2=0

14.120

15.解：(1)由已知可得C4•CB=abcosC==21,可得ab=35,

由cosC=I，可求得sinC=&,

-1-14

所以S4/BC=,abs讥C=-x35x-=14；

(2)因为b=5,ab=35,可得a=7,

由余弦定理得c?=a2+b2-2abcosC=32,可得c=4",

由正弦定理磊=虚可得s讥"坐=/=¥,

TTTT

由于bVa,所以OVB<E，可得B=,.

16.解:⑴已知PF2，％轴且P(1号,

则c=1,Fi(-l,0),F2(l,0),

2

由椭圆的定义2a=|PFi|+\PF2\=J2+(?)2+字=2",

所以a=",b=yja2—c2=1,

即C的方程为:+*=1.

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（2）可知直线2的斜率k=tan60°=B

则，的方程为y=邓（x+1）.

设4（久1，%）,8（久222），

,y=同久+1)

联立方程组它+旷2=1，

l2,

消去y得7必+12%+4=0,

可得%1+%2=一呈％i%2=

可得|48]="启⑶一刈=尸在『（久1+冷）2-4巧久2=2,（一争2一?=呼,

又点尸2(1,。)到直线2：y/3x-y+y/3=0的距离d=^T~^~~=®

7ssy+i

所以△4B电的周长为4a=4",SAABF2=^\AB\d=竽.

17.1?：(1)证明：取8P中点M,连接4M、CM,

■■P为4。的中点,AD=4,AP=2,

■••AB=2,AM1BP,

BC=CP=2,

•••CM1BP,

又因为4MnCM=M,AM,CMu平面ACM,

因此BP1.平面ACM,

又••・ABC-DEF是三棱柱，ABED平行四边形，

•••4ABE=穹，.­.Z.BAP

ABP,aBPC均为等边三角形，BP=2,

则CM=AM—书,AC—y/6,

：.AM1CM,

•••CM1BP,AMCBP=M,AM,BPu平面ABED,

CM_L平面ABED,•••PEu平面ABED,

CM1PE,-：BP=2,

在△「£)£•中，PD=ED=2,4PDE=|兀，PE=28，又BE=4,

BP2+PE2=EB2,即PE1BP,

又CMnBP=M,CM,BPu平面BCP,

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PE1平面BCP,又CBu平面BCP,

•••PE1BC；

(2)由(1)可知AM、MP、MC两两垂直，以M为原点，M4所在直线为x轴，MP所在直线为y轴，MC所在直

线为z轴建立空间直角坐标系，

则C(0,0,®P(O,1,O),71(73,0,0),B(0-l,0),

由于P是4。的中点，得。(一避,2,0),

又由瓦？=前，可得E(-2褥,1,0),

PC=(0-1,73),PE=(-273,0,0),而=(-眄1,0),

设平面ECP的法向量为可=(肛,月/1),

叫可.丽=(r叫-2忘1=0，

令丫1=避，则可=(0,避,1)，

设平面PCD的法向量为羽=(久2,>2/2)，

IHllW-Z£=0即〔一为+GZ2=。

B|],

叫无.丽=0，H^/3x2+y2=0

令V2=避，则雨=(1,4,1),

设平面ECP与平面PCD的夹角为仇

则cos。=|cos〈可，五〉|=得需=77^=郃,

sind=

即平面ECP与平面PCD夹角的正弦值为g.

1THY—TH

18.解：(1)函数/(%)的定义域是(0,+8),可得/(%)=---=

当血40时，可知/'(%)>0,所以/(%)在(0,+8)上单调递增；

当相>0时，由/'(%)=0得％=771,

可得久E(Ojn)时，有/'(%)<0,%E(m,+8)时，有/'(%)>0,

所以/(%)在(0,m)上单调递减，/(%)在O,+8)上单调递增.

综上所述：当m40时，/(%)在(0,+8)上单调递增；

当相>0时，/(%)在(0即)上单调递减，在(利+8)上单调递增.

(2)证明：当m>0时，要证m/(%)之2m一1成立，

只需证/(%)22M=2—《成立，

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只需证/(%)血讥>2-\即可.

因为血>0,由(1)知，f(x)min=f(m)=1+Inm,

令g(zn)=1+Znm—(2——)=Inm+五-1,

则，(峭=~—\—

d、，mmzmz

可得zne(0,1)时，有g'(m)<0；mE(1,+8)时，有g'(m)>0,

所以9(租)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

可知g(zn)mm=g(l)=0,则有g(zn)>0,所以有1+必?n>2--,

所以当m>0时，771/(%)N2?n—l成立.

19.解：(I)由于册+i=(话+九一入)册(九=1,2,),且。1=1.

所以当做=—1时,得—1=2—a,故a=3.

从而的=(22+2—3)X(―1)=-3.

2

(II)数列｛册｝不可能为等差数列，证明如下：由的=1,an+1=(n+n-A)an

@2

得=2-%a3=(6-A